经济数学建模 (2)ppt课件

1、经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型 第一节第一节 利率模型利率模型 资金是有时间价值的，无论进行了什么样的经济活动，都必须认真考虑资资金是有时间价值的，无论进行了什么样的经济活动，都必须认真考虑资金时间价值，千方百计缩短资金使用周期，加速资金周转，节省资金占用数金时间价值，千方百计缩短资金使用周期，加速资金周转，节省资金占用数量和时间，提高资金的经济效益。量和时间，提高资金的经济效益。 经济数学模型经济数学模型一、单利模型一、单利模型设年利率为设年利率为r,r,初始资金量为初始资金量为S S0 0,n,n年后资金量为年后资金量为S Sn n01nSSnr（）若年利率和本金都是常数

2、，若年利率和本金都是常数，n n年后的本利和为年后的本利和为经济数学模型经济数学模型二、复利模型（利滚利）二、复利模型（利滚利）11 1,2,.nnSSrn（）01mnnrSSm（）1 1、离散型复利模型、离散型复利模型每年结算一次，每年结算一次，n n年后的本利和为年后的本利和为每年结算每年结算m m次，次，n n年后的本利和为年后的本利和为01nSSrn（）经济数学模型经济数学模型2 2、连续型复利模型、连续型复利模型连续结算（瞬时结算），连续结算（瞬时结算），n n年后的本利和为年后的本利和为00lim1mnrnnmrSSS em（） 已知初始资金已知初始资金S S0 0，用单利或复利计

3、算，用单利或复利计算n n年后资金年后资金S Sn n的计算式称为的计算式称为；反之，已知反之，已知n n年后的终值年后的终值S Sn n，求按年利率，求按年利率r r折算到现在时间段的资金折算到现在时间段的资金S S0 0的模型称的模型称为为。三、现值模型三、现值模型在现值模型中，将年利率在现值模型中，将年利率r r也称为折现率也称为折现率经济数学模型经济数学模型1 1、单利现值模型、单利现值模型若若n n年后的终值是年后的终值是S Sn n, ,则初期的现值为则初期的现值为01nSSnr0(1nSSnr（）)-011nnnnSSSrr（）（）2 2、复利现值模型、复利现值模型每年折现一次，

4、若每年折现一次，若n n年后的终值是年后的终值是S Sn n, ,则初期的现值为则初期的现值为0(1)nSSrn（）经济数学模型经济数学模型每年折现每年折现m m次，若次，若n n年后的终值是年后的终值是S Sn n, ,则初期的现值为则初期的现值为01mnnrSSm（）0rnnSS e0(1)mnnrSSm（）连续折现连续折现, ,若若n n年后的终值是年后的终值是S Sn n, ,则初期的现值为则初期的现值为0()rnnSS e经济数学模型经济数学模型流出系统的资金称现金流出，流入系统的资金称现金流入，现金流入与现金流出之差称流出系统的资金称现金流出，流入系统的资金称现金流入，现金流入与现

5、金流出之差称净现金流量净现金流量。 在财务分析中，把研究的项目视为一个系统，投入的资金、花费的成本、获得的收益，可在财务分析中，把研究的项目视为一个系统，投入的资金、花费的成本、获得的收益，可以看成是以资金形式体现的该系统的资金流出或流入。在项目整个寿命期内各时点上实际发生以看成是以资金形式体现的该系统的资金流出或流入。在项目整个寿命期内各时点上实际发生的资金流出或流入称为现金流量。的资金流出或流入称为现金流量。 四、资金流的现值与终值模型四、资金流的现值与终值模型现金流量图现金流量图 经济数学模型经济数学模型 若在相同时间段资金量不是固定值，而是随时间段变化，用若在相同时间段资金量不是固定值

6、，而是随时间段变化，用A Ai i表示第表示第i i阶段末的资金量阶段末的资金量(i=1,2,n),r(i=1,2,n),r表示阶段的利率，则表示阶段的利率，则n n个阶段全部资金量的终值个阶段全部资金量的终值S S为为-1-212n-11A (1)+ A (1)+.+(1)+ A (1) nnnnn iiiSrrArAr 资金终值公式现金流量图资金终值公式现金流量图 An-1A3A2A1Ans经济数学模型经济数学模型-01A (1)niiiSr若若A Ai i表示净现金流表示净现金流, ,称称S S0 0为净现值，记为为净现值，记为NPVNPV则则n n个阶段全部资金量的现值个阶段全部资金量

7、的现值S S为为若考虑现值，第若考虑现值，第i i阶段资金的现值为阶段资金的现值为 A Ai i(1+r)(1+r)-i-iA1A2A3An-1AnS0资金现值公式现金流量图资金现值公式现金流量图经济数学模型经济数学模型若每个相同时间段资金数额相同都为若每个相同时间段资金数额相同都为A A，即，即A Ai i=A=A，称，称A A为年金。根据资金产生时间分为为年金。根据资金产生时间分为普通年金：从第一期开始每期期末收款、付普通年金：从第一期开始每期期末收款、付款的年金。款的年金。 预付年金：从第一期开始每期期初收款、付款预付年金：从第一期开始每期期初收款、付款的年金。的年金。 经济数学模型经济

8、数学模型 A A 递延年金：在若干期以后收付的年金。递延年金：在若干期以后收付的年金。永续年金：无限期的普通年金。永续年金：无限期的普通年金。 A A 5 6 75 6 7经济数学模型经济数学模型-1-2-10A(1)+ A(1)+.+ (1)+ (1+ )1 A(1) = AnnnniiSrrArArrr01 (1+ )S =S(1+r)=Annrr普通年金现值为普通年金现值为普通年金终值（复利）为普通年金终值（复利）为经济数学模型经济数学模型例例 假设以假设以8%8%的利率借款的利率借款500500万元，投资于某个寿命期为万元，投资于某个寿命期为1212年的新技术，每年至少要收回年的新技术

9、，每年至少要收回多少现金才是有利的？多少现金才是有利的？ 解得解得A A为为因此，每年至少要收回因此，每年至少要收回663500663500元，才能还清贷款本利。元，才能还清贷款本利。 A=50000000.1327=663500（元） 121 (1+ )1 0.08500=A0.08nrAr设每年回收设每年回收A A元，据普通年金现值计算公式元，据普通年金现值计算公式经济数学模型经济数学模型先付年金终值（复利）为先付年金终值（复利）为1111nRFAR先付年金的现值先付年金的现值为为 1111nRPAR永续年金无终值（永续年金无终值（），其现值为），其现值为0n1 (1+ )S =limA=

10、nrArr经济数学模型经济数学模型3.23.2 连续资金流的终值与现值连续资金流的终值与现值若各阶段资金量是时间若各阶段资金量是时间t t的连续函数的连续函数f(t)f(t)，也称为连续资金流，若，也称为连续资金流，若f(t)f(t)在（在（0 0，T)T)连续，则在时间段（连续，则在时间段（t,t+t,t+t)t)内资金的近似值为内资金的近似值为f(t)f(t)t,t,若按连续复利计算，若按连续复利计算，这些资金在期末的终值为这些资金在期末的终值为( - )( ) tr T tFf te 由定积分思想，总收入的终值为由定积分思想，总收入的终值为T( - )0S( ) r T tf t edt

11、经济数学模型经济数学模型 若求现值，设连续折现若求现值，设连续折现, ,记其对应的现值为记其对应的现值为S S0 0, T, T年资金流量的总现值年资金流量的总现值S S0 0是是(T)T000=( ) =( ) TTrTrtrrtSSef t eedtf t edt00A (1)TrtrTASedter特别，当当f(t)=Af(t)=A时，有时，有经济数学模型经济数学模型 5000400S tt 例例 某企业想购买一台设备，设备成本为某企业想购买一台设备，设备成本为50005000元，元，t t年后该设备的报废价值为年后该设备的报废价值为使用该设备在使用该设备在t t年时可使企业增加收入年时

12、可使企业增加收入85085040t40t元，若年利率为元，若年利率为5%5%，计算连续复利，计算连续复利，企业应在什么时候报废这台设备？此时，总利润的现值是多少？企业应在什么时候报废这台设备？此时，总利润的现值是多少？ 解解 T T年后总收入的现值为年后总收入的现值为0.05085040Ttt edtT T年后设备残值的现值为年后设备残值的现值为0.055000400TT e经济数学模型经济数学模型T T年后总利润的现值为年后总利润的现值为 0.050.0508504050004005000TtTL Tt edtT e 0.0520020TL TT e 852.25L T元为求最大值，对为求最

13、大值，对T T求导得求导得 0L T令得T=10当T=10时，总利润的现值最大，故应在使用10年后报废这台机器，此时，企业所得利润的现值为T=10为唯一极大值点，就是最大值点。100L又经济数学模型经济数学模型3.33.3 简单的投资决策模型简单的投资决策模型 投资决策分析对企业获利能力、资金结构、偿债能力及长远发展都有重要影响投资决策分析对企业获利能力、资金结构、偿债能力及长远发展都有重要影响，投投资决策方法非常多，最简单的技术方法可以分为非贴现法和贴现法两类资决策方法非常多，最简单的技术方法可以分为非贴现法和贴现法两类, ,它们的区别它们的区别在于前者不考虑货币的时间价值，计算简便；后者则

14、考虑货币的时间价值，更科学、在于前者不考虑货币的时间价值，计算简便；后者则考虑货币的时间价值，更科学、合理。非贴现法主要有回收期法和年平均报酬率法两种。贴现法主要有净现值法、内合理。非贴现法主要有回收期法和年平均报酬率法两种。贴现法主要有净现值法、内部收益率法和获利能力指数法三种。部收益率法和获利能力指数法三种。 以贴现法为例分析。以贴现法为例分析。经济数学模型经济数学模型 式中式中 P PT T动态投资回收期；动态投资回收期； CICI第第t t年的现金流入量；年的现金流入量； COCO第第t t年的现金流出量；年的现金流出量； i ic c基准收益率。基准收益率。0iCOCItctPtt)

15、1()(0 动态投资回收期是指在给定的基准收益率下，用方案各年资金净流量的现值来回收全部动态投资回收期是指在给定的基准收益率下，用方案各年资金净流量的现值来回收全部投资的现值所需的时间。公式：投资的现值所需的时间。公式：经济数学模型经济数学模型例例年年01234项目项目A A的现金流量的现金流量-1000400400400400现值系数（现值系数（10%10%）10.90910.82640.75130.6830折现的现金流量折现的现金流量-1000363.64330.56300.52273.2累计折现现金流量累计折现现金流量-1000-636.36-305.8-5.28267.92项目项目A

16、A的折现现金流量的折现现金流量项目项目A A的动态投资回收期的动态投资回收期= =值当年的净现金流量折现现值上年累计净现金流量折累计净现金流量折现值开始出现正值的年份-1+-1+= 4-1+5.28/273.2=3.02(= 4-1+5.28/273.2=3.02(年年) )经济数学模型经济数学模型 项目投资回收期在一定程度上显示了资本的周转速度。资本周转速度愈快，回收项目投资回收期在一定程度上显示了资本的周转速度。资本周转速度愈快，回收期愈短，风险愈小，盈利愈多。期愈短，风险愈小，盈利愈多。 不足的是，投资回收期没有全面地考虑投资方案整个计算期内的现金流量，即不足的是，投资回收期没有全面地考

17、虑投资方案整个计算期内的现金流量，即忽略忽略在投资回收期以后发生的数据在投资回收期以后发生的数据, ,对总收入没有做考虑对总收入没有做考虑。只考虑回收之前的效果，不能反。只考虑回收之前的效果，不能反映投资回收之后的情况，无法准确衡量方案在整个计算期内的经济效果。映投资回收之后的情况，无法准确衡量方案在整个计算期内的经济效果。 投资回收期作为方案选择和项目排队的评价准则是不可靠的，它只能作为辅助评价投资回收期作为方案选择和项目排队的评价准则是不可靠的，它只能作为辅助评价指标。指标。经济数学模型经济数学模型二、净现值（二、净现值（NPVNPV） 净现值是指方案在寿命期内各年的净现金流量按照设定的折

18、现率折现到期初时的现值之净现值是指方案在寿命期内各年的净现金流量按照设定的折现率折现到期初时的现值之和，反映了方案获利能力。其表达式为：和，反映了方案获利能力。其表达式为：0() (1)nttctNPVCICOi式中：式中： NPVNPV净现值；净现值； CICI第第t t年的现金流入量；年的现金流入量； CO CO第第t t年的现金流出量；年的现金流出量； nn该方案的计算期；该方案的计算期； icic设定的折现率。设定的折现率。经济数学模型经济数学模型 对单一方案而言，若对单一方案而言，若NPVNPV0 0，则认为项目可行，若，则认为项目可行，若NPV 0NPV 0，则予以拒绝。对，则予以

19、拒绝。对多方案比选时，净现值越大，方案越优。多方案比选时，净现值越大，方案越优。 净现值的大小既取决于资金流量，也取决于所用的贴现率。对于同一项投资净现值的大小既取决于资金流量，也取决于所用的贴现率。对于同一项投资方案来讲，贴现率越小，净现值越大；反之，净现值越小。方案来讲，贴现率越小，净现值越大；反之，净现值越小。经济数学模型经济数学模型原理通俗易懂，适用于任何均匀的资金流量原理通俗易懂，适用于任何均匀的资金流量( (年金的现值年金的现值) )或不规则的资金流量，充或不规则的资金流量，充分考虑了投资方案发生资金流量的先后时间以及整个寿命期间内的收益，体现了货分考虑了投资方案发生资金流量的先后

20、时间以及整个寿命期间内的收益，体现了货币的时间价值。因而它是一种较为广泛使用的长期投资决策方法。币的时间价值。因而它是一种较为广泛使用的长期投资决策方法。 主要缺点是在投资额不相等的若干方案之间进行比较时，单纯看净现值的绝对额主要缺点是在投资额不相等的若干方案之间进行比较时，单纯看净现值的绝对额并不能做出正确的评价。因为在这种情况下，不同方案的净现值是不可比的。并不能做出正确的评价。因为在这种情况下，不同方案的净现值是不可比的。净现值的优缺点净现值的优缺点经济数学模型经济数学模型例年现金流量现金流量现值系数（现值系数（10%10%）现值现值= =0-10001-100015000.909145

21、4.5524000.8264330.5633000.7513225.3941000.683068.30NPV78.80项目的净现值项目的净现值单位：万元单位：万元经济数学模型经济数学模型三、获利能力指数三、获利能力指数 获利能力指数是项目投产后现金流量的现值之和与初始投资现值之和的比，获利能力指数是项目投产后现金流量的现值之和与初始投资现值之和的比，表明项目单位投资的获利能力，记为表明项目单位投资的获利能力，记为PIPI。表达式为：。表达式为： 获利能力指数显然和净现值很相似，但它反映了单位投资额的效益。与净现值指标获利能力指数显然和净现值很相似，但它反映了单位投资额的效益。与净现值指标相比，更便于投资额不等的多个项目之间的比较和排序。相比，更便于投资额不等的多个项目之间的比较和排序。 PI= PI=投产后现金流量的总现值投产后现金流量的总现值/ /初始投资总现值初始投资总现值经济数学模型经济数学模型 如果投资方案获利指数大于或等于如果投资方案获利指数大于或等于1 1，为可行方案；，为可行方案； 如果获利指数小于如果获利指数小于1