多元微积分：第八节 多元函数的极值及其求法

1、第八节第八节上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 多元函数的极值多元函数的极值及其求法及其求法v 极值的概念与计算极值的概念与计算 v 最大值最小值问题最大值最小值问题 v 条件极值条件极值 1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义(P52)(P52)上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 极大值、极小值统称为极大值、极小值统称为极值极值. .使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点. . 设函数设函数),(yxfz = =在点在点),(00yx的某邻域内的某邻域内有定义，对于该邻域内异于有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点的点),(yx：(1)(1)若满足不等式

2、若满足不等式),(),(00yxfyxf (2)(2)若满足不等式若满足不等式则称函数在则称函数在),(00yx有有极小值极小值；，一、多元函数的极值一、多元函数的极值(1)(2)(3)实例实例1 1处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz = =实例实例处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz = =实例实例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz = =上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2 2、二元函数取得极值的条件、二元函数取得极值的条件上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理1 1 （必要条件）（必要条件）P110P110设函数

3、设函数),(yxfz = =在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处有极值，处有极值，然为零：然为零： 0),(00= =yxfx 0),(00= =yxfy则它在该点的偏导数必则它在该点的偏导数必注：注：驻点驻点极值点极值点(1)(1)使偏导数都为使偏导数都为 0 0 的点称为的点称为驻点驻点 . .例如例如, 点点)0 , 0(是函数是函数xyz = =的驻点，的驻点， 但不是极值点但不是极值点. .(2) (2) 极值可疑点极值可疑点驻点驻点不可导点不可导点( (偏导数不存在的点偏导数不存在的点) )问题：问题：如何判定驻点是否为极值点？如何判定驻点是否

4、为极值点？时时, 具有极值具有极值定理定理2(2(充分条件充分条件P110)P110)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且且令令则则: 1) 当当A0 时取极小值时取极小值.2) 当当3) 当当时时, 没有极值没有极值.时时, 不能确定不能确定 , 需另行讨论需另行讨论.若函数若函数的在点),(),(00yxyxfz =0),(,0),(0000=yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx=02 BAC02 A因为因为224eBAC= = ，0 所以，所以，为函数的极小值为函数的极小值. .e21 )2(),

5、(22yyxeyxfx = =上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2.2.求求解：解：得驻点得驻点第二步第二步 判别判别. .解方程组解方程组= =),(yxfx12662 xx= =),(yxfyyy632 的极值的极值. .求二阶偏导数求二阶偏导数,612 x,0),(= =yxfyx= =),(yxfyyxyxyxyxf12332),(2233 = =上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 = = 2BAC判别式判别式第一步第一步 求驻点求驻点. .0= =0= =(-2, 0) , (-2, 2) , (1, 0) , (1, 2) .)1)(12(36 yx= =),(yxf

6、xx66 y上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 为极大值为极大值; ;= = )2,2(f上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 列表讨论：列表讨论：驻点驻点A2BAC f (x, y)(-2,0)(-2,2)(1,0)(1,2)1)(12(362 = = yxBAC612 = =xA-108108-18108-108极大值极大值无极值无极值无极值无极值为极小值为极小值. .= =)0,1(f18极小值极小值xyxyxyxf12332),(2233 = =247 例例3.3.讨论函数讨论函数及及是否取得极值是否取得极值.解解: 显然显然 (0,0) 都是它们的驻点都是它们的驻点 ,在在(0

7、,0)点邻域内的取值点邻域内的取值, 因此因此 z(0,0) 不是极值不是极值.因此因此,022时当 yx222)(yxz=0)0 , 0(= z为极小值为极小值.正正负负033yxz=222)(yxz=在点在点(0,0)xyzo并且在并且在 (0,0) 都有都有 02= BAC33yxz=可能为可能为0)()0 , 0()0 , 0(222=yxz上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、最值应用问题二、最值应用问题函数函数 f 在闭域上连续在闭域上连续函数函数 f 在闭域上可达到最值在闭域上可达到最值 最值可疑点最值可疑点 极值点极值点边界上的最值点边界上的最值点特别特别, 当区域内部最

8、值存在当区域内部最值存在, 且只有一个极值点且只有一个极值点P 时时, )(Pf为极小为极小 值值)(Pf为最小为最小 值值( (大大) )( (大大) )依据依据上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 求在有界闭区域求在有界闭区域D D上连续函数的最值的一般方法：上连续函数的最值的一般方法：第一步第一步 求出函数在求出函数在D 内的所有驻点，内的所有驻点，并求出所有驻点处的函数值；并求出所有驻点处的函数值；第二步第二步 求出函数在求出函数在D的边界上的最大最小值；的边界上的最大最小值； 第三步第三步 比较第一步所

9、得函数值以及第二步所得比较第一步所得函数值以及第二步所得D的的边界上的最大值和最小值，边界上的最大值和最小值， 其中最大者即为最大值，其中最大者即为最大值，最小者就是最小值最小者就是最小值. .上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 特别地特别地, 若若f (x, y)在区域在区域 D 内存在内存在最值最值, 且只有且只有一个极值点一个极值点, , 则该点就是最值点则该点就是最值点. .对于对于实际应用问题实际应用问题，若由问题的背景知最大值若由问题的背景知最大值（或最小值）存在，（或最小值）存在，且驻点唯一，且驻点唯一，则该驻点就是最则该驻点就是最大值

10、（或最小值）点大值（或最小值）点. .例例4 4解解: : 设水箱长设水箱长,宽分别为宽分别为 x , y m ,则高为则高为则水箱所用材料的面积为则水箱所用材料的面积为令令得驻点得驻点某厂要用铁板做一个体积为某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水的有盖长方体水箱，箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最才能使用料最省省?,m2yx2=Ayxyxy2yxx2yxyx222=00yx0)(222=xxyA0)(222=yyxA因此可因此可断定此唯一驻点就是最小值点断定此唯一驻点

11、就是最小值点. 即当长、宽均为即当长、宽均为高为高为时时, 水箱所用材料最省水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233=上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 极值问题极值问题无条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值 :条件极值的求法条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数求一元函数的无条件极值问题的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制还有其它条件限制例如例如 ,转化转化,0),(下在条件=yx的极值求函数),(yxfz =)(0),(xyyx= 中解出从条件)(,(xxfz=上页

12、上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、条件极值三、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法方法方法2 2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数要找函数),(yxfz = =在条件在条件0),(= =yx 下的下的可能极值点，可能极值点， 先构造函数先构造函数),(),(),(yxyxfyxFll = =其中其中l l为某一常数，为某一常数，解出解出l l, yx，其中，其中yx,就是可能的极值点的坐标就是可能的极值点的坐标. .拉格朗日拉格朗日( Lagrange )函数函数上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 可由可由0),(),(=yxyxfFxxxl0),(),(=yxyxfFyyy

13、l0),(=yxFl上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多令令解方程组解方程组可得到条件极值的可能极值点可得到条件极值的可能极值点 . 例如例如, 求函数求函数下的极值下的极值.在条件在条件),(zyxfu = =,0),(= =zyx0),(= =zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF = =021= = = =xxxxfF021= = = =yyyyfF021= = = =zzzzfF个约束条件的情形个约束条件的情形. .上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,0),(= =zyx0),(= =zyx推

14、广：推广：例例4 4（用拉格朗日乘数法解例（用拉格朗日乘数法解例4 4）则问题为求则问题为求x , y , 令令解方程组解方程组解解: : 设设 x , y , z 分别表示长、宽、高分别表示长、宽、高,下水箱表面积下水箱表面积最小最小.z 使在条件使在条件=xF022=zyyzl=yF022=zxxzl=zF022=yxyxl=lF02 =zyx2=zyx)(2yxzyzxS=)2()(2=zyxyxzyzxFlxyz上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 得唯一驻点得唯一驻点,23=zyx由题意可知合理的设计是存在的由题意可知合理的设计是存在的,即最小值存在即最小值存在时，所用材料最省时，

15、所用材料最省.因此因此 , 当当长、宽、长、宽、高为高为32xyz思考思考: :1) 当水箱开口时当水箱开口时, 长、宽、高的尺寸如何长、宽、高的尺寸如何?提示提示:2) 当开口水箱底部的造价为侧面的三倍时当开口水箱底部的造价为侧面的三倍时, 欲使造价欲使造价最省最省, 应如何设拉格朗日函数应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何长、宽、高尺寸如何? 提示提示:)2()(2=zyxyxzyzxFl3上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 yxzyzxS=)(2上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例5.5.某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种某

16、公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告商品的广告.根据统计资料根据统计资料,销售收入销售收入R (万元万元)与电台与电台广告费用广告费用x (万元万元)及报纸广告费用及报纸广告费用y (万元万元)之间的关系之间的关系有如下的公式有如下的公式:221514328210Rxyxyxy=(1) 在广告费用不限的情况下在广告费用不限的情况下, 求最优广告策略求最优广告策略; (2) 若广告费用为若广告费用为1.5万元万元, 求相应的最优广告策略求相应的最优广告策略.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解: (1)上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 221514328210Rxyxy

17、xy=xL = =1384yx yL = =31820 xy 0= =0= =得驻点：得驻点：（0.75, 1.25）由题意知，利润最大值存在，由题意知，利润最大值存在，所以所以, ,电台广告费用电台广告费用0.75万元万元 , 报纸广告费用报纸广告费用1.25 万元时万元时LRC= = 221514328210 xyxyxy=xy 221513318210 xyxyxy=利润最大利润最大. .上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设设= =xF= =yF0= =0= =解方程组解方程组得驻点：得驻点：（0 , 1.5）(2)( , , )F x y

18、z = =(1.5) xy 1384yx 31820 xy 1.50 xy = =由题意知，利润最大值存在，由题意知，利润最大值存在，报纸广告费用报纸广告费用1.5万元时万元时利润最大利润最大. .所以所以, ,电台广告费用电台广告费用0万元万元,221513318210 xyxyxy221513318210Lxyxyxy=解解令令 )12(),(23 = =zyxzyxzyxFl l, = = = = = = = = = = = = = = 120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyxl ll ll l.691224623max= = = =u则则上页上页 下页下页 返回返回

19、结束结束 例例5.5. 将正数将正数1212分成三个正数分成三个正数zyx,之和使得之和使得 zyxu23= =为最大为最大. .解得唯一驻点（解得唯一驻点（6 6，4 4，2 2）故最大值为故最大值为内容小结内容小结1. 1. 函数的极值问题函数的极值问题第一步第一步 利用必要条件在定义域内找驻点利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组即解方程组第二步第二步 利用充分条件利用充分条件 判别驻点是否为极值点判别驻点是否为极值点 .2. 函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法简单问题用代入法, ),(yxfz =0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数如对二元函数(2)

20、 一般问题用拉格朗日乘数法一般问题用拉格朗日乘数法上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设拉格朗日函数设拉格朗日函数如求二元函数如求二元函数下的极值下的极值,解方程组解方程组第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值根据问题的实际意义确定最值第一步第一步 找目标函数找目标函数, 确定定义域确定定义域 ( 及约束条件及约束条件)3. 函数的最值问题函数的最值问题在条件在条件求驻点求驻点 . ),(yxfz =0),(=yx),(),(yxyxfFl=0=xxxfFl0=yyyfFl0=lF上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 作业作业 P79 2-7上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？xyyx4570 yx7680 每天的收益为每天的收益为= =),(yxf)7680)(2 . 1()4570)(1(yxyyxx 求最大收益即为求二元函数的最大值求最大收益即为求二元函数的最大值. .上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 引例：引例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子