线性系统理论作业

1、线 性 系 统 理 论设 计 报 告专业： 学号： 姓名： 教师： 取状态变量为X=Ud,Id,nT,则系统的状态空间描述为：X=AX+Bu+ETlY=CX其中A= -1Ts 0 01TlaR -1Tla -CeTlaR0 375CTGD2 0 B=KsTS00 E=00-375GD2C=0 0 1 代入数据得：A=-588.235 0 0 26.709 -20.833 -3.6780 48.821 0 B=23529.4100通过matlab检测系统的能控能观性并求出系统的特征值：对应的matlab程序如下：%原始系统能控能观性判断与特征值求解%A=-588.235 0 0;26.709 -

2、20.833 -3.678;0 48.821 0;B=23529.41 0 0'C=0 0 1;D=0;disp(eig(A); % 计算并输出特征值 %sys1=ss(A,B,C,D);Qc=ctrb(A,B); %生成能控性判别矩阵%Qo=obsv(A,C); %生成能观性判别矩阵%if length(A)=rank(Qc) %系统能控性判别% disp('系统完全可控！'); else disp('系统不完全可控！');endif length(A)=rank(Qo) %系统能观性判别% disp('系统完全可观！');else d

3、isp('系统不完全可观！');end运行结果如下： 1.0e+002 * -0.104165000000000 + 0.084297191975771i -0.104165000000000 - 0.084297191975771i -5.882350000000000 系统完全可控！系统完全可观！系统特征值实部均为负，由此可知该系统为外部稳定的能控但不能观测系统，设负载转矩为0时，输入为阶跃信号，系统的simulink仿真如下：图1. 原始开环系统结构框图图2.原始开环系统仿真图1、状态反馈加积分器校正的输出反馈系统根据仿真结果可以看出原系统的调节时间大于1s，不能满足不大

4、于0.5s的要求;又要求系统跟踪阶跃输入信号的稳态误差为零，故系统不仅要通过求解状态反馈增益矩阵改变极点配置，还需设置积分器校正的输出反馈来消除稳态误差。因为要求被控系统A,B,C能控,又控制维数(r=1)不少于误差的维数(m=1)且rankC=1=m, 即增广系统状态完全能控，因此可采用状态反馈控制律：u=-K1x+K2w改善系统的动态和稳态性能，式中K1=K11 K12 K13 。闭环控制系统的特征多项式为：s4+609.068+23529.41K11s3+12434.263+628447.012K12+490188.199K11s2+30681411.558K13+4225026.46K

5、11+105625.617s+30681411.558K2 由于最大超调量，当振幅进入范围内时调节时间，其中为系统自然振荡角频率。由于系统设计要求为超调量不超过10%，调节时间不超过0.5秒，可计算得到：，取，取，二阶系统的特征根，可得期望特征值，原系统闭环非主导极点离虚轴为主导极点的5倍以上，故无需进行配置，再取另一个期望非主导极点为-50，则S3=-588.235, S4=-50,运用expand函数求得期望特征多项式为：expand(s+588.35)*(s+50)*(s+9.8-9.99i)*(s+9.8+9.99i)运行结果：s4 + (13159*s3)/20 + (4212500

6、01*s2)/10000 + (140319505567*s)/200000 + 23044504567/4000即s-s1s-s2s-s3s-s4=s4+657.95s3+42125s2+701597.528s+5761126.14根据对应系数相等计算得到：K11=0.00208，K12=0.04562,K13=0.01914,K2=0.18777 确定了状态反馈增益矩阵和积分增益常数，在未考虑扰动作用时（设d=0），闭环系统对给定输入v(t)为阶跃信号的响应可通过求解下式获得，即式中, v(t)=1(t)Simulink仿真如下：图3.状态反馈加积分器校正的输出反馈系统仿真图输出波形：图4

7、.状态反馈加积分器校正的输出反馈系统仿真波形0秒时加阶跃的负载扰动，其仿真波形如下：图5 加负载扰动时仿真波形由图4可知，该状态反馈系统的静、动态性能如下：=1.0435-11×100%=4.35%，ts<0.5s,皆满足系统要求。扰动后,曲线最终稳定在1，则系统稳态误差为0。2、全维状态观测器的设计闭环状态观测器的状态方程，又由观测误差知，通过选择输出偏差反馈增益矩阵G使的所有特征值均位于复平面的左半平面，尽管初始时刻时，与存在差异，观测器的状态仍将以一定精度和速度渐渐逼近系统的实际状态。而输出偏差反馈增益矩阵G由观测器极点决定，因此，状态估计误差收敛速度是由观测器极点所决定

8、。通过合理选择观测器极点而配置的反馈矩阵G，状态估计误差收敛速度足够快，就能使重构状态渐近等价于真实状态，从而达到状态反馈的效果，即改善被控系统的稳定性、稳态误差和动态品质因数，而且可实现闭环系统的解耦控制和最优控制。由原系统完全能观可知，可构造状态观测器对其状态给出估值。设观测器增益矩阵， s3+609.068+g2s2+1243.4+48.821g1+609.068g2s+105625.617+1303.960g0+28718.221g1+12254.7g2经过状态反馈后的系统状态空间表达式中个矩阵分别为，带入数据可得A=-637.117 -1073.51 -450.31626.709 -

9、20.833 -3.6780 48.821 0 B=23529.4100 由第一问求得反馈矩阵K11=0.00208，K12=0.04562,K13=0.01914F=K= 0.00208 0.04562 0.01914在MATLAB输入程序如下：P=poly(A-B*K);roots(P)ans = -506.563 -147.896 -7.717图6 全维状态观测器结构图从工程实际出发，兼顾快速性、抗干扰性等，选择观测器的响应速度比所考虑的状态反馈闭环系统快2-5倍。故取s1*=-1200, s2*=-500, s3*=-35，则期望特征多项式为：D*=s3+1735s2+659500s+

10、21000000D(s)= s3+609.068+g2s2+1243.4+48.821g1+609.068g2s+105625.617+1303.960g0+28718.221g1+12254.7g2可解得g0= 17853.509, g1=-563.539, g2=1125.932带观测器的状态反馈加积分调节系统仿真结构如图6。仿真输出与观测器输出波形图如下：图7 系统加全维观测器输出波形图图7 全维状态观测器波形图由仿真图可知，系统的稳态误差为0，动态误差满足超调量<10%,调节时间Ts<0.5s的要求。状态估计误差收敛速度与状态观测器极点的配置有关。一般而言状态观测器极点在复

11、平面的左半开平面距离虚轴距离越远，则估计误差收敛速度越快。但是，观测器响应速度过快会产生大量噪声，影响系统的正常工作故不宜取值过大。综合工程实际出发，一般取为比状态反馈闭环系统快25倍。3、限制电动机电枢过电流方法为了解决反馈闭环调速系统的起动和堵转时电流过大的问题，系统中引入电流截止负反馈，电流截止负反馈调速系统通过一个电压比较环节，使电流负反馈环节只有在电流超过某个允许值时才起作用，电动机启动时，因为电流截止负反馈作用，从而限制启动电流。正常工作时，电流截止负反馈作用很小。电动机发生堵转时，由于电流截止负反馈的作用，使Ud大大下降，因而使Ia不致过大。允许的堵转电流一般为电动机额定电流的2

12、2.5倍。系统工作在额定值时，由于电流截止负反馈起作用，从而保证系统设备的安全。4、二次型最优控制由前边的计算可知原始系统为完全可控的，最优控制的性能指标函数为：，其中，为状态加权系数矩阵，R为控制加权系数矩阵，设Q=q11 0 00 q22 00 0 q33,R取1。非零点给定的定常输出器设计中，P为代数方程的解。为求得最优状态反馈矩阵K和k1，先令q11=1，q22=1,q33=100，反代入上式，利用matlab中的lqr函数计算线性二次型最优控制的解。即：K=lqr（A，B，Q，R），运行得：K=0.9867,10.081,31.4838,k1=1.702系统在零负载转矩下的阶跃响应仿

13、真程序如下：A=-588.235 0 0;26.709 -20.833 -3.678;0 48.821 0;B=23529.41 0 0'C=0 0 1;D=0;R=1;Q= 1 0 0;0 1 0;0 0 1000;K=lqr(A,B,Q,R);ac=A-B*K;k1=inv(-C/(A-B*K)*B); bc=B*k1; cc=C; dc=D; step(ac,bc,cc,dc);Grid运行后仿真结果如下图：图8线性二次型最优全状态反馈仿真曲线为了研究系统二次型性能指标泛函中权矩阵Q的不同选取对动态性能的影响，对q11、q22、q33取不同值时的权矩阵进行仿真试验。令q22=q3

14、3=1，q11取值为1、100、200、500、1000、10000，系统matlab程序如下：a_color='r','g','b','y','c','m','k' %¶¨ÒåͼÐÎÑÕÉ«A=-588.235 0 0;26.709 -20.833 -3.678;0 48.821 0;B=23529.41 0 0'C=0 0 1;D=0;R=1;syms

15、 Q q11 q22 q33;Q=q11 0 0;0 q22 0;0 0 q33; N=1,100,200,500,1000,10000; syms i K; for i=1:6 q22=1; q33=1; q11=N(i); K=lqr(A,B,subs(Q),R); ac=A-B*K; k1=inv(-C/(A-B*K)*B); bc=B*k1; cc=C; dc=D; sys(i)=ss(ac,bc,cc,dc); end figure(1)step(sys(1),a_color(1),sys(2),a_color(2),sys(3),a_color(3),sys(4),a_color(

16、4),sys(5),a_color(5),sys(6),a_color(6); Grid 运行得：图9 q11为不同取值时线性二次型最优全状态反馈仿真曲线对于q22、q33取不同值时其程序与仿真曲线如下：a_color='r','g','b' A=-588.235 0 0;26.709 -20.833 -3.678;0 48.821 0;B=23529.41 0 0'C=0 0 1;D=0;R=1;syms Q q11 q22 q33;Q=q11 0 0;0 q22 0;0 0 q33; for i=1:3 q11=1; q22=1; q

17、33=1; Q(i,i)=100; K=lqr(A,B,subs(Q),R); ac=A-B*K; k1=inv(-C/(A-B*K)*B); bc=B*k1; cc=C; dc=D; sys(i)=ss(ac,bc,cc,dc); end figure(1)step(sys(1),a_color(1),sys(2),a_color(2),sys(3),a_color(3);Grid运行：图10 q11、q22、q33为不同取值时线性二次型最优全状态反馈仿真曲线（图中红色线为Q=10000010001时阶跃响应曲线，绿色线条为Q=10001000001时的阶跃响应曲线，蓝色为Q=1000100

18、0100时的阶跃响应曲线）由不同权矩阵Q的取值仿真曲线可知， q11=100时超调量太大且调节时间久，q22=100时虽然超调量小或者没有，但是调节时间太长，综合来看，q33为100时系统动态性能最好。权矩阵R值不同时，对系统动态性能的影响。程序如下：a_color='r','g','b','y','c'A=-588.235 0 0;26.709 -20.833 -3.678;0 48.821 0;B=23529.41 0 0'C=0 0 1;D=0;Q=1 0 0;0 1 0;0 0 100;N=1,10

19、0,1000,1500,10000;syms R; for i=1:5 R=N(i); K=lqr(A,B,Q,subs(R); ac=A-B*K; k1=inv(-C/(A-B*K)*B); bc=B*k1; cc=C; dc=D; sys(i)=ss(ac,bc,cc,dc); end figure(1)step(sys(1),a_color(1),sys(2),a_color(2),sys(3),a_color(3),sys(4),a_color(4),sys(5),a_color(5);Grid运行得：图11.R取不同取值时线性二次型最优全状态反馈仿真曲线对比可知：R值越大调节时间越长，超调量越大。5、降维观测器设计负载转矩TL平缓变化，且状态变量Ud,Id,n均可准确测量时，对负载转矩进行估计的降维观测器的设计需对原系统结构进行变化。可得增广矩阵：