高等代数与中学数学的联系

1、目目 录录摘要.iabstract.i1 引言.12 知识方面的联系.121 多项式理论的应用.122 行列式的应用.223 柯西不等式的应用.324 二次型的应用.43 思想方面的联系.431 符号化思想.432 分类思想.533 化归与转化思想.534 结构思想.635 公理化方法.636 坐标方法.637 构造性方法.74 观念方面的联系.7结束语.8参考文献.8致谢.10内江师范学院毕业论文摘要：运用高等代数的理论、方法、思想与观点剖析和阐述中学数学相关内容的若干问题，通过若干典型试题的解析，从知识方面、思想方面以及观念方面研究了高等代数与中学数学的联系，探索高等数学观点对中学数学一些

2、教学内容的理论依据，深化与发展高等代数在中学数学的相关内容，促进高等代数在中学数学领域的应用，探求二者的内在的联系，以便高等代数能与中学数学完美的结合关键词：高等代数；中学数学；数学思想方法；应用abstract: the problems related to elementary mathematics are analyzed and explained by using the theory， method， thoughts and views of higher algebrathrough analyzing some typical test questions，the rel

3、ation between higher algebras and elementary mathematics are investigated from the aspects of knowledge、thought and idea. exploring the higher mathematics view to middle school mathematics some teaching content theory and model， deepening and development in higher algebra in middle school mathematic

4、s related content， and promote higher algebra in the middle school mathematics field of application， and to explore the inner link， so that higher algebra can be combined with the middle school closelykeywords: higher algebra；middle school mathematics； mathematical thinking； application内江师范学院毕业论文11

5、引言高等代数作为数学专业的主干专业基础课之一，是初等代数的延伸与提高运用高等代数的望远镜和显微镜剖析各类高等数学课程与中学数学之间的关联是一项长期有效的措施以实现中学式思维方式向大学式思维方式的过度与转变为目标，引导学生在1二者之间建立一座桥梁教师方面，有利于帮助中学教师融会贯通中学教学的相关内容，让中学教师利用高等数学的相关理论、方法与观点解决中学数学的相关问题，以上位者的姿态理解中学教学内容的本源，知其所以然，促进知识的深化；学生方面，也能激发学生的学习兴趣，扩大高等数学知识在中学教学中的应用面，加深高等代数知识与中学数学的关联在理解中学数学与高等代数之间的联系后，中学教师能更好地展开相关

6、教学工作，学生能更好地完成相关教学任务本文将从数学知识、数学思想、数学观点三个层面研究高等代数与中学数学的联系22 知识方面的联系21 多项式理论的应用 作为高等数学主要内容之一的多项式理论，它与中学代数有着密不可分的关联利用多项式理论解决了中学数学中的诸多遗留难题，如多项式的根与因式分解理论，由此可见，高等代数知识对解决中学的中学代数问题有着“居高临下”的作用例 1 多项式，当时，求此多项式的值17345)(234xxxxxf142xx解 将条件等式变形为，由，所以由多项式除法，142 xx)(1xf)(42xfxx 得，173)4)()(22xxxxxxf再将代入上式，可得142 xx18

7、174)(2xxxf 例 2 已知 为整数，且满足与均为整数，求证cbaaccbbacbbccacba证明设)()()(acxcbxbaxxf于是1)()()(23xabbccaxaccbbaxxf内江师范学院毕业论文2由已知条件知是首项系数为 的整系数多项式，且，均为它的三个有理整)(xf1bacbac数根，又因为它们的乘积为 ，所以，故11accbbacba22 行列式的应用“矩阵与变换”作为普通高中新课改的选修模块之一，在历年高考中有着广泛的3命题基础，包含了中学数学中一些典型问题，如求函数的解析式，多项式的因式分解等问题，若能在解题中适当利用行列式知识，这些问题往往可以迎刃而解例 3

8、已知函数，满足，dcxbxaxxf23)(0) 1(f6) 1 (f9)2(f，求4)3(f)(xf解由已知条件，得4333922261110) 1() 1() 1(23232323dcbadcbadcbadcba把上式看成关于， ，的方程组，它的系数行列式为范德蒙行列式abcd，1333122211111) 1() 1() 1(23232323由行列式与线性方程组的理论，可得，即1a2b4c1d142)(23xxxxf例 4 试分解多项式xyzzyx3333 解 构造一个行列式，使它等于此多项式，即dxyzzyxxzyyxzzyxd3333而xyzxyzxyzdzxyyzx内江师范学院毕业论

9、文3xzyyxzzyx111)( 222=()()xyz xyzxyyzzx所以，可分解为：xyzzyx3333)(222zxyzxyzyxzyx此外，当系数行列式不等于零时，可以利用行列式给出线性方程组的解；已知顶点坐标或三边方程，就可以利用行列式表示三角形面积；利用行列式也可求直线平面4的方程等等23 柯西不等式的应用定理（柯西-施瓦茨不等式）在欧氏空间里，对于任意向量，有不等式51， ，2当且仅当与线性相关时，等号成立在欧氏空间里，取，时，就有nr)(21naaa，).(21nbbb，柯西不等式对任意实数组和，有naaa，21nbbb，.2122211)(nnbababa).)(2222

10、12n2221nbbbaaa当且仅当时，上式的等号成立)21(，ikbaii特别的，时，有)21( 1nibi，)()(2n2221221aaanaaan所以，柯西不等式作为高等代数的重要内容之一，是初等数学与高等代数的重要结合点之一，也是柯西-施瓦茨不等式在欧氏空间中的具体体现，运用柯西不等式解nr决中学中的相关问题，有时会显得直接明了例 5已知为内一点，点到的三边pabcabc bca cab pabc，的距离分别为，求证：bccaab1d2d3dabcscbadcdbda2)(2321证明由题意知，要证明结论成立，只需证3212cdbdadsabc内江师范学院毕业论文4，2321321)

11、()(cbacdbdaddcdbda由柯西不等式得，上式显然成立，所以abcscbadcdbda2)(232124 二次型的应用 作为高等代数的重要内容之一的二次型，在数学与物理领域都有着广泛运用，在一些相关数学问题中，巧用二次型知识解决中学数学中的一些难题，往往可以起到事半功倍的效果 定理 设元二次型，则在条件下的大（小）值恰为矩阵6n( )f xx axf112niix的最大（小）特征值a例 6 设，且满足，求的最大值与最小值2232)(yxyxxf122 yx)(xf解二次型的矩阵，则),(yxf3111a ，2431112ai解得，于是由以上定理可得，在下的最大值为221222)(xf

12、122 yx，最小值22223 思想方面的联系 31 符号化思想 原始的符号作为记录的工具，为人类发展做出了巨大的贡献，而数学的发展是离不开符号的发展的最初的人类从具体数量中抽象出数字，并以此制订了运算法则，在此基础上不断发展，使用字母符号表示数，延伸出多项式，使用各种符号创建出抽象的代数系统，如：向量空间、欧氏空间相应的，随着抽象程度的提高，也大大丰富了数学的研究对象例 7 设集合，规定：（1）；（2）当且仅当)(ryxyx，），（ 000 ，时，在上定义运算“”：21xx 21yy )()(2211yxyx，内江师范学院毕业论文5，设，有以下四种命题：21212211)()(yyxxyxy

13、x，cba， ；abba；)()(cbacba若，则中至少有一个为 0；0baba，若，则；cabaa ，0cb 其中真命题的个数为（a）a1 个 b2 个 c3 个 d4 个（08 广东梅州市检）32 分类思想 数学是一门严谨的、系统的学科，因此在数学中往往需要研究对象的不同属性进行分类分类思想作为基础的思想方法，数学中几乎处处可见如中学数学中，对数和式的分类，高等代数中，如矩阵分类，向量空间、欧氏空间按维数的分类，二次型分为正定、负定、不定三类等等，分类讨论方法作为分类思想的一个分支，在解题中有着广泛运用 例 8 已知函数（是实数）如果函数的图像和 x 轴只1)2() 1(2xmxmym有

14、一个交点，求的值m解当时函数就是一个一次函数，它与轴只有一个交点1m1xyx)01(，当时，函数就是一个二次函数01m1)2() 1(2xmxmy，0) 1(4)2(2mm得抛物线的顶点在轴上0m122xxy)01(，x评注：本题利用简单的分类思想讨论了两种不同情况，思路清路，考虑全面，解题便捷运用分类思想往往能将复杂的情况，梳理清楚，分类思想在解题中有着广泛应用33 化归思想化归与转化思想作为数学的几个重要思想之一，其精髓就是化未知为已知，化难为易，化繁为简例如，在中学数学中，无理式化为有理式，四边形问题化为三角形问题，几何问题与代数问题的互相转化等；高等数学中，超越式方程化为代数式方程，高

15、阶行列式化为低阶行列式，二次型问题化为实对称矩阵问题，向量关系化为向量坐标之间的关系等例 9设对所有实数，不等式x内江师范学院毕业论文62222224(1)2(1)log2 loglog014aaaxxaaa恒成立，求的取值范围a分析：这是一个含有参数的不等式的恒成立的问题，但是，这个题目的表面比较复杂，我们可以通过换元法， ，化为简单的参数的一元二次不等式解：设， 则22log1ata，224(1)8(1)loglog32aataa222(1)log24ata 于是，已知的不等式化为23220t xtxt该不等式对所有实数 恒成立的充要条件是t230,48 30.tttt 解得0t 即，22

16、log01aa进一步解得01a34 结构思想现代数学通过顺序结构、条件结构、循环结构将数学各分支联结成一个整体从本质上讲，中学代数与高等代数使用的都是相同的数学结构因此，不仅从结构层面极其相似，而且在知识层面上也有很多相似的地方例如，由倒数到逆矩阵再到逆元，从数的运算律到矩阵的运算律，再到代数系统的运算律，从负数到负矩阵，再到负元素，由多项式的整除关系再到几何的偏序关系，这些内容都是反映了结构思想35 公理化方法中学平面几何的大量命题与理论都是以在欧几里德的几何原本中的“23 条定义”、 “五大公理” 、 “五大公设”的的理论基础上并在此基础上发散与推证出大量新结论，从本质上讲，这种方法是实质

17、公理化方法高等代数中，线性变换、向量空间、欧氏空间大量命题建立在一些假设上，并以这些假设为公理，再推导出相应的理论系统，这种方是形式公理化方法实质公理方法到形式公理方法这一演化过程，不仅体现了其自身的发展，也体现了初等代数到高等代数的发展内江师范学院毕业论文736 坐标方法坐标方法作为中学数学常用的方法之一，主要通过建立直角坐标系，标出相应的坐标，利用一些结论计算出相应的答案在高等代数中，坐标方法在向量空间中应用极广特别地，欧氏空间中，在规范正交基条件下向量的夹角、距离、内积、坐标计算公式都是中学数学平面几何中相应公式的拓展例 10 如图所示，直三棱柱中，|， ，111cbaabc 21cac

18、bcccbac 分别是棱的中点，是的中点，求的长度ed11cbabfacefde解以点为坐标原点，所在直线为轴、轴、轴，建立如图c1cccbcaxyz所示的空间直角坐标系，21cacbcc，)000(，c)002(，a)020(，b)200(1，c)220(1，b由中点坐标公式可得，)011 (，d)210(，e)001 (，f，5)20() 11 ()01 (222 de6)02()01 () 10(222ef图37 构造性方法中学数学中的出现的所有方程都是采用构造性方法解决的，高等代数中构造性的方法不仅可以运用到解题上，而且还能用来证明定理例如，正交基存在性定理的证明，带余除法定理的证明，

19、最大公因式存在性的证明等等所以，构造方法使二者既有联系，又有区别例 11 若，求证：、成等差数列042zyyxxzxyz证明当时，可得，所以、成等差数列；当时，设方程yx zx xyzyx 1bxyzb1aac1cdfe内江师范学院毕业论文8，由得，并易知是方程的根，所以02zytxztyx021tt 1t21t t，即，所以、成等差数列1yxzyzxy2xyz评注：拿到题目感到无从下手，思路受阻，但我们细看，问题条件酷似判别式=的形式，因此联想到构造一个一元二次方程进行求解acb42综上所述，从知识的深度与广度看，中学数学远不如高等代数，但是，从思想方法层面看，二者相承一脉，本源相同简而言之

20、，高等代数源于中学数学，却高于中学数学中学数学受自身知识深度浅，层面窄的局限，因而对数学思想的指导性不强通过高等代数的学习不断完善这种学习上的缺陷，进而达到揭示数学知识内在联系，深刻认识数学思想方法内涵的目的4 观念方面的联系中学数学与高等代数在数学研究对象、数学研究的特点等数学观念极其相似，可以这样说，高等代数的这些观念都延伸与中学数学接下来将从研究对象、研究特点分析二者之间在观念方法的区别和联系研究对象方面，中学数学的研究对象主要是以一些简单的现实世界中的空间关系和数量关系为主例如，点、线、面与常见几何图形的研究，数、代数式、方程、函数的研究高等代数在研究对象的选择不再拘泥于直观简单的研究

21、对象，因此研究对象得到了极大的丰富和扩展，很多传统意义上的关系不再对高等代数的研究对象适用例如，数的一些运算法则不再适用矩阵的运算，中学的空间知识不再适用向量空间、欧氏空间等充分理解这些观念的转换对指导二者的教学工作有很大帮助数学研究的特点方面，抽象性、逻辑性和应用的广泛性作为数学研究的特点，这些特点深化在数学研究的各个领域中下面将从三个特点分别探讨中学数学与高等代数的区别与联系首先，中学数学通过抽象化，把数、式抽象为字母，大大简化计算量，这是我们尝到抽象化带给我们的第一个“甜头” 显然，中学数学的这种程度抽象化是无法帮助我们理解抽象化真正的含义和作用的由于高等代数处于一个更高的研究水平，所以

22、它更能帮助我们更加直观的理解抽象化的本质例如，通过向量的加法与数乘的共性，将平面向量抽象为空间向量，通过将内积的共性与实数域上的向量空间结合，就抽象出了欧氏空间可以看出，抽象化推动着数学的发展，不断提高抽象化，更易使我们接触到问题的本质内江师范学院毕业论文9其次，在中学数学中，中学生理解能力较差，因此很少给出严格的定义所以容易造成知其然，不知其所以然的格局特别在推导几何问题方面，还需依靠直观图形显然在数学上，这是不够严谨的高等代数中就不会出现这种情况，所有的证明都是需要严格定义的，通过定义严密推理，得到相关结论，最终形成理论系统最后，中学数学主要应用于教育，能解决少数的一些简单问题，比如，面积、体积、行程计算，无法适用于更加复杂的问题相对的，高等代数除去教育功能，在应用的广度和难度上更胜于中学数学随着更深入的学习，就会发现高等代数应用范围会逐渐增大结束语在我国高等师范学院所开设的专业课程，应是中学内容的沿袭发展、螺旋上升，而高等代数却略有不同，因为高等代数与中学数学的研究对象、方法出现了巨大差异，中学教师大都毕业于师范院校本专科，具有高等代数知识是无疑的，但能用高等代数的思想观点去指导中学数学教学的却不多见数学师范专业的学生有种误区，认为7“教学中用不上高等代数知识” ，因而在学习高等代数知识的过程中懈怠，学习积极性不高，甚至于“厌学” 本文通过从数