高考数学最后压轴大题系列解析几何

1、做好题，得高分，精选习题，真给力！2011年高考数学最后压轴大题系列-解析几何1. 已知三点p（5，2）、（6，0）、（6，0）.（）求以、为焦点且过点p的椭圆的标准方程；（）设点p、关于直线yx的对称点分别为、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程.解：（i）由题意，可设所求椭圆的标准方程为+，其半焦距。， ，故所求椭圆的标准方程为+；（ii）点p（5，2）、（6，0）、（6，0）关于直线yx的对称点分别为：、（0，-6）、（0，6）设所求双曲线的标准方程为-，由题意知半焦距， ，故所求双曲线的标准方程为-。2. 直线的右支交于不同的两点a、b.（）求实数k的取值范围；（）是否存在实数k，使

2、得以线段ab为直径的圆经过双曲线c的右焦点f？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.解：（）将直线依题意，直线l与双曲线c的右支交于不同两点，故（）设a、b两点的坐标分别为、，则由式得假设存在实数k，使得以线段ab为直径的圆经过双曲线c的右焦点f（c,0）.则由fafb得：整理得把式及代入式化简得3. 设双曲线c：相交于两个不同的点a、b.（i）求双曲线c的离心率e的取值范围：（ii）设直线l与y轴的交点为p，且求a的值.解：（i）由c与t相交于两个不同的点，故知方程组有两个不同的实数解.消去y并整理得 （1a2）x2+2a2x2a2=0. 双曲线的离心率（ii）设由于x1+x2都是方程的根

3、，且1a20，4. 已知为椭圆c的两焦点，p为c上任意一点，且向量的夹角余弦的最小值为. ()求椭圆c的方程； ()过 的直线与椭圆c交于m、n两点，求（o为原点）的面积的最大值及相应的直线的方程.解：()设椭圆的长轴为2a, =又 即 椭圆方程为 () 由题意可知nm不可能过原点,则可设直线nm的方程为:设 = 即 . 由韦达定理得: = = 令 , 则 =. 又令, 易知在1,+）上是增函数,所以当,即 时有最小值5. 有最大值 的面积有最大值.直线的方程为.5. 椭圆e的中心在原点o，焦点在x轴上，离心率=，过点c(-1，0)的直线交椭圆于a、b两点，且满足：= ()()若为常数，试用直

4、线的斜率k(k0)表示三角形oab的面积()若为常数，当三角形oab的面积取得最大值时，求椭圆e的方程()若变化，且= k21，试问：实数和直线的斜率分别为何值时，椭圆e的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程解：设椭圆方程为(ab0)，由=及a2= b2+c2得a2=3 b2，故椭圆方程为x23y2= 3b2 ()直线：y = k(x1)交椭圆于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，并且= (2)，(x1+1，y1) =(-1-x2，-y2)，即 把y = k(x+1)代入椭圆方程，得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-3b2= 0，且 k2 (3b2-1)+b20 （*），x1+x2

5、= -， x1x2=， =|y1-y2| =|+1|·| y2| =·| k |·| x2+1| 联立、得x2+1=，=· (k0) ()=·=·· (2)当且仅当3| k | =，即k =时，取得最大值，此时x1+x2= -1又x1+1= -( x2+1)，x1=，x2= -，代入得3b2=此时3b25，的值符合(*)故此时椭圆的方程为x23y2=(2) ()由、联立得：x1=-1， x2=-1，将x1，x2代入，得=+1由k2=-1得=+1=1易知，当时，3b2是的减函数，故当时，取得最大值3 所以，当，k =±

6、;1(符合(*)时，椭圆短半轴长取得最大值，此时椭圆方程为x2 + 3y2 = 3 6. 已知椭圆的中心为坐标原点o，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点f的直线交椭圆于a、b两点，与共线. （i）求椭圆的离心率； （ii）设m为椭圆上任意一点，且，证明为定值.解：（i）设椭圆方程为则直线ab的方程为.化简得.令则 共线，得（ii）证明：由（i）知，所以椭圆可化为.在椭圆上，即 由（i）知又又，代入得 故为定值，定值为1.7. 已知椭圆的左焦点为f，o为坐标原点.（i）求过点o、f，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（ii）设过点f且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于a、b两点，线段ab的垂直平分线与

7、轴交于点g，求点g横坐标的取值范围.解：（i）圆过点o、f，圆心m在直线上。设则圆半径由得解得所求圆的方程为（ii）设直线ab的方程为代入整理得直线ab过椭圆的左焦点f，方程有两个不等实根。记中点则的垂直平分线ng的方程为令得点g横坐标的取值范围为8. 已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为(i) 证明线段是圆的直径;(ii)当圆c的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时，求p的值。(i)证明1: 整理得: 设m(x,y)是以线段ab为直径的圆上的任意一点,则即整理得:故线段是圆的直径证明2: 整理得: .(1)设(x,y)是以线段ab为直径的圆上则即去分母得:

8、点满足上方程,展开并将(1)代入得:故线段是圆的直径证明3: 整理得: (1)以线段ab为直径的圆的方程为展开并将(1)代入得: 故线段是圆的直径(ii)解法1:设圆c的圆心为c(x,y),则 又因 所以圆心的轨迹方程为设圆心c到直线x-2y=0的距离为d,则当y=p时,d有最小值,由题设得 .解法2: 设圆c的圆心为c(x,y),则 又因 所以圆心的轨迹方程为设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为,则因为x-2y+2=0与无公共点,所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为将(2)代入(3)得 解法3: 设圆c的圆心为c(x,y),则圆心c到直线

9、x-2y=0的距离为d,则 又因 当时,d有最小值,由题设得.9. 椭圆：的两焦点为，椭圆上存在点使（1）求椭圆离心率的取值范围；（2）当离心率取最小值时，点到椭圆上的点的最远距离为求此时椭圆的方程；设斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，为的中点，问两点能否关于过、的直线对称？若能，求出的取值范围；若不能，请说明理由。解：（1）设将代入得 求得 4分（2）时，设椭圆方程为，是椭圆上任一点，则 （）若，则时，此时椭圆方程为 7分（）若，则时， ，矛盾 综合得椭圆方程为 9分由得 可求得，由求得， 代入解得 10、已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，分别是椭圆的左右两

10、个顶点， 为椭圆上的动点.（）求椭圆的标准方程；（）若与均不重合，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；（）为过且垂直于轴的直线上的点，若，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线 11、（如图）设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与ab相交于点d，与椭圆相交于e、f两点 dfbyxaoe（1）若，求的值； （2）求四边形面积的最大值12、已知椭圆的离心率. 直线（）与曲线交于不同的两点,以线段为直径作圆,圆心为 (1) 求椭圆的方程；(2) 若圆与轴相交于不同的两点，求的面积的最大值.13、 如图5，过曲线：上一点作曲线的切线交轴于点，又过作 轴的垂线交曲线于点，然后再过作曲线的切线交轴于点

11、 ，又过作轴的垂线交曲线于点，以此类推，过点的切线 与轴相交于点，再过点作轴的垂线交曲线于点（n） (1) 求、及数列的通项公式； (2) 设曲线与切线及直线所围成的图形面积为，求的表达式； (3) 在满足(2)的条件下, 若数列的前项和为，求证：n.14、已知椭圆：的离心率为，过坐标原点且斜率为的直线与相交于、，求、的值；若动圆与椭圆和直线都没有公共点，试求的取值范围15、已知椭圆：（）的上顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为若有一菱形的顶点、在椭圆上，该菱形对角线所在直线的斜率为求椭圆的方程；当直线过点时，求直线的方程；（本问只作参考，不计入总分）当时，求菱形面积的最大值答案：10、解：（）

12、由题意可得圆的方程为，直线与圆相切，即， -1分又，即，得，所以椭圆方程为-3分（）设， ，则，即， 则， -4分即， 为定值 -6分（）设，其中由已知及点在椭圆上可得， 整理得，其中 -8分当时，化简得，所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段； -9分当时，方程变形为，其中，-11分当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆 -14分11（）解：依题设得椭圆的方程为， 直线的方程分别为， 2分dfbyxaoe 如图，设，其中， 且满足方程， 故 由知，得； 由在上知，得

13、所以， 化简得， 解得或6分 （）解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点到的距离分别为 ， 9分 又，所以四边形的面积为 ， 当，即当时，上式取等号所以的最大值为12分 解法二：由题设， 设，由得， 故四边形的面积为 9分 ， 当时，上式取等号所以的最大值为12分12、（1）解：椭圆的离心率, . 2分 解得. 椭圆的方程为 4分（2）解法1：依题意，圆心为 由 得. 圆的半径为 6分 圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离， ，即 弦长 8分的面积 9分 . 12分 当且仅当，即时，等号成立. 的面积的最大值为 14分解法2：依题意，圆心为 由 得. 圆的半径为 6分 圆的方程为 圆与轴

14、相交于不同的两点，且圆心到轴的距离， ，即 在圆的方程中，令，得， 弦长 （资料来源：数学驿站 ） 8分的面积 9分 . 12分当且仅当，即时，等号成立. 的面积的最大值为 14分13、(1) 解: 由，设直线的斜率为，则.直线的方程为.令，得， 2分， .直线的方程为.令，得. 4分一般地，直线的方程为，由于点在直线上，.数列是首项为，公差为的等差数列. 6分（2）解： . （资料来源：数学驿站 ）8分（3）证明：. 10分 ，. 要证明，只要证明，即只要证明. 11分 证法1：（数学归纳法） 当时，显然成立； 假设时，成立，则当时，而.这说明，时，不等式也成立.由知不等式对一切n都成立. 14分证法2: . 不等式对一切n都成立. 14分证法3:令,则,当时, ,函数在上单调递增.当时, .n, 即.不等式对一切n都成立.14分14、解：依题意，：1分，不妨设设、（）2分，由得，3分，所以5分，解得，6分由消去得7分，动圆与椭圆没有公共点，当且仅当或9分，解得或10分。动圆与直线没有公共点当