八年级数学下册第一章三角形的证明3线段的垂直平分线第1课时教学课件新版北师大版

1、第1课时3 线段的垂直平分线1.1.能够运用公理和所学的定理证明线段垂直平分能够运用公理和所学的定理证明线段垂直平分线的性质和判定定理线的性质和判定定理. .2.2.能用尺规作已知线段的垂直平分线能用尺规作已知线段的垂直平分线. .垂直且平分一条线垂直且平分一条线段的直线是这条线段的直线是这条线段的垂直平分线段的垂直平分线. .等腰三角形顶角平分线有哪些性质？等腰三角形顶角平分线有哪些性质？垂直于底边，并且平分底边垂直于底边，并且平分底边adad所在的直线即线段所在的直线即线段bcbc的垂的垂直平分线直平分线a ab bc c如图，如图，a a，b b表示两个仓库，要在表示两个仓库，要在a a

2、，b b一侧的河一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置等，码头应建在什么位置? ?码头应建在线段码头应建在线段abab的垂直平分线上一点的垂直平分线上一点. .线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. . 已知已知: :如图如图,ac=bc,mnab,p,ac=bc,mnab,p是是mnmn上任意一点上任意一点. . 求证求证:pa=pb.:pa=pb.a ac cb bp pm mn n证明：证明：mnabmnab，pca=pcb=90pca=pcb=90. .a

3、c=bcac=bc，pc=pc, pc=pc, pcapcapcb(sas)pcb(sas)；pa=pb(pa=pb(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等) ) 性质定理性质定理: :线段垂直平分线上的点到线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等这条线段的两个端点的距离相等pabpabpapb. 在线段的垂直平分线上，温馨提示温馨提示: :这个结论是经常用来这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一证明两条线段相等的根据之一. .【结论结论】如图：直线如图：直线mnmn是线段是线段abab的垂直平分线，点的垂直平分线，点c c为垂足，为垂足，请问在图形中哪些线段相等？请问在

4、图形中哪些线段相等？【想一想想一想】提示：提示：pa=pb,ac=bcpa=pb,ac=bc你能写出下面这个定理的逆命题吗？你能写出下面这个定理的逆命题吗？如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上，即到线段两个端个点在这条线段的垂直平分线上，即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假如果当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明真，则需证明它；如果假，则需用反例说明性质定理性质定理: :线段

5、垂直平分线上的点到这条线段两个端线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等点的距离相等已知：线段已知：线段abab，点，点p p是平面内一点且是平面内一点且pa=pbpa=pb求证：求证：p p点在点在abab的垂直平分线上的垂直平分线上方法一：方法一：过点过点p p作已知线段作已知线段abab的垂线的垂线pc,pc,pca=pca=pcb pcb =90=90， pa=pbpa=pb，pc=pcpc=pc，rtrtpacrtpacrtpbc(hl)pbc(hl)ac=bcac=bc，pcabpcab，即即p p点在点在abab的垂直平分线上的垂直平分线上b bp pa ac c性质定理

6、的逆命题：性质定理的逆命题：到一条线段两个端点距离相到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等的点，在这条线段的垂直平分线上方法二：方法二：取取abab的中点的中点c c，过点，过点p,cp,c作直线作直线pcpc， ap=bp ap=bp，pc=pc.ac=cbpc=pc.ac=cb， apcapcbpc(sss)bpc(sss) pca=pcb(pca=pcb(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等) ) 又又pca+pcb=180pca+pcb=180， pca=pcb=90pca=pcb=90，即，即pcabpcab， p p点在点在abab的垂直平分线上的垂直平

7、分线上bpac方法三：方法三：过过p p点作点作apbapb的角平分线交的角平分线交abab于点于点c cap=bpap=bp，apc=bpcapc=bpc，pc=pcpc=pc，apcapcbpc(sas)bpc(sas)ac=bcac=bc，pca=pcbpca=pcb，又又pca+pcb=180pca+pcb=180，pca=pcb=90pca=pcb=90，pp点在线段点在线段abab的垂直平分线上的垂直平分线上b bp pa ac ca ac cb bp pm mn npa=pb(pa=pb(已知已知),),点点p p在在abab的垂直平分线上的垂直平分线上( (到一到一条线段两个端

8、点距离相等的点条线段两个端点距离相等的点, ,在在这条线段的垂直平分线上这条线段的垂直平分线上).).温馨提示温馨提示: :这个结论是经常用来证明点这个结论是经常用来证明点在直线上在直线上( (或直线经过某一点或直线经过某一点) )的根据的根据之一之一. .判定定理：判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点到一条线段两个端点距离相等的点, ,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上. .【结论结论】【例例】做一做：用尺规作线段的垂直平分线做一做：用尺规作线段的垂直平分线. .作法：作法：1.1.分别以点分别以点a a和和b b为圆心为圆心, ,以大于以大于 abab的长为半径作弧的长为

9、半径作弧, ,两弧交于点两弧交于点c c和点和点d da ab bc cd d2.2.作直线作直线cdcd直线直线cdcd就是线段就是线段abab的垂直平分线的垂直平分线请你说明请你说明cdcd为什么是为什么是abab的垂直平分的垂直平分线线, ,并与同伴进行交流并与同伴进行交流已知已知: :线段线段ab,ab,如图如图. .求作求作: :线段线段abab的垂直平分线的垂直平分线【例题例题】121.1.如图如图, ,已知已知abab是线段是线段cdcd的垂直平分线的垂直平分线,e,e是是abab上上的一点的一点, ,如果如果ec=7cm,ec=7cm,那么那么ed=ed= cmcm；如果如果e

10、cd=60ecd=60, ,那么那么edcedc. . 老师期望老师期望: :你能说出填空结果的根据你能说出填空结果的根据. .e ed da ab bc c7 760602.2.已知直线和直线上一点已知直线和直线上一点p,p,利用尺规作直线的利用尺规作直线的垂线垂线, ,使它经过点使它经过点p.p.a ab bc clp p已知：直线已知：直线l和和l上一点上一点p p求作：求作：pcpc l 作法：作法：1.1.以点以点p p为圆心，以任意为圆心，以任意长为半径作弧，与直线长为半径作弧，与直线l相交于相交于点点a a和点和点b b2.2.作线段作线段abab的垂直平分线的垂直平分线pcpc直线直线pcpc就是所求的垂线就是所求的垂线3 3如图，求作一点如图，求作一点p p，使，使pa=pbpa=pb，pc=pdpc=pda abc cd dpp p点即为所求作的点点即为所求作的点4.4.已知：如图，已知：如图，ab=acab=ac，bd=cdbd=cd，p p是是adad上一点上一点求证：求证：pb=pcpb=pcpbdca【证明证明】连接连接bcbc，ab=acab=ac，bd=cdbd=cd，点点a a，d d在线段在线段bcbc的垂直平分线上；的垂直平分线上；直线直线adad垂直平分线段垂直平分线段bcbc，pb=pcpb=pc1.1.性质定理：性质定