解析函数的孤立奇点课堂资料

1、 函数的孤立奇点及其分类函数的孤立奇点及其分类( (p p193193) )一一、函数孤立奇点的概念及其分类、函数孤立奇点的概念及其分类二、函数各类孤立奇点的充要条件二、函数各类孤立奇点的充要条件三、用函数的零点判断极点的类型三、用函数的零点判断极点的类型四四* *、函数在无穷远点的性态、函数在无穷远点的性态1行业材料例例10 z是函数是函数zzezsin,1的孤立奇点的孤立奇点.1 z是函数是函数11 z的孤立奇点的孤立奇点.注意注意: : 孤立奇点一定是奇点孤立奇点一定是奇点, , 但奇点不一定是孤但奇点不一定是孤立奇点立奇点.一一 、函数孤立奇点的概念及其分类、函数孤立奇点的概念及其分类

2、在在定义定义 如果函数如果函数在在 不解析不解析, , 但但的某一去心邻域的某一去心邻域内处处解析内处处解析, , 则则0z)(zf)(zf0z 00zz0z)(zf为为的的孤立奇点孤立奇点. .称称2行业材料例例2 2 指出函数指出函数0 z在点在点zzzf1sin)(2 的奇点特性的奇点特性. .解解 kzz1,0 ),2,1( k，因为因为01lim kk即在即在0 z的不论怎样小的去心邻域内的不论怎样小的去心邻域内, , 的奇点存在的奇点存在, , 函数的奇点为函数的奇点为)(zf总有总有0 z不是孤立奇点不是孤立奇点.所以所以3行业材料讨论函数在孤立奇点的情况讨论函数在孤立奇点的情况

3、如果点如果点 为函数为函数 的的孤立奇点孤立奇点，则，则在点在点 某去心邻域某去心邻域 内可设内可设 的的laurent级数展开式为级数展开式为其中其中 nnnzzczf)()(0)()()(2110为整数为整数nzzdzzficcnn 为该去心邻域内围绕点为该去心邻域内围绕点z0的任一条正向简单闭的任一条正向简单闭曲线。曲线。c0z)(zf0z)(zf 00zz4行业材料定义定义1 1 若若laurent级数级数(5-1-1)中所含中所含(z-z0)的负幂的负幂项的项数分别为项的项数分别为1 1）零个，）零个， 2 2）有限个，）有限个， 3 3）无穷多个，）无穷多个，则分别称则分别称z0为

4、为f(z)的的可去奇点可去奇点、极点极点和和本性奇点本性奇点。且当且当z0为极点时，若级数中负幂的系数为极点时，若级数中负幂的系数c-m0 并且并且cn=0(n=-m-1,-m-2, ), 则称则称z0为为f(z)的的m级极点级极点，一级极点又称为一级极点又称为简单极点简单极点。5行业材料1 1 可去奇点可去奇点如果如果laurent级数中级数中不含不含 的的负幂项负幂项, , 0zz 0z)(zf则称孤立奇点则称孤立奇点 称为称为 的的可去奇点可去奇点.定义定义其和函数其和函数)(zf在在0z处解析处解析.的的孤孤立立奇奇点点，则则若若是是)(0zfz nnzzczzcczf)()()(00

5、10内内在在 00zz二、函数各类孤立奇点的充要条件二、函数各类孤立奇点的充要条件6行业材料)(lim)(000zfczfzz 无论无论在在是否有定义是否有定义, )(zf0z可补充定义可补充定义则函数则函数在在解析解析.)(zf 0zz反过来，若反过来，若在在解析，解析，)(zf 00zz且且)(lim0zfzz存在，存在， 则则 必是必是 的可去奇点。的可去奇点。)(zf0z( (由于这个原因，因此把这样的奇点由于这个原因，因此把这样的奇点z0叫做叫做 f(z) 的可去奇点。的可去奇点。) )这样得到下面的结论这样得到下面的结论：7行业材料由定义判断由定义判断:的的 laurent 级数无

6、负级数无负0z)(zf在在如果如果幂项幂项, 由有界性判断：由有界性判断：0 0若若f(z)f(z)在在点点z z 的的去去心心邻邻域域内内有有界界则则0z为为)(zf的可去奇点的可去奇点.上解析，上解析，在在设设rzzzf 00)(则则0z为为)(zf的的可去奇点可去奇点的的充要条件充要条件为为存存在在并并且且是是有有限限值值。)(lim0zfzz0z为为)(zf 的可去奇点的可去奇点.则则注注：函数函数f(z)的可去奇点的可去奇点z0 0看作它的解析点，且规看作它的解析点，且规定定00)(czf 8行业材料例例 说明说明0 z为为zez1 的可去奇点的可去奇点. .解解 zez1,!1!

7、2111 nznz z0所以所以0 z为为的可去奇点的可去奇点.zez1 无负幂项无负幂项另解另解 zzzzeze00lim1lim 因为因为)1!1! 211(12 nznzzz, 1 所以所以0 z为为的可去奇点的可去奇点.zez1 9行业材料 由于由于z=0为函数为函数 的可去奇点，的可去奇点，且当且当z0时，时，f(z)1，因此可补充定义，因此可补充定义 f(0)=1，使使 f(z) 在整个复平面上处处解析。在整个复平面上处处解析。zezfz)1()( 10行业材料如果补充定义如果补充定义:0 z时时, 1sin zz那末那末zzsin在在0 z解析解析.例例 42! 51! 311s

8、inzzzz中不含负幂项中不含负幂项,0 z是是zzsin的可去奇点的可去奇点 . 11行业材料0 00 0i i0 0特特上上式式等等号号成成立立f(z )|=f(z )|=别别的的，如如果果或或存存在在圆圆内内一一点点z z使使得得|,|,则则|z |z |f(z)= e zf(z)= e z有有(|z|1)(|z|1)schwarz 引理引理 如如果果f(z)f(z)在在单单位位圆圆|z|1|z|1内内解解析析，并并且且满满足足条条件件f(0)= 0, |f(z)|1 (|z|1),f(0)= 0, |f(z)|1 (|z|m时，时，ck=0，此时称，此时称z=是函数是函数 f(z)的的m级极点级极点。特别地，当特别地，当m=1时，称时，称z=是函数是函数f(z)的的单极点单极点。 31行业材料 定理定理3 3 设函数设函数 在区域：在区域： 内解内解析析, ,那么那么 是函数是函数 的可去奇点，极点的可去奇点，极点或者本性奇点的充分必要条件分别为：或者本性奇点的充分必要条件分别为： 存在着有限极限，无穷极限或者不存在任何极限存在着有限极限，无穷极限或者不存在任何极限（包括无穷）。（包括无穷）。推论推论 设函数设函数 在区域：在区域： 内解内解析析, ,