解析几何中设而不求专题练习含参考答案

1、解析几何中设而不求专题练习设而不求是解析几何的重要解题策略，在许多题目的解答中，常常可以起到简化计算的作用。许多同学会问：什么情况下，可以通过设而不求解答问题呢？ 一、利用曲线与方程的关系：1. 已知两圆，求两圆的公共弦方程及弦长。 解：两圆方程相减，得，两圆的交点坐标均满足此方程，故此方程即为公共弦所在直线方程。又圆的圆心到公共弦的距离，且 （为公共弦长），即公共弦长为。注：其中求公共弦的方程时即用到了设而不求思想。2. 过圆外一点p（a，b）引圆的两条切线，求经过两个切点的直线方程。解：设两个切点分别为p1（），p2（），则切线方程为：，。可见p1（），p2（）都满足方程，由直线方程的定义

2、得：，即为经过两个切点的直线方程。二、利用圆锥曲线的定义：1. 已知椭圆为焦点，点p为椭圆上一点，求。1. 解析：由题意知点p为椭圆上一点，根据椭圆的定义。再注意到求的关键是求出这一整体，则可采用如下设而不求的解法：设由椭圆定义得由余弦定理得2得，三、利用点差法：1. 求过椭圆内一点a（1，1）的弦pq的中点m的轨迹方程。解析：设动弦pq的方程为，设p（），q（），m（），则：得：当时，由题意知，即式与联立消去k，得当时，k不存在，此时，也满足。故弦pq的中点m的轨迹方程为：。注：通过将p、q的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减。这里，代点相减后，适当变形，出现弦pq的斜率和中

3、点坐标，是实现设而不求的关键。四、利用韦达定理：1. 已知椭圆c1的方程为，双曲线c2的左、右焦点分别为c1的左、右顶点，而c2的左、右顶点分别是c1的左、右焦点. （）求双曲线c2的方程；（）若直线与椭圆c1及双曲线c2都恒有两个不同的交点，且l与c2的两个交点a和b满足（其中o为原点），求k的取值范围.解：（）设双曲线c2的方程为，则故c2的方程为（ii）将由直线l与椭圆c1恒有两个不同的交点得即 .由直线l与双曲线c2恒有两个不同的交点a，b得 解此不等式得 由、得故k的取值范围为2. 已知平面上一定点c（4，0）和一定直线为该平面上一动点，作，垂足为q，且. （1）问点p在什么曲线上？

4、并求出该曲线的方程； （2）设直线与（1）中的曲线交于不同的两点a、b，是否存在实数k，使得以线段ab为直径的圆经过点d（0，2）？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由.解：（1）设p的坐标为，由得（2分） （4分）化简得 p点在双曲线上，其方程为（6分） （2）设a、b点的坐标分别为、，由 得（7分），（8分）ab与双曲线交于两点，>0，即解得（9分）若以ab为直径的圆过d（0，2），则adbd，即，（10分）解得，故满足题意的k值存在，且k值为.五、对多元问题，围绕解题目标，通过逐步消元，实现设而不求1. 抛物线与过点的直线相交于、两点，为坐标原点，若直线和斜率之和是，求直线的方程

5、。解：设点，点，直线的方程为， 则，由已知条件，. ，又，则，即， 于是是直线的斜率，直线的方程为.2.已知点p（3，4）为圆c：内一点，圆周上有两动点a、b，当apb=90°时，以ap、bp为邻边，作矩形apbq，求顶点q的轨迹方程。解析：设a（），b（），q（x，y）由题意得：，即。将代入上式并整理得，即为点q的轨迹方程。注：本题的目标是找到x、y所满足的方程，而逐步消去无关的则是解答问题的关键。补充练习：1、设、分别是椭圆的左、右焦点. （）若p是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值； （）是否存在过点a（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点c、d，使得|f2c|=|f2d|

6、？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.解：（）易知 设p（x，y），则 ，即点p为椭圆短轴端点时，有最小值3；当，即点p为椭圆长轴端点时，有最大值4 （）假设存在满足条件的直线l易知点a（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k直线l的方程为 由方程组依题意 当时，设交点c，cd的中点为r，则又|f2c|=|f2d| 20k2=20k24，而20k2=20k24不成立， 所以不存在直线，使得|f2c|=|f2d|综上所述，不存在直线l，使得|f2c|=|f2d| 2. 已知圆上的动点，点q在np上，点g在mp上，且满足. （i）求点g的轨迹c的方程； （ii）过点（2，0）作直线，与曲线c交于a、b两点，o是坐标原点，设 是否存在这样的直线，使四边形oasb的对角线相等（即|os|=|ab|）？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.解：（1）q为pn的中点且gqpngq为pn的中垂线|pg|=|gn|gn|+|gm|=|mp|=6，故g点的轨迹是以m、n为焦点的椭圆，其长半轴长，半焦距，短半轴长b=2，点g的轨迹方程是 5分 （2）因为