CH7 单位根ECM和ARCH

1、1第五章第五章 单位根检验、格兰杰检验、协整单位根检验、格兰杰检验、协整检验和检验和 ECM一、单位根检验一、单位根检验（一）单位根过程（一）单位根过程若一个时间序列的均值或自协方差函数随时间而改变，则该序列为非平稳序列。（即序列含有某种变动趋势）随机过程 ty若tytty1（1）当1， t为一稳定过程，且 0t，tttu1,cov，.2 , 1 , 0s，则称该过程为单位根过程（Unit Root Process） 。特别地，若tttyy1.3 ,2, 1t(2)其中 t为独立随机分布，且 0t， 2tD。 则ty为 一 随 机 游 动 过 程（Random Walk Process）随机游

2、动过程是2单位根过程的特例。若 随 机 过 程 ty的 一 阶 差 分 过 程（1tttyyy）为一平稳过程，则ty服从单位根过程（即经过一阶差分后，由非平稳变为平稳的过程） 。分别以 1I和 0I表示单位根过程和平稳过程，则可取ty，ty记为ty 1I，ty 0I若单位根过程经过一阶差分成为平稳过程，则序列ty成为一阶单整序列。一般地，如果非平稳序列tx经过 d次差分达到平稳， 则称其为d阶单整序列 （单位根调整） ，记作 I(d)。其中 d 表示单整阶数，是序列包含的单位根个数。对于（1）式可以写成ttyL)1 (3)t=1，2， 其中L为滞后算子， 即后移算子，)1(L为滞后多项式，它的

3、特征方程为01L。3有根1，当1时，特征方程的根为 1，即有一单位根。 这也就是称为 “单位根过程”的原因。单位根过程是常见的非平稳过程之一。（二）（二）基本模式随机序列有三种基本模式:1.不含常数项和趋势项tttyy1（4）若1，序列ty为单位根过程，若1 ，则序列ty称为一平稳过程。2含有常数项和无趋势项tttycy1（5）若1， 序列为带常数项的单位根过程，若1，序列为含常数项的平稳过程。3同时含有常数项和趋势项tttymtcy1（6）若1， 序列称为同时含有常数项和趋势项的单位根过程，4若1 ，序列称为同时含有常数项和趋势项的平稳过程（三）单位根检验（三）单位根检验1 1 迪基迪基福勒

4、（福勒（DFDF）检验法）检验法迪基福勒 （DF） 检验法是迪基 （Dickey）和福勒（Fuller）在 20 世纪 70 年代和 80年代提出的。其基本思想是：对于一阶自回归模型 AR（1）tttyy1若1，则序列ty是平稳的。若1，序列ty非平稳，存在单位根。因此，通过检验是否为 1，判序列是否平稳。tttyy1则递推形式：121tttyy232tttyy5jtjjtttty0221.为保证过程平稳，上式必须收敛，则必须满足1。DF 检验的步骤：建立假设1:0H1:1H计算统计量1st（8）其中为得最小二乘估计值，s为的标准差。在实际检验时，由于tttyy1存在自相关，常为（4）式改写为

5、tttyy1（9）其中1，检验的假设为0:0H0:1H6检验的统计量rsrt（10）注意： 在序列存在单位根的假设下，t并不服从常规的 t 分布，而是非标准和非对称的极限分布。因此不能用 t 检验法检验零假设是否成立。DF 于 1979 年给出了检验用的模拟临界值，故该检验成为 DF 检验。在Eviews中给出的是由Mackinnon改进的单位根临界值。对于给定的样本量 n 和显著性水平，在表中查出DF。若DFt,拒绝 H0，即序列平稳。DFt，接受 H0,则序列为单位根过程，需要进行一阶差分。根据序列ty的性质不同,DF 检验除(9)外,还允许序列ty有如下两种形式:tttrycy1(11)

6、tttrymtcy1(12)7一般地,若序列ty在 0 均值上下波动,则选用(9)式检验；若序列具有非 0 均值且无时间趋势,可选择(11)式；若序列具有非 0 均值且有时间趋势,可选择(12)式2.2.增广的迪基增广的迪基- -福勒福勒(ADF)(ADF)检验检验ADF(Augmented Dickey fuller Test),它取检验单位根的 DF 方法推广到一般的单位根过程,其中的t服从一稳定过程。而DF 检验中，对于（9）式常因序列存在高阶滞后相关而破坏t是白噪声的假设，ADF 对此改进。假定序列ty服从 AR(p)的单位根过程，在模型中加入ty的滞后差分项，控制高阶自相关。tptp

7、ttttyyyyy1122111.（13）其中t为独立同分布，且 E(t)=0,D(t)=2E(2t)e,则).(dIbyaxtt其中：d=0，1，。 定义定义有些变量时间序列， 虽然它们自身是非平稳的，但变量间的线性组合却是平稳的。这个线性组合反映了变量之间长期稳定的比 例 关 系 ， 称 为 协 整 关 系（Cointegration） 。若tAwytwxyxtttt,，15其中，)0(),0(),1 (ItItIwyxt，且具有零均值，则由单整序列的法则知：) 1 (),1 (IyIxtt，构造ttyx ,的线性组合tztAttwAtAwAxyzxyxyttttt)(所以) 0 (Izt

8、且具有零均值，表明ttyx ,具有协整关系。注意：对于两个变量序列ttyx,，只有在它们是同阶单整即 I（d）时，才可能存在协整关系(此点对多变量协整不适用)。 EGEG 检验检验由 Engle 和 Granger 于 1987 年提出了用于两个变量ttyx ,是否存在协整关系的检验方法，又称 EG 检验法。设两个变量序列为ttyx,，),(),(dydxtt若用一个变量对另一个变量进行回归，得到16tttxy利 用 OLS 法 得 到, 和 估 计 残 差tttxy若) 0 ( t（即t为平稳序列） ，则ttyx ,具有 协 整 关 系 。), 1 (为 协 整 向 量 ；tttxy为协整回

9、归方程实际上，上述检验过程为： 对两变量是否为同阶单整序列进行检验，这是协整检验的前提，方法（A）DF检验。 建立两个变量序列的回归， 计算出te 残差序列te的单位根检验， 方法 （A）DF。若残差序列是平稳的，即) 0 (te，表示ttyx ,是协整的；若残差序列非平稳，即存在单位根。则ttyx ,不是协整的。即 构 造 残 差 的 一 阶 自 回 归 模 型tttee1（可以有三种情况）17采用的检验方法为（A）DF。注意此处检验的临界值与变量个数有关， 其临界值可查表（易丹辉） 。由两个变量统计的回归残差检验统计量记为 EG（2） 。 （即决定残差te的变量个数,即原方程中变量个数，包

10、括含解释变量和被解释变量）1:0H1:1HEG（2）=) (/ ) 1(s若 EG （2） )2(EG拒绝0H， 接受1H序列平稳；若 EG（2）)2(EG接受0H，拒绝1H存在单位根例应用 OLS 法估计出的方程为：LNJXPLGDt3711.07393.44AR(1)=0.9979(0.3341)(3.9083)(113.8322)9992. 02R9992. 02R07.13796F3694. 1.WD上述估计方程的 F、 t 统计量均满足显著性水平为5的统计显著性检验， 如果其残差序列是平稳的， 则说明其不存在伪回归现象。现进一步对上述方程的残18差序列进行平稳性检验，根据 AIC 最

11、小的原则，选择滞后期 p=1 时的单位根检验形式，结果如表所示。表表 3-53-5残差的平稳性检验残差的平稳性检验变量检验类型(c，t，p)ADF 检验值5%临界值t(c，0，1)-4.407856-3.004由表可以看出， 残差平稳性检验的 ADF 统计量值小于 0.05 显著性水平下的临界值，说明残差序列是平稳的，协整方程不是伪回归的结果，序列 LGDP 和LNJX 线性 关系显著，农村居民最终消费与我国国内生产总值之间存在着长期均衡关系。上述估计的方程表明：农村居民消费需求的扩张促进了我国国内生产总值的增长， 且在其它不变的条件下， 1985-2009 年农村居民最终消费额每增长 1%，

12、 平均可以拉动 0.3711%的国内生产总值增长。建立回归方程的两个前提条件：定性：依据经济理论判断两变量间具有因果关系定量：运用格兰杰检验和协整检验，判断两变量具有因果和长期均衡关系。注意：并不是单整序列之间一定存在协整关系，只有单整序列间的某个线性组合19为平稳序列时，才表明有协整关系。JJ 检验法多个同阶单整变量间是否存在协整关系，不能采用 EG 检验法，而是要采用Johansen 与 Juselius 提出的向量自回归的检验方法，即 JJ 检验法。四、四、ECMECM 模型模型（一（一）基本原理基本原理对变量进行协整分析，可以研究变量之间的长期均衡关系，而要得到各变量偏离它们共同随机趋

13、势的短期调整，就必须借助于误差修正模型。误 差 修 正 模 型 （ Error Correctionmodel ECM）是由 Davidsen.Hendry.Srba等人于 1978 年提出的，又称为 DHSY 模型。若序列tY和tX都是 1 阶单整序列且具有协整关系，则误差修正模型为ttttecmxcy1（1）其中，11011tttxyecm，为非均衡误差，1tecm为误差修正项 （或均衡误差） 。 上式表明，20被解释变量ty的短期波动ty，既受解释变量tx短期波动tx的影响，又受上期非均衡误差ecm 的影响。为短期调整系数，反映了变量在短期波动中偏离它的长期均衡关系的程度及短期调整方向。

14、若ty与tx存在长期均衡关系ttxy10，则可以证明应为负值。当1ty1ty时，即1tecm为正，则1tecm为负，使ty减少，反之亦然。（二）模型建立（二）模型建立1、对于不含常数项的 ECM 模型，ttttecmxy1对应的协整回归模型为tttxy2、含有常数的 ECM 模型，ttttecmxcy1对应的协整回归模型为tttxy10步骤：（1）利用 OLS 法估计出ttxy10LS Y C X（2）计算非均衡误差1111tttxyecmGENRECM=Y(-1)-1*X(-1)21(3) 估计误差修正模型GENR Y1=Y-Y(-1)GENRX1=X-X(-1)LS Y1 X1 ECM或 LS Y1 C X1 ECM根据上述协整方程，运用 Eviews 软件得到 LGDP 受 LNJX 影响的短期波动误差修正模型为：) 1(0944. 0432