数列题库教育试题

1、借鉴试题1数学题库数学题库数列篇数列篇数列的通项求法：1(20091(2009 湖北卷理湖北卷理) )已知数列 na满足：1am（m 为正整数） ，1,231,nnnnnaaaaa当为偶数时，当为奇数时。若6a 1，则m 所有可能的取值为_。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m .【答案】4 5 32【解析】 （1）若1am为偶数，则12a为偶, 故223 a224amma 当4m仍为偶数时，46832mmaa 故13232mm 当4m为奇数时，4333114aam 63144ma故31414m得 m=4。（2）若1am为奇数，则213131aam 为偶数，故3312ma必为偶数63116m

2、a，所以3116m=1 可得 m=52（2010 苏锡常三模）数列an满足 a11，则 a10 111111nnaa答案： 17193（2010 南通三模）若数列有一个形如的通项公式，其中均为实数，且 nasin()naanbab、，则 .（只要写出一个通项公式即可） 002a、na 借鉴试题2答案答案：学4213sin332n 4（2010 苏北四市二模）已知数列的各项均为正数，若对于任意的正整数总有，且， na,p qp qpqaaa816a则 .10a 答案答案； 325 5（20102010 苏北四市一模）苏北四市一模）在数列中，已知，当时，是的个位数，na122,3aa2n 1na1

3、nnaa则 4；2010a6（2010 常州一模）已知等比数列的公比，若，则 na0q 22343,21aaaa345aaa .7（2009 陕西卷文）已知数列满足， .na*11212,2nnnaaaaann2令，证明：是等比数列； 1nnnbaa nb ()求的通项公式。na8（2008 江西卷 5）在数列中， ，则 na12a 11ln(1)nnaanna 9 9（四川卷（四川卷 1616）设数列中，则通项 _。 na112,1nnaaanna 112n n1010以数列的任意相邻两项为坐标的点均在一次函数na)(,(1nnaapnnn的图象上，数列满足条件：，)0( ,2kkxynb1

4、()nnnbaa nn求证：数列是等比数列；nb设数列、的前项和分别为、，若，求的值nanbnnsnt46ts 95sk借鉴试题311.设为等比数列，已知，。 nannnaaannat1212) 1(11t42t（）求数列的首项和通项公式； （）求数列的通项公式。 na nt1212设函数，数列满足21123( )nnf xaa xa xa x1(0)2fna，则数列的通项等于 2*(1)()nfn a nnnana1(1)n n13数列的前项和为。 nan*11,1,2()nnnsaasnn（1）求数列的通项； nana（2）求数列的前项和。nnannt1414若数列的通项公式为，的最大值为

5、第 x 项，最小项na)(524525122nnannnna为第 y 项，则 x+y 等于 数列的前 n 项和求法：公式法1（2010 南京二模）等比数列 na的公比q0，已知11116nmmaaaa ，则 na的前四项和是 2.(2009(2009 陕西卷理陕西卷理) )设曲线1*()nyxnn在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为nx,令lgnnax，则1299aaa的值为 . 答案：答案：-23（2009 陕西卷文）设曲线1*()nyxnn在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为nx,则12nxxx的值为 借鉴试题4 11n 4对正数 n，设曲线在 x=2 处的切线与

6、y 轴交点的纵坐标为，则数列(1)nyxxna 的前 n 项和的公式是=_1nanns5当1，表示把“四舍五入”到个位的近似值，如x g xx当为正整数时，集合 g 0.48 =0,g2 =1,g 2.76 =3,g 4 =4,n中所有元素之和为，则 . n1m|,2kgkn knns5s 周期法的值为则连乘积满足已知数列20102009321*11),(11, 24.aaaaannaaaaannnn2（2010 苏北四市三模）在数列中，若对任意的均有为定值（） ，且 nan12nnnaaann，则此数列的前 100 项的和.29979982,3,4aaa na100s分组求和分组求和1 1已

7、知数列 nx的首项13x ，通项2nnxpnq（, ,nnp q为常数） ，且145,x xx成等差数列，求： （）, p q的值； （）数列 nx的前n项的和ns的公式。a a 与与 s s 的关系的关系nn已知数列的前 n 项和分别为,nnba则数列的),(c402b5a,*10001000nnbaabbabannnnnnnnn，记，且nc前 1000 项的和为 2010 拆项法拆项法.已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前( )yf x( )62fxxnan 项和为，点均在函数的图像上。 ()求数列的通项公ns( ,)()nn snn( )yf xna式；借鉴试题5()设,

8、是数列的前 n 项和，求使得对所有都成立的最1nnnaa3bnt nb20nmt nn小正整数 m；数列的单调性问题数列的单调性问题1 1（20102010 泰州一模）泰州一模）通项公式为的数列，若满足，且对2naann na12345aaaaa1nnaa恒成立，则实数的取值范围是_8n a11(,)9172（20102010 苏北四市一模）苏北四市一模）已知数列是等比数列，为其前项和nansn（1）若，成等差数列，证明，也成等差数列；4s10s7s1a7a4a（2）设，若数列是单调递减数列，求实数的取332s 62116s 2nnbannb值范围解：设数列的公比为，naq因为，成等差数列，所

9、以，且4s10s7s1q 74102sss所以，qqaqqaqqa11111127141101因为，所以 4分0q 6321qq 所以，即361112aa qa q1472aaa所以也成等差数列 6 分174,a a a（2）因为，332s 62116s 所以， 231131qqa，16211161qqa由，得，所以，代入，得3718q21q21a借鉴试题6所以， 8 分1212nna又因为，所以， 2nabnn21212nbnn由题意可知对任意，数列单调递减，*nnnb所以，即，nnbb121212nn21212nn即对任意恒成立， 10 分16212nn*nn当是奇数时，当，取得最大值n(

10、21)26nn 1n 时(21)26nn，所以； 12 分1 当是偶数时， ，当，取得最小值，n(21)26nn2n 时(21)26nn103所以310综上可知，即实数的取值范围是14 分1013 10( 1,)3新型数列的研究1（2010 苏北四市二模） 设为数列的前项和，若（）是非零常数，则称该数列为“和等比数ns nan2nnss*nn列” （1）若数列是首项为 2，公比为 4 的等比数列，试判断数列是否为“和等比数 2nb nb列” ；（2）若数列是首项为，公差为的等差数列，且数列是“和等比数列” nc1c(0)d d nc， 试探究与之间的等量关系d1c解：因为数列是首项为 2，公比

11、为 4 的等比数列，所以， 2nb12122 42nnnb因此分21nbn借鉴试题7设数列的前项和为，则，所以， nbnnt2ntn224ntn24nntt因此数列为“和等比数列” 6 分 nb(2) 设数列的前项和为，且， ncnnr2(0)nnrk kr 因为数列是等差数列，所以， nc1(1)2nn nrncd212 (21)22nnnrncd所以对于都成立，1212 (21)22(1)2nnnnncdrkn nrncd*nn化简得，10 分1(4)(2)(2)0kdnkcd 则，因为，所以，1(4)0,(2)(2)0kdkcd0d 14,2kdc因此与之间的等量关系为14 分d1c12

12、dc2（北京 2009 高考）设数列的通项公式为。数列定义如下：对于正整数na(,0)napnq nnp nbm，是使得不等式成立的所有 n 中的最小值。mbnam（）若，求；11,23pq 3b（）若，求数列的前 2m 项和公式；2,1pq mb（）是否存在 p 和 q，使得？如果存在，求 p 和 q 的取值范围；如32()mbmmn果不存在，请说明理由。【解析解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法本题是数列与不等式综合的较难层次题.（）由题意，得1123nan，解11323n，得203n . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

13、11323n成立的所有n中的最小整数为 7，即37b . （）由题意，得21nan，对于正整数，由nam，得12mn.根据mb的定义可知借鉴试题8当21mk时，*mbk kn；当2mk时，*1mbkkn. 1221321242mmmbbbbbbbbb 1232341mm 213222m mm mmm.（）假设存在p和q满足条件，由不等式pnqm及0p 得mqnp.32()mbmmn,根据mb的定义可知，对于任意的正整数m 都有3132mqmmp ，即231pqpmpq 对任意的正整数m都成立. 当310p （或310p ）时，得31pqmp （或231pqmp ） ， 这与上述结论矛盾！ 当3

14、10p ，即13p 时，得21033qq ，解得2133q . 存在p和q，使得32()mbmmn；p和q的取值范围分别是13p ，2133q 3 3设集合w是满足下列两个条件的无穷数列的集合：； na212nnnaaa m是与n无关的常数*.,namnn其中(1)若是等差数列，是其前n项的和，=4，=18，试探究与集合w之间nans3a3sns的关系；(2)设数的通项为，求m的取值范围；(4 分)nb52 , nnnbnbw且4定义：在数列an中，若 an2an12p， （n2，nn*，p 为常数） ，则称an为“等方差借鉴试题9数列” 下列是对“等方差数列”的有关判断：若an是“等方差数列

15、” ，则数列an2是等差数列；(1)n是“等方差数列” ；若an是“等方差数列” ，则数列akn（kn*，k 为常数）也是“等方差数列” ；若an既是“等方差数列” ，又是等差数列，则该数列是常数数列其中判断正确的序号是 5.5.（20092009 北京理）北京理） 已知数集1212,1,2nnaa aaaaa n具有性质p；对任意的,1i jijn ，ija a与jiaa两数中至少有一个属于a.（）分别判断数集1,3,4与1,2,3,6是否具有性质p，并说明理由；（）证明：11a ，且1211112nnnaaaaaaa；（）证明：当5n 时，12345,a a a a a成等比数列.【解析解

16、析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.（）由于3 4与43均不属于数集1,3,4，该数集不具有性质 p. 由于6 6 1 2 3 61 2,1 3,1 6,2 3, ,2 3 1 2 3 6都属于数集1,2,3,6， 该数集具有性质 p. （）12,naa aa具有性质 p，nna a与nnaa中至少有一个属于 a，由于121naaa，nnna aa，故nna aa. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 从而1nnaaa，11a .121naaa， knna aa，故2,3,kna aa kn.

17、 由 a 具有性质 p 可知1,2,3,nkaa kna.又121nnnnnnaaaaaaaa，借鉴试题10211211,nnnnnnnnaaaaaaaaaaa，从而121121nnnnnnnnaaaaaaaaaaaa，1211112nnnaaaaaaa. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）由（）知，当5n 时，有552343,aaaaaa，即25243aa aa， 1251aaa，34245a aa aa，34a aa，由 a 具有性质 p 可知43aaa 2243a aa，得3423aaaaa，且3221aaa，34232aaaaa，534224321aaaaaaaaa，即123

18、45,a a a a a是首项为 1，公比为2a成等比数列.k.s.5.等差数列等差数列等差数列及性质等差数列及性质1 1设记不超过的最大整数为,令=-，则 ，,rxxxxxx215 215 215 a.是等差数列但不是等比数列 b.是等比数列但不是等差数列c.既是等差数列又是等比数列 d.既不是等差数列也不是等比数列 2（2008 广东卷 4）记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（ b ）nns244,20ssd a、2 b、3 c、6 d、7借鉴试题113（2009 辽宁高考）已知为等差数列，且-2=-1, =0,则公差 d= na7a4a3a4（2009 福建卷理）等差数列na的前

19、n 项和为ns，且3s =6，1a=4， 则公差 d 等于 2 5 5（20092009 辽宁卷文）辽宁卷文）已知 na为等差数列，且7a24a1, 3a0,则公差 d d126已知等差数列中，求的值 na1,16497aaa12a7（2008 海南卷 13）已知an为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则 a5 = _158（2009 湖南卷文）设ns是等差数列 na的前 n 项和，已知23a ，611a ，则7s等于 9 9（20102010 南通三模）南通三模）已知数列为等差数列，若，则数列的最小项是第 项. na561aa na1010（20092009 全国卷全国卷理）

20、理）设等差数列 na的前n项和为ns，若535aa则95ss 9 . 解解： na为等差数列，9553995sasa 1111（20092009 安徽高考）安徽高考）已知为等差数列，则等于 1212（20102010 扬州一模）扬州一模）借鉴试题12等差数列中，若, ，na124aa91036aa则 . 10s1001313（20092009 全国高考）全国高考）设等差数列的前项和为。若，则_.nanns972s 249aaa1414.在等差数列中，则 . na22,16610a axx 是方程的两根，5691213aaaaa15知数列为等差数列，且，则_ na17134aaa212tan()

21、aa1616（20082008 陕西卷陕西卷 4 4）已知是等差数列，则该数列前 10 项和等于（ na124aa7828aa10sb ）a64b100c110d1201717已知，数列的前 n 项和为，则使的 n 的最小值是*3211nannn nans0ns 1818（2008 北京卷 7）已知等差数列中，若，则数列的前 5 项和等 na26a 515a 2nnba nb于 1919（20082008 安徽卷安徽卷 1515） 在数列在中，,其中为常na542nan212naaaanbn*nn, a b数，则 1ab 等差数列先证后求的问题等差数列先证后求的问题可化成的等差数列1数列的通项

22、公式是,其前项和为,则数列的前 11 项和为 .na1 2nan nnsnsn借鉴试题132等差数列中，是其前 n 项和，则的值为nans12008a 20072005220072005ss2008s_3 3（20092009 江西高考）江西高考）2009 江西卷理）数列na的通项222(cossin)33nnnan，其前n项和为ns，则30s为a470 b490 c495 d510答案：a【解析】由于22cossin33nn以 3 为周期,故2222222223012452829(3 )(6 )(30 )222s 221010211(32)(31)59 10 11(3 ) 925470222

23、kkkkkk故选 a4 4（20092009 江西高考）江西高考）1 数列na的通项222(cossin)33nnnan，其前 n 项和为ns. (1) 求ns; (2) 3,4nnnsbn求数列nb的前 n 项和nt.解: (1) 由于222cossincos333nnn,故312345632313222222222()()()1245(32)(31)(3 )(6 )(3 ) )222kkkksaaaaaaaaakkk 1331185(94)2222kkk,3133(49 ),2kkkkkssa2323131(49 )(31)1321,22236kkkkkkkssak 借鉴试题14故 1,3

24、236(1)(1 3 ),316(34),36nnnknnsnknnnk (*kn)(2) 394,42 4nnnnsnbn21 132294,2 444nnnt 112294413,244nnnt两式相减得1232199199941941944313138,12444242214nnnnnnnnnnt故 2321813.33 22nnnnt分组求和分组求和1 1已知数列 nx的首项13x ，通项2nnxpnq（, ,nnp q为常数） ，且145,x xx成等差数列，求： （）, p q的值； （）数列 nx的前n项的和ns的公式。拆项法求和拆项法求和1 1已知函数（且）的图象恒过定点（h，k） ，数列（）的xaxf)(0a1ana0na首项为 k，且前 n 项和满足（） ，ns11nnnnssss2n（1）求数列的通项公式；na（2）数列的前 n 项和为，问满足的最小正整数