数学建模论文

1、题 目 猪肉销售问题的研究 摘 要本文对肉类食品公司的销售数据进行研究，对其产品配送方案、消费者需求和连锁店增设进行统筹决策。问题一，要求为公司设计生产与配送方案，使运输成本最低。公司是属于产销平衡性质的，运费主要来自于路程，因此只需要找一家离连锁店最近的生产基地就可以实现运输出成本最低。对此，根据生产基地和连锁店之间的道路连接关系构建无向赋权图。利用算法计算23个连锁店分别到2个生产基地到之间的最短距离。然后建立线性优化模型：根据所建立的模型，得到最优运输成本为10540.89元。问题二中，对于城镇需求特征的分析，采用快速聚类法把154个城镇的需求数据分成5类，分别对各类进行需求特征分析。对

2、于全省需求量未来几年的预测，采用指数平滑法对60个月的总需求进行时间序列分析，最终预测了全省5年以后的需求量。发现在2017年10月全省的需求量将出现峰值，出现峰值时需求量排名前五的城镇编号为120、31、101、68、106；排名后五的城镇编号为17、74、30、84、102。问题三要求为公司设计增设连锁店的方案，使全省销售量达到最大。题目给出了未来各城镇的每日需求量，要求在原有的23个连锁店基础上，增加连锁店，并且增连锁店后全省的销量要最大。另外题中还给出了一些限制条件，因此可以运用软件建立规划模型，在满足约束条件的基础上，确定了使全省的销售量达到最大的连锁店增设方案，得出6,32,113

3、,115,117,124,135,136,138,139,140,147,148,149号城镇需要增设。关键词：算法 线性优化模型 指数平滑法 规划模型 一、问题背景与重述1.1问题背景连锁经营是提高零售企业经营能力的一种有效方法，已经有100多年的历史，是在发达国家普遍获得成功的零售经营方式和组织形式。物流配送对实现连锁经营十分重要，它连贯穿连锁企业的商品销售和采购，使得连锁企业商品能够正常流转，使得连锁店进行正常的销售活动，以满足市场需求。目前我国多数企业在安排配送作业时处于凭靠经验阶段，为了提高配送效率和降低配送成本，有必要研究如何使商品配送数量科学化，商品配送路线优化。做到商品配送的适

4、时、适量；科学地统计和分析市场的商品需求,以便制订合理的配送计划；合理地安排连锁店的位置。为了提高配送工作的效率和降低配送成本,配送中心在具体实施商品配送的时候,要注重商品配送数量的科学化,商品配送路线的优化及商品配载的合理化。1.2问题重述某肉类食品加工与销售公司，主营：鲜猪肉。该公司在全省县级及以上城镇设立销售连锁店。全省县级及以上城镇地理位置及道路连接见数据附件：全省交通网络数据.xlsx问题：1、目前该公司现有2个生产基地、23家销售连锁店，生产基地设在120号和63号城镇，为23家连锁店提供鲜猪肉，连锁店的日销售量见附录1。若运输成本为0.45元/吨公里，请你为公司设计生产与配送方案

5、，使运输成本最低。2、公司收集了近5年全省各城镇的鲜猪肉月度需求数据（文件：各城镇月度需求数据.txt）请你分析各城镇需求特征，并预测未来数年，何时全省鲜猪肉需求达到峰值，达到峰值时需求达到前5位和后5位的城镇是那些？3、通过广告宣传等手段，未来几年公司在全省的市场占有率可增至3成左右，调查还发现，公司产品的需求量与销售量并不完全一致，若在当地（同一城镇）购买，则这一部分需求量与销售量相同，若在不足10公里的其他城镇的销售连锁店购买，则这一部分需求量只能实现一半，而在超过10公里的其他城镇的销售连锁店购买，销售量只能达到需求量的三成。于是，公司决定在各城镇增设销售连锁店，基于现有条件、成本等的

6、考虑，原有的23家销售连锁店销售能力可在现有销售量的基础上上浮20%，增设的销售连锁店销售能力控制在每日20吨至40吨内，并且要求增设的销售连锁店的销售量必须达到销售能力的下限。同一城镇可设立多个销售连锁店。请你为公司设计增设销售连锁店方案，使全省销售量达到最大。二、问题分析2.1对于问题一的分析问题一要求安排公司的2个生产基地和23个连锁店之间的配送方案，使运费最低。公司的产品为鲜猪肉，为了保证质量只能按天配送且等于需求量，故该公司是属于产销平衡性质的。由于运输单价都一样，为0.45元/吨公里，最小的运输成本即要求“吨公里”数最小；从每个连锁点的角度出发，其本身需求量一定且因为不存在分散运输

7、，所以只需要找一家离自己最近的生产基地就可以实现运费最低。首先根据附录的城镇坐标图画出生产基地和连锁店的分布图及其之间的道路，然后根据其连接关系构建无向图赋权图。用算法计算23个连锁店分别到2个生产基地到之间的最短距离。然后建立线性优化模型得出最优成本。2.2对于问题二的分析问题二要求问题要求分析各城镇需求特征，如果逐个分析数据量太大且特征不明显，另外每个城镇的猪肉需求特征与当地的人口、经济、文化等存在很大的关系，如果这些指标标相近那么其需求特征也相似。所以把154各城镇进行聚类，然后分析各类的需求特征。即得到该类城镇的需求特征。首先把各城镇作为个案，60个月的销售量作为变量，进行聚类。根据聚

8、类结果分析需求特征。要求预测未来数年的全省需求量，题中条件只有时间观测序列。因此运用时间序列分析预测未来走向。首先画出时序图，然后根据其走势分析使用什么预测模型。2.3对于问题三的分析问题三给出了未来各城镇的每日需求量，同时为了达到市场占有率，要求在原有的23个连锁店基础上，增加连锁店，并使所增加的连锁店销量最大。并且题中给出了一些限制条件。对于这种情况可以建立0-1规划模型，在满足约束条件的基础上，使得全省的销售量达到最大的销售连锁店的分配方案。三、模型假设结合本题的实际，为了确保模型求解的准确性和合理性，我们排除了一些因素的干扰，提出以下几点假设：1、运输过程中不考虑分散运输类型；2、不考

9、虑运输时间对运输成本的影响；3、运输过程中不产生其它费用；4、假设数据真实有效；5、假设公司环境未来几年无变化。四、符号说明为了便于问题的求解，我们给出以下符号说明：（其他未说明的符号在文中第一次出现时会做详细的说明。）从生产基地到连锁店的配送量生产基地到连锁店的最距离第个连锁店的需求量第个生产基地的产量运费一次指数平滑值连锁店现有的销售能力在i城镇连锁店的销售量五、模型的建立与求解经过以上的分析和准备，我们将逐步建立以下数学模型，进一步阐述模型的实际建立过程。5.1问题一模型的建立与求解5.1.1构建无向赋权图一个无向图是由一个非空有限集合和中某些元素的无序对集合构成的二元组，记为。其中称为

10、图的顶点集，中的每一个元素称为该图的一个顶点；称为图的边集，中的每一个元素，记为，被称为该图的一条从到的边。题目中为23个连锁点和2个生产基地，为它们之间的道路，权重为连锁店之间的距离。由城镇分布图（如下）可知，23个连锁店之间有些并无直接道路，因此应从全局出发构造无向图及其邻接矩阵。图1 各城镇分布交通网络图从图中可以看出生产基地1在120号城镇，且连锁店1和10也在该城镇；生产基地2号在63号城镇，且连锁店3和18也在该城镇。在生产基所地城镇的连锁店其运费视为0，该类连锁店由所在生产基地配送；因此只需要计算其它19个连锁店到2个生产基地的最短距离即可。5.1.2计算最短距离计算赋权图中其它

11、19个城镇分别对于定点120和顶点63的最短路径，调用算法进行全局搜索。其基本思想是按距起点从近到远为顺序，依次求得到其它各顶点的最短路和距离。直至找到所有终点，算法结束。具体步骤如下：代替，这里表示顶点和之间边的权值。计算值的一个顶点记为，令。算法结束时，到各定点的距离由最后一次标号给出。其具体方法是：分别以顶点1和顶点3作为起点，用矩阵存放各边权的邻接矩阵，没有道路相连城镇之间的数值设为无穷大。用编程求出从起点到其余顶点的最短路径，结果如下表所示：表1 连锁店和生产基地最短距离表连锁店编号12345678生产基地6389.4584.510114.66122.56108.3619.0928.

12、17生产基地120063.789.45169.3761.72157.67108.54117.62连锁店编号910111213141516生产基地63187.9989.45193.72135.1162.07153.11190.98179.15生产基地120134.310151.19202.41119.54110.58170.17239.26连锁店编号17181920212223生产基地63128.940137.83168.95157.3294.567.31生产基地120218.3989.4572.85252.61103.645.1196.765.1.3配送方案根据每个连锁店需求量（见附录）和其对

13、于2个生产基地的距离建立“产销平衡”优化模型1。用表示从生产基地到连锁店的配送量、表示生产基地i到连锁店j的最短距离、表示第个连锁店的需求量，表示第个生产基地的产量，为运费，所以有：要运输成本最低，故目标函数为：在求配送方案时，目标函数必须满足条件的限制。因此有如下约束条件：经过计算，最终的配送方案如下表所示：表2 鲜肉配送方案表生产基地63连锁店所在城镇最短距离（公里）日销售量（千克）运费（元）3630217330.00431114.66239471235.59610108.368481413.5576519.0915570133.7587928.1738759491.331227135.1

14、9265563.271611179.156103492.011724128.943251188.6318630282950.002022168.956375484.6723647.3118406.05生产基地12011200287330.00210663.7382231095.66514161.729258257.1391134.3114744891.12101200325170.001136151.1911503782.611334119.5445124.261442110.589489472.181594170.1712773978.111914572.85396531299.922116

15、103.6414783689.45221235.111808141.58经过模型的建立与求解，为公司设计了生产与配送方案，使并且运输成本最低。由上表的可知具体配送方案，并且可求得63号生产基地的生产量为163619千克，120号生产基地的生产量为230208千克。总配送运费为10540.89元。5.2问题二模型的建立与求解5.2.1需求特征5.2.1.1城镇聚类分析由于涉及城镇较多，不宜逐一分析；因此采用聚类分析把城镇进行聚类，从每个城镇5年各月的需求量出发，将具有共同需求特点的样本聚齐在一起，以便对同类的城镇进行分需求特征分析。用进行快速聚类5，将城镇分成5类，（由于篇幅问题详细内容见附录）

16、结果如下表所示：表3 城镇需求量聚类表城镇号类别城镇1061城镇311城镇631城镇1283城镇1483城镇1503城镇1543城镇14城镇1205从表中可以看出，类型一主要分布在什么区域，各类型有多少城镇。为了验证聚类效果，做出了第一类三个城镇的需求曲线。图2 第一类城镇需求曲线图从图中可以看出，第一类城镇的需求量主要集中在30005000，且波动基本一致。直观反映了良好的聚类效果。分析可知其它类型聚类效果也良好。根据聚类结果，做出了各类5年每个月的平均需求图。图3 各类型各月平均需求图从图中可以看出单独为一类的120号城镇需求量明显大于其他类型，波动也大，可以判断该城镇人口众多，且有大量吃

17、猪肉的习惯。而类型一的需求量处于中间位置，波动相对较小，类型三和类型四猪肉需求量不大。5年来基本平稳，可以判断该类城镇人口少，经济相对发达有能力购买其它高档肉食。类型一的城镇需求最少，5年基本没变化，可以大胆猜测该类城镇为经济高速发达地方，人们对猪肉需求量少。各类城镇型5年来需求量描述性统计表。表4 各类型需求量描述统计表数字最小值(M)最大值(X)平均值(E)标准偏差方差类型一5102346.60104703.71103613.8940968.75840938492.840类型二5438474.57480976.66461334.906016943.31976287076084.639类型三

18、5386149.46451660.21426152.716027043.99476731377652.729类型四5227285.83246952.28238374.90607873.3433061989534.757从表中可只5年来全省平均每年需求量为2458952.844吨，其中需求量最大的为2类城镇为461334.906吨。另外三类城镇的方差最大为731377652.729，说明该类城镇的之间的需求差异明显大于其它类型。图4 各类型需求量时序图图中黑线为线性趋势线，可以看出60个观测序列总体呈直线上升趋势且周期存在波动，另外预测目标的发展趋势变化也大；所以可以采用指数平滑法4进行预测。5

19、.2.2指数平滑法预测指数平滑模型是对不规则的时间序列加以平滑，从而获得其变化规律和趋势，以此对未来经济数据进行推断和预测。指数平滑根据平滑次数不同分为一次平滑，两次平滑，三次平滑结合题目所给数据可得如下模型：设时间序列为为加权系数，一次指数平滑公式为预测模型为：即就是以第t期指数平滑值作为t+1期预测值。二次指数平滑公式为：为一次指数平滑值；为二次指数平滑值。三次指数平滑值其中：为三次指数平滑值。三次预测模型为用求解指数平滑模型，结果如下：由时序图可知，需求为近似线性且量存在波动，因此猜测是以月份为周期的季节性波动。故在中选择了可加性指数平滑模型。其平滑参数是水平、趋势和季节。适应与具有线性

20、且不依赖于序列水平的季节效应序列。可加性模型拟合度。表5 模型拟合度拟合统计信息平均值最小值(M)最大值(X)百分位(T)5050759095平稳的 R 方0.7370.7370.737737737737737737737737R 方0.9600.9600.960960960960960960960960表中给出了模型的两个拟合优度指标，包括这些指标的均值、最小值、最大值以及百分数。其中，平稳的R方为0.737，R方为0.960，这由于因变量数据为月性数据，因此平稳R方更具代表性。且从R方来看，该指数平滑模型拟合情况比较好。表6 指数平滑法模型参数模型估算SEt显著性需求量模型1不转换Alph

21、a（水平）0.0740.0362.0540.045Gamma（趋势）0.3990.2181.8270.073Delta （季节）0.0010.1110.0090.993上表给出了指数平滑模型参数估计值。从该图可以看到本实验拟合的指数平滑模型的级别值为0.074，值为0.045，因此“水平”的作用是有显著性的但是不大。而我们猜测的月份（季节性）影响即值为0.001，显著性为0.993，说明显著性几乎没有。因此可以断定需求量不存在月份的周期波动特征。而（趋势）值为0.399，值为0.073。说明该需求量存在线性趋势，但是不明显。下图给出了需求量的指数平滑模型的拟合图和观测值。图5 平滑模型的拟合图

22、图中需求量整体呈波动上升，拟合和值和观测值基本重合。并且模型预测了后2012年以后5年每个月的需求量，可以看出其需求平稳上升。而且（上控制线）和(下控制线）之间距离较大，说明如果未来公司采取措施，或者市场环境有大的变动时，需求量将出现很大变动。此外下表还给出了未来每个月的实际需求量(详细见附录)。表7 各月份鲜猪肉需求量未来5年预测总需求排序十月 2017123159.18九月 2017122758.51十二月 2017122672.07七月 2013120052.39二月 2014119970.24.八月 2013119958.59三月 2013119907.64十一月 2013119791

23、.49四月 2013119725.06一月 2013119486.9十月 2018119680.0725由此，可以确认未来5年全省猪肉需求量将在2017年10月到达峰值，需求量为123159.18吨。用同样的方法对154个城镇预测，得出了2017年10月时前5位和后5位如下表表8 各城镇鲜猪肉需求表前五位后五位城镇峰值城镇峰值1209254.2617113.07314857.4474110.231014454.5330107.36683364.368494.521063358.1410279.88由表中数据可知2017年10月全省鲜猪肉需求量达到峰值，需求达到前5位的城镇为120、31、101

24、、68、106；后5位的城镇为17、74、30、84、102。5.3问题三模型的建立与求解公司调查发现，城镇的购买量与其距连锁店的距离有关，由于距离的原因，各城镇的部分需求转向购买其他公司或个体工商户的产品。因此我们首先通过用算法算出任意两个城镇间的最短距离，得出最短距离矩阵。在此基础上构建优化模型。5.3.1算法计算任意两点最短路径算法的主要思想是从代表任意2个顶点之间距离的带权邻接矩阵开始，每次插入一个顶点，然后将到间的已知最短路径于插入顶点作为中间顶点（一条路径中始点外和终点外的其他顶点）时可能产生的到路径距离比较，取较小值以得到新的距离矩阵。如此循环迭代下去，依次构造出个矩阵，当所有的

25、顶点均作为任意2个顶点到中间顶点时，得到的带权邻接矩阵就反映了所以顶点对之间的最短距离信息，成为图的距离矩阵。用编程计算出城镇的最短距离矩阵根据附件的城镇需求量预测数据，和消费者对于不同距离的不同消费量。在最短距离矩阵的基础上构建连锁店的销售量矩阵。（假设每个城镇都可能建立连锁店，表示当在城镇建立连锁店时城镇的购买量，若）另外如果要使新建的连锁店销售量最大，新建的连锁店将对原来连锁店的消费量造成影响。考虑到新建连锁店的成本，我们在兴建连锁店时应该把这种影响降到最低。至少应该保证原有的销售量。所以为了使全局最最优，我们把原23个连锁店加入优化模型。分成两部分进行局部优化，最后全局优化。根据“距离

26、消费”现象构建所有城镇对于原有连锁店的销售量矩阵（表示原有23个连锁店，表示154个城镇）5.3.2 模型及约束条件的确定5.3.2.1原有连锁店最大销售量：这里假设消费者为理性消费者，即它会选择在该公司最近的连锁店购买猪肉。然后因为距离造成的不能满足部分转向其它公司（即不可能出现，该城镇消费者同时在距离不同的两家连锁店购买）。即消费者会在最短距离矩阵中选择，此时消费者会在对应的连锁店购买猪肉。在此基础上构建优化模型：用用表示23家连锁店现有的销售能力（即增设连锁店后原有的23家连锁店的销售能力）；有基于成本和条件考虑，题目指出原有的23家销售连锁店销售能力可在现有销售量的基础上上浮20%，这

27、可以看作是一个最大销售量。把原有销售量视为最低销售量。（23家原有销售量以第一题给出的为准（见附录1）。设原有23家连锁店的销售量总和为。5.3.2.2新建连锁店最大销售量用用表示在i城镇连锁店的销售量。同样消费者会在最短距离矩阵中选择，此时消费者将会会在对应的连锁店购买猪肉。用故为：同时问题要求增设的销售连锁店销售能力控制在每日20吨至40吨内。即：考虑到新建连锁店的成本较高，应该使连锁店尽量少。设增加D个连锁店，所以有：5.3.2.3目标函数的确定 要求全省销售量达到最大，即：综上得优化模型为：要求全省销售量达到最大，即销售量总和为699813.6千克。六、模型的评价6.1模型的评价6.1

28、.1模型的优点1、模型一把优化问题和图论相结合，充分利用了二者的优点。把整体优化转化为局部优化，减小了模型的复杂度，能广泛用于运输模型；2、模型二中用聚类分析把城镇进行聚类，减少了大量的数据，而且从全局来，消费者需求特征一类远比一个更具代表性。对公司制定发展计划更有借鉴作用；3、本题所选取的优化模型，能在众多方案中寻求出最优方案，有效解决问题切合题意。6.1.2模型的缺点1、问题二的时间序列预测模型，只是从历史的角度来看未来。应该从现在和未来的角度对消费者需求量做预测，可以加入环境市场的因素对模型进行改进。问题三的优化模型虽然充分考虑了公司的利益。但模型的迭代和判断相对复杂，以致没法算出结果，

29、应该适当给以简化。七、模型推广模型一在实际的应用中可以很好地进行推广。例如每个工厂生产的产品不一定直接发运到销售点，可以将其中几个产地集中一起运；运往各销地的产品可以先运给其中几个销地，再转运给其他销地；除产、销地之外，中间还可以有几个转运站，在产地之间、销地之间或产地与销地间转运。这种情况用模型一的图论和线性优化模型能很好解决。模型二的指数平滑模型是统计预测中一种广泛使用的方法，它可直接用于预测，也可用于模型参数的估计。指数平滑法对历史数据给予逐渐减弱的影响程度，通过计算指数平滑值，结合一定的时间序列模型对未来进行预测。目前，在电力行业中，指数平滑方法多应用于负荷预测。八、参考文献1谢应昭，

30、卢继平，含风储混合系统的多目标机组组合优化模型及求解，电力自动化设备，2015，03；2邓伦冰，关于中小企业板股票投资的价值分析基于聚类分析和判别分析， 商，2014，07；3姜启源，谢金星，叶俊，数学模型，北京高等教育出版社，2011，1；4邓超风，指数平滑模型探讨，中国水运(学术版)，2006，09：210-211；5张新萍， 医学序列图像快速聚类算法与CT图像重建技术应用研究，山东：山东大学，2012；6杨小平，统计分析方法与应用教程，清华大学出版社，2008；7高辉，基于多个回归方程拟合的数据挖掘方法研究与设计，东北师范大学，2012。九、附录附录n=248; a=zeros(n);

31、y(1,1)=0;y(2,2)=0 y(135,135)=0;y(136,136)=0;y(137,137)=0 a(1,100)=21.14;a(1,16)=30.67a(154,16)=34.66; a(154,148)=18.15; a=a+a'M=max(max(a)*n2; a=a+(a=0)-eye(n)*M; path=zeros(n); for k=1:n fori=1:nfor j=1:n if a(i,j)>a(i,k)+a(k,j) a(i,j)=a(i,k)+a(k,j); path(i,j)=k; endendendenda, path m=a(63,:

32、) n=a(120,:) m1=m(1 10 11 16 22 24 27 31 34 36 42 63 64 65 79 94 106 120 123 141 145)n1=n(1 10 11 16 22 24 27 31 34 36 42 63 64 65 79 94 106 120 123 141 145)c=path(63,:) d=path(120,:) c1=c(1 10 11 16 22 24 27 31 34 36 42 63 64 65 79 94 106 120 123 141 145) d1=d(1 10 11 16 22 24 27 31 34 36 42 63 64

33、65 79 94 106 120 123 141 145)A=xlsread('D:location.xls');x=A(:,2);y=A(:,3);hold onplot(x,y,'*r');for i=1:248c=num2str(i);c=' ',c;text(x(i),y(i),c);endfor j=1:248 a1=A(A(j,4),2); a2=A(A(j,4),3); b1=A(A(j,5),2); b2=A(A(j,5),3); a=a1,b1; b=a2,b2; plot(a,b)end附录用进行聚类分析，将样本分成5类，由于

34、篇幅问题详细结果如下：表1 聚类分析表城镇号类别城镇号类别城镇号类别城镇号类别城镇1061城镇382城镇732城镇1262城镇311城镇392城镇742城镇1292城镇631城镇402城镇752城镇1302城镇22城镇412城镇782城镇1312城镇32城镇422城镇802城镇1322城镇42城镇432城镇822城镇1342城镇52城镇452城镇842城镇1372城镇72城镇472城镇852城镇1422城镇152城镇482城镇882城镇1432城镇162城镇512城镇892城镇1452城镇172城镇552城镇922城镇1462城镇192城镇592城镇932城镇1512城镇222城镇602城镇9

35、42城镇1522城镇242城镇612城镇1364城镇1532城镇252城镇622城镇1384城镇123城镇262城镇642城镇1394城镇333城镇282城镇694城镇1404城镇463城镇292城镇774城镇1414城镇493城镇302城镇814城镇1444城镇503城镇84城镇834城镇1474城镇533城镇94城镇864城镇1494城镇543城镇104城镇874城镇1205城镇563城镇114城镇904城镇952城镇683城镇134城镇914城镇962城镇713城镇144城镇974城镇982城镇763城镇184城镇1074城镇992城镇793城镇204城镇1114城镇1022城镇1003城镇214城镇1134城镇1032城镇1013城镇234城镇1174城镇1052城镇1043城镇274城镇1194城镇1082城镇1103城镇324城镇1244城镇1092城镇116