讲座电力平方反比律的精确验证

1、讲座一讲座一电力平方反比律的精确验证电力平方反比律的精确验证 cavendish-maxwell2005.2北京大学物理学院王稼军编写cavendish(1731-1810)实验想法实验想法： 则均匀带电导体球壳内表面将带电则均匀带电导体球壳内表面将带电0 0若若设设，2rf0,）（总内baqqn找出此函数关系（理论），比较找出此函数关系（理论），比较q内内与与q总总（实验），便可确定（实验），便可确定 的下限。的下限。 2005.2北京大学物理学院王稼军编写02nrfn若若设设，n电荷电荷q q 将受到的指向或背向将受到的指向或背向球心球心oo的作用力的作用力q不在球心不在球心的作用力的作用

2、力及及受受21dsdsqnnrqdsrqdsdf2211222211coscosrdsrdsd)11(cos2221nnrrqddf00, 2dfn若若n 证明：若证明：若 0 0，则，则均匀带电球面对内部任均匀带电球面对内部任意点电荷作用力不为零意点电荷作用力不为零 2005.2北京大学物理学院王稼军编写点点背向背向合合指向指向点点指向指向合力合力指向指向同号同号设设odsfdnodsfdnq，力，、0, 20, 2012n电荷在球壳内任一点处（除球电荷在球壳内任一点处（除球心外）都受到电场力；心外）都受到电场力；n结论：若结论：若 0 0 ，均匀带电球壳，均匀带电球壳在球内各处场强不严格为

3、零在球内各处场强不严格为零（球心除外）（球心除外）点点指向指向合合指向指向点点背向背向合力合力指向指向异号异号设设odsfdnodsfdnq，力，、0, 20, 20212005.2北京大学物理学院王稼军编写推论：推论：若若 0，带电导体球壳带电导体球壳内内表面应带电表面应带电 0时，时，若内表面无电荷若内表面无电荷分布分布，（只分布在外表面，（只分布在外表面），使导体中自由电子因），使导体中自由电子因受力或趋向球心运动，或受力或趋向球心运动，或背离球心而移动，最终使背离球心而移动，最终使电荷分布满足导体内场强电荷分布满足导体内场强处处为零的条件处处为零的条件内表内表面有电荷分布面有电荷分布导

4、体内表面导体内表面带电导带电导体壳体壳2005.2北京大学物理学院王稼军编写装置：装置： 1773年年 他是这样描述他的装置的他是这样描述他的装置的：“我取一个直径为我取一个直径为12.1英寸的球，用一根实心的英寸的球，用一根实心的玻璃棒穿过中心当作轴，玻璃棒穿过中心当作轴，并覆盖以封蜡。并覆盖以封蜡。然后然后把这个球封在两个中空的把这个球封在两个中空的半球中间，半球直径为半球中间，半球直径为13.3英寸，英寸，1/20英寸厚。英寸厚。然后，我用一根导线然后，我用一根导线将莱顿瓶的正极接到半球将莱顿瓶的正极接到半球，使半球带电。，使半球带电。”2005.2北京大学物理学院王稼军编写实验方法实验

5、方法 用一根导线将内外球联在一起，外球用一根导线将内外球联在一起，外球壳带电后，取走导线，打开外球壳，壳带电后，取走导线，打开外球壳，用木髓球验电器试验内球是否带电。用木髓球验电器试验内球是否带电。 结论：木髓球验电器没有指示，证明结论：木髓球验电器没有指示，证明内球没有带电，指数内球没有带电，指数02. 02005.2北京大学物理学院王稼军编写cavendish其人其人 cavendish的同心球实验结果和他自己的许的同心球实验结果和他自己的许多看法没有公开发表。多看法没有公开发表。 19世纪中叶，开尔文发现世纪中叶，开尔文发现cavendish的手稿的手稿中有圆盘和同半径的圆球所带电荷的正

6、确中有圆盘和同半径的圆球所带电荷的正确比值，才注意到这些手稿的价值，经他催比值，才注意到这些手稿的价值，经他催促，才于促，才于1879年年由由maxwell整理发表。整理发表。 他的许多重要发现竟埋藏了一百年之久。他的许多重要发现竟埋藏了一百年之久。2005.2北京大学物理学院王稼军编写maxwell介绍介绍 “这些关于数学和电学实验的手稿近这些关于数学和电学实验的手稿近2020捆捆，其中，其中“物体上电荷（分布）物体上电荷（分布）”的实验的实验，cavendish早就写好了详细的叙述，并且费早就写好了详细的叙述，并且费了很大气力书写得十分工整（就象要拿出了很大气力书写得十分工整（就象要拿出去

7、发表的样子），而且所有这些工作在去发表的样子），而且所有这些工作在17741774年以前就已完成，但年以前就已完成，但cavendish（并（并不急于发表）仍是兢兢业业地继续做电学不急于发表）仍是兢兢业业地继续做电学实验，直到实验，直到1810年去世时，手稿仍在他身年去世时，手稿仍在他身边。边。”2005.2北京大学物理学院王稼军编写一百年以后的一百年以后的 maxwell实验实验 maxwell在在cawendish实验室重实验室重新做了测量电力的示零实验新做了测量电力的示零实验 他改进了实验装置他改进了实验装置导体球壳导体球壳a、b，之间用绝缘的硬，之间用绝缘的硬橡胶环固定橡胶环固定 a

8、a球固定在绝缘支架上球固定在绝缘支架上 利用利用c，使之可相连或分开，使之可相连或分开 m用来估计外壳上的原始电荷用来估计外壳上的原始电荷 m：小的黄铜球，小的黄铜球，放在了离外壳相放在了离外壳相当远的绝缘支架当远的绝缘支架上上2005.2北京大学物理学院王稼军编写由推论：由推论：若若 0，带电导体球壳带电导体球壳内表面应带电内表面应带电，）（总内0,0baqq）壳壳的的半半径径是是aa(0,）（bavvb或或，壳壳的的半半径径）是是( (bb 与装置相联系，设函数与装置相联系，设函数带电导带电导体壳体壳a导体内表导体内表面面b2005.2北京大学物理学院王稼军编写实验操作如下（实验操作如下（

9、三步三步） 1.1.合合c，a 与与b相连，充电相连，充电va=vb=vn 2. 2.撤撤c，a与与b分开，分开，a接地放电，留原处。接地放电，留原处。 0若若0）（即即bq0）（即aq感感应应使使000bv、0,即可证实即可证实只要找出只要找出）（bavvb（见后面的理论分析）（见后面的理论分析）n 3.探测探测vb，比较，比较vb与与v v的大小，确定的大小，确定 的下限的下限。2005.2北京大学物理学院王稼军编写maxwell作的理论分析作的理论分析 计算半径为计算半径为c的的均匀带电球壳均匀带电球壳的电势分布的电势分布）（02rf设设 球面球面球面rrpdrrdqedrdvv,2dd

10、c sin2 0202sin)(rdrddcr21)(rr 0220sin)( ddcrrfrdrrrrf)()( 定定义义由于由于 0 ，积分不好算，定义函数是为了算出积分，积分不好算，定义函数是为了算出积分2005.2北京大学物理学院王稼军编写 0220sin)( ddcrrfcos2222cddcr dcdrdrrsin: :两两边边求求导导对对 0sin12dcdrdrrr面元面元dcrr 1, cdcddccdcdrr上，内，外，, 0, 02 2012)( drdrfdcvrrp) 1 ()()(221rfrfdc2005.2北京大学物理学院王稼军编写 2012)( drdrfdc

11、vrrp) 1 ()()(221rfrfdc）内（在球内，）上（在球上，）外（在球外4)()(23)0()2(22),()(22pdcfdcfcdpfcfapcdfdcfcd为为球球面面总总电电量量24 c2005.2北京大学物理学院王稼军编写 计算计算两均匀带电同心球壳两均匀带电同心球壳内外球面的电势内外球面的电势)5()()(2)0()2(22bafbafabfafava)6()()(2)0()2(22bafbafabfbfbvb外壳上，外壳上，c=a,d=a内壳外，内壳外，c=b，d=a内壳上，内壳上，c=b外壳内外壳内,c=a,d=b以上是以上是 0时两个时两个不连通不连通的同心球壳的

12、内外电势的同心球壳的内外电势 2005.2北京大学物理学院王稼军编写 求求 0且且内外球壳连通内外球壳连通时，内壳上电量时，内壳上电量 与与 、充、充电电势电电势v v以及内外半径以及内外半径a 、b的定量关系的定量关系 由实验步骤由实验步骤1：合：合c，a 与与b相连，充电相连，充电va=vb=v； 由由（5）=（6）=v，消去，消去 得内壳得内壳b上所带电量上所带电量 2)()()0()2()0()2()()()0()2(2bafbaffbffafbafbafafafbvb有有关关与与)()()( rfdrrrrfr21)(rr由由当当 0时，内球壳表面电荷时，内球壳表面电荷 不为零不为零

13、（7）2005.2北京大学物理学院王稼军编写按实验步骤按实验步骤2：撤：撤c，a与与b分开，分开，a接地放电，留原处接地放电，留原处 计算此时内球壳计算此时内球壳b的电势的电势 na球接地放电，则球接地放电，则a球上电势球上电势va=vva =0n又因留原处并保持接地又因留原处并保持接地a表面有感应电荷表面有感应电荷 ，于是由于是由（5 5）式）式=0=0解得解得 )8()0()2()()(fafbafbafab将将 、 代入代入（6）得内球壳电势得内球壳电势)9()0()2()()(1 fafbafbafbavvb内球壳电势不为零内球壳电势不为零, ,这是电力平方反比律有偏差造成的这是电力平

14、方反比律有偏差造成的 2005.2北京大学物理学院王稼军编写计算计算)0()(frf111)()( 12rrrdrrrdrrrrfrrr)0(11)( )(21frdrrdrrfrfrerrfrfln22111)0()(rerrfrfln22111)0()(22)ln(! 21ln1 (1rrr做级数展开做级数展开)10)(ln1 (rr2005.2北京大学物理学院王稼军编写 代入代入（9） ln1 2)ln(1)()ln(1)(1aabababababavvbn展开、计算得展开、计算得 )11(ln4ln21222babababaavvbn这是这是maxwell结合他的实验装置和实验步骤导出

15、的结合他的实验装置和实验步骤导出的理论公式代入当时实验时理论公式代入当时实验时v 、a 、b数据，实验结果数据，实验结果表为表为 )12(1478. 0dvvb其中其中d d为静电计观察不到任何效应时的为静电计观察不到任何效应时的最大零点漂移值最大零点漂移值 ？2005.2北京大学物理学院王稼军编写确定静电计的灵敏度确定静电计的灵敏度 给予静电计零点漂移给予静电计零点漂移d以定量结果以定量结果d d取决于仪器的灵敏度取决于仪器的灵敏度 当时实验设备十分简陋，没有绝对测量的当时实验设备十分简陋，没有绝对测量的标准仪器，定量确定标准仪器，定量确定d d有困难有困难 maxwell巧妙地巧妙地将将d

16、 d与充电电势与充电电势v v 相比较给相比较给出出d:v的下限，再由（的下限，再由（1212）式确定）式确定 的下限的下限 方法：因方法：因v v太大，经太大，经反复感应反复感应，使之缩小为，使之缩小为v/486 v/486 )12(1478. 0dvvb2005.2北京大学物理学院王稼军编写 将球将球a充电到电势充电到电势v、带电量、带电量q(q0),小球接地，因感应，小球带电小球接地，因感应，小球带电q/54撤去小球地线，保持其电量，再将撤去小球地线，保持其电量，再将大球接地，达到平衡后大球因受小大球接地，达到平衡后大球因受小球感应带正电，电量为小球的球感应带正电，电量为小球的1/9撤去

17、大球地线，保持其电量，再将小球撤去大球地线，保持其电量，再将小球移去移去单独的大球的电势和电量从最单独的大球的电势和电量从最初的初的q、v减少为最终的值（如图所标）减少为最终的值（如图所标）2005.2北京大学物理学院王稼军编写n确定确定 的下限的下限n静电计指示偏转为静电计指示偏转为 d=v/486 n将将d 与与d 相比较，估计得相比较，估计得d300dn比较后得比较后得 145800486300300vvdd1458001vd2160011458001478. 011478. 0vddvvb1478. 05105maxwell年年18799102 等等年年plimpton19361610) 1 . 37 . 2( 等等年年 william19712005.2北京大学物理学院王稼军编写小