流体力学第1章

1、 流体力学流体力学李忠贤李忠贤E-mail: E-mail: 南京信息工程大学大气科学学院南京信息工程大学大气科学学院2流体力学是研究流体（宏观）运动规律，以及流体流体力学是研究流体（宏观）运动规律，以及流体与固体之间相互作用等方面的一门学科。与固体之间相互作用等方面的一门学科。水 液体 空气 气体流体 地球物理流体海洋 大气自然界的物质,按照其凝聚态（或分子平均间距）的不同，可以分为固体、液体和气体，液体和气体统称为流体。第第1 1章章 流体力学的基础概念流体力学的基础概念 3(1)(1)流动性流动性流体的抗拉强度很小，只有在适当的约束下才能承受压力；处于静止状态的流体不能承受任何剪切力作用

2、，即在不论怎样小的剪切力作用下，流体将发生连续不断的变形，直到剪切力消失时，流体的变形才会停止。流体的这一特性称之为流动性。1.1 流体的主要物理性质流体的主要物理性质第第1 1节节 流体的物理性质和宏观模型流体的物理性质和宏观模型 4(2)(2)黏性黏性处于相对运动状态流体对剪切形变的阻碍的度量。当流体层之间存在相对运动时，流体就会反抗这种相对运动，使流体渐渐失去相对运动；这种阻碍流体相对运动的特性，称为黏性。1.1 流体的主要物理性质流体的主要物理性质第第1 1节节 流体的物理性质和宏观模型流体的物理性质和宏观模型 5(3)(3)压缩性压缩性流体体积在外力作用下可以改变的特性。液体的压缩性

3、一般情况下很小，可略去不计，可视为不可压缩流体。例如，水在温度不变条件下，每增加一个大气压，体积减少率为0.005%。但在压力变化很大或很突然时，则液体的压缩性必须考虑。气体的压缩性一般较大，一般不能当做不可压缩流体处理。例如，空气在温度不变条件下，当压力由1个标准大气压增加到1.1个标准大气压时，体积减小率为0.1。真实流体都是可压缩的，不可压缩流体是一种抽象的理论模型，是对流场中体积（密度）变化较小的实际流体的一种近似。1.1 流体的主要物理性质流体的主要物理性质第第1 1节节 流体的物理性质和宏观模型流体的物理性质和宏观模型 6 在普通物理的质点力学中，通常把实际物体抽象概括在普通物理的

4、质点力学中，通常把实际物体抽象概括为为“质点质点”这样一个理论模型，较简便地研究物体的运这样一个理论模型，较简便地研究物体的运动规律。动规律。 流体力学中也需要把实际流体抽象概括为一个宏观理流体力学中也需要把实际流体抽象概括为一个宏观理论模型，再来讨论它的运动规律。这里理论模型不是质论模型，再来讨论它的运动规律。这里理论模型不是质点力学中的点力学中的“质点质点”，而是下文所介绍的连续介质。，而是下文所介绍的连续介质。7实际流体是由无数流体分子（实际流体是由无数流体分子（2.7X102.7X101919/cm/cm3 3）构成的不连续）构成的不连续的离散系。的离散系。若以若以单个分子单个分子为研

5、究对象，由于其运动的随机性，相应的物为研究对象，由于其运动的随机性，相应的物理量（如分子速度）理量（如分子速度）随时间作随机变化随时间作随机变化，同时由于分子间存，同时由于分子间存在间距，则物理量（如分子速度）在在间距，则物理量（如分子速度）在空间上存在不连续性空间上存在不连续性。因而将流体视为分子构成的粒子系求解流体运动方程是不可因而将流体视为分子构成的粒子系求解流体运动方程是不可能的。能的。1.2 流体的连续介质假设流体的连续介质假设日常生活中所指的流体运动，属于经典力学范畴的宏观运动，日常生活中所指的流体运动，属于经典力学范畴的宏观运动，它并不要求涉及分子运动和分子的微观结构。它并不要求

6、涉及分子运动和分子的微观结构。连续介质假设：连续介质假设：把离散分子构成的实际流体抽象为由无数把离散分子构成的实际流体抽象为由无数流体流体质点质点没有空隙的连续分布而构成的连续介质这样一种理想的没有空隙的连续分布而构成的连续介质这样一种理想的物理模型。物理模型。使用这一模型可以简化流体运动的数学分析，描述流体物理性使用这一模型可以简化流体运动的数学分析，描述流体物理性质的各种物理量均视为时间和空间的连续函数，可直接应用质的各种物理量均视为时间和空间的连续函数，可直接应用牛顿定律及相应的数学工具（如，微积分）。牛顿定律及相应的数学工具（如，微积分）。89流体质点，是宏观质点，每一个质点均包含大量

7、分子，流体质点，是宏观质点，每一个质点均包含大量分子，流体质点所具有的宏观物理性质是所含分子相应物理性流体质点所具有的宏观物理性质是所含分子相应物理性质的统计平均。质的统计平均。在微观上足够大在微观上足够大，以保证流体质点中包含足够多的分子，以保证流体质点中包含足够多的分子，对它们进行统计平均能取得稳定的宏观量值，不会因，对它们进行统计平均能取得稳定的宏观量值，不会因少量分子出入流体质点而影响该宏观量值；同时，又少量分子出入流体质点而影响该宏观量值；同时，又要要求宏观上充分地小求宏观上充分地小，要求流体质点的线尺度和流动范围，要求流体质点的线尺度和流动范围相比要充分地小，以致可以把流体质点近似

8、地看成在几相比要充分地小，以致可以把流体质点近似地看成在几何没有维度的点。何没有维度的点。流体质点流体质点10例如，在通常条件下，例如，在通常条件下，1cm3的空气中含有的空气中含有2.7x1019个分个分子。因此，取子。因此，取10-3cm为边长的立方体作为流体质点，它为边长的立方体作为流体质点，它对于一般流动规模已是充分地小，可当作一点（宏观上对于一般流动规模已是充分地小，可当作一点（宏观上充分小），而它还含有充分小），而它还含有2.7x1010个分子，可认为它在微个分子，可认为它在微观上充分大，足够具有确定的统计平均效应。观上充分大，足够具有确定的统计平均效应。对于大多数情况的流体，一般

9、均可以当做连续介质来对于大多数情况的流体，一般均可以当做连续介质来考虑，但对稀薄气体运动或空气动力学中的激波区考虑，但对稀薄气体运动或空气动力学中的激波区则流体连续介质模型不能使用。在则流体连续介质模型不能使用。在50km50km左右（平流左右（平流层顶以下）的高空大气，仍然可以作为连续介质。层顶以下）的高空大气，仍然可以作为连续介质。本课程仅讨论连续介质模型适用的情况。本课程仅讨论连续介质模型适用的情况。1112(1)拉格郎日拉格郎日(Lagrange)方法（随体观点）方法（随体观点）该方法观察流体运动的出发点是设法描述该方法观察流体运动的出发点是设法描述每一个流体每一个流体质点自始至终的运

10、动过程质点自始至终的运动过程，即它们的位置随时间变化，即它们的位置随时间变化的规律。的规律。第第2 2节节 流体的速度和加速度流体的速度和加速度 2.1 描写流体运动的两种方法描写流体运动的两种方法13kzj yi xzyxrr,考虑确定的参考系，取流体质点考虑确定的参考系，取流体质点的位置矢径为的位置矢径为 ，且可以表示，且可以表示为：为：rrO Ox xy yz z笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系如果如果x,y,z在流体域内连续取值，在流体域内连续取值，则上式就描述了流体域所有流体则上式就描述了流体域所有流体质点的位置。质点的位置。14假定某一流体质点的初始时刻假定某一流体质点的初始时刻 位置位于

11、点：位置位于点：tzyxrr,000tzyxzztzyxyytzyxxx,000000000)(000zyx，则该流体质点不同时刻的位置矢径为则该流体质点不同时刻的位置矢径为 ，可以表示为：，可以表示为：0tr分量形式：分量形式：变量x,y,z为Lagrange变量。15Lagrange观点下有：观点下有：tzyxzztzyxyytzyxxx,000000000据速度的定义，求位置矢量随时间的变化率，即：据速度的定义，求位置矢量随时间的变化率，即：000000000000000000000000,du xyz tx xyz tdtddv xyz ty xyz tV xyz tr xyz tdt

12、dtdw xyz tz xyz tdt，或者Lagrange观点下流体运动的速度观点下流体运动的速度16例1-2-1 已知Lagrange变量 ， 求流体运动的速度。000tttxx eyy ezz e 17(2)欧拉欧拉(Euler)方法（场的观点）方法（场的观点）该方法观察流体运动的出发点是设法描述任意瞬时流体该方法观察流体运动的出发点是设法描述任意瞬时流体质点的质点的物理量物理量(例如，温度、压强、速度矢量等例如，温度、压强、速度矢量等)在空间在空间场的分布场的分布。18tzyxwwtzyxvvtzyxuu, 流体运动的流速矢量是空间和时间的函数流体运动的流速矢量是空间和时间的函数: :

13、 tzyxVV,分量形式：分量形式：Euler观点下流体运动的速度场观点下流体运动的速度场19tzyxwwtzyxvvtzyxuu,tzyxVV,分量形式：分量形式：上式通常称为流速场或流场。上式通常称为流速场或流场。Euler观点下流体运动的速度场观点下流体运动的速度场变量u,v,w为Euler变量变量。20若某时刻流场不随空间变化若某时刻流场不随空间变化-均匀流场均匀流场；反之，为反之，为非均匀流场非均匀流场；若流场不随时间变化若流场不随时间变化-定常（稳定）流场定常（稳定）流场；反之，为反之，为非定常（不稳定）场非定常（不稳定）场。几个与流场几个与流场 有关的基本概念有关的基本概念tzy

14、xVV,Euler观点下流体运动的速度场观点下流体运动的速度场axvayuntvmtu21例例1-2-2 已知已知Lagrange变量变量 ，其中，其中 均为常数均为常数,且且 ，求流体运动的加速度求流体运动的加速度 。2t kt kt kxaeybezce , , ,a b c k0k 2.2 流体运动的加速度流体运动的加速度加速度是指流体质点的速度矢量随时间的变化率，即：加速度是指流体质点的速度矢量随时间的变化率，即：22dVd radtdt 22已知已知Euler变量，求流体运动的加速度场变量，求流体运动的加速度场tzyxwwtzyxvvtzyxuu,tyvtxu2例如流体速度场如下：例

15、如流体速度场如下：EulerEuler观点下的流体运动的加速度场观点下的流体运动的加速度场23dtdzzVdtdyyVdtdxxVtVdtVd 求解Euler观点下的流体运动流体运动的加速度场, , ,daV x y z tdt24ijkxyz 引入引入那勃勒算子那勃勒算子 dVVV dxV dyV dzdttx dty dtz dtkdtdzjdtdyidtdxkwj viuVdVVVVVVdttt =dVVVVVuvwdttxyz dVVVVVuvwdttxyzxVuvwyz 25定义微商算符：定义微商算符：上式适用于任意物理量，包括如力、速度、位移等矢量，上式适用于任意物理量，包括如力、

16、速度、位移等矢量，以及如温度、气压等标量。以及如温度、气压等标量。 ()dVdtt26物理意义？ ()dVdtt27微商算符微商算符 的常用形式：的常用形式：( )()( )Vt ( )0ddt( )( )dtdt()()0V 普通情况下：普通情况下：物理量的局地变化由两部分组成，个别变化和平流变化。物理量的局地变化由两部分组成，个别变化和平流变化。 ()dVtdt ()dVdtt28dVVVVdtt流体运动加速度场产生的原因流体运动加速度场产生的原因流体运动加速度场产生的原因：流体运动加速度场产生的原因：流场的非定常性和非均匀性。流场的非定常性和非均匀性。定常流场定常流场0Vt均匀流场均匀流

17、场()0VV29例题例题1-2-3已知流体运动的速度场如下，分别求流体运已知流体运动的速度场如下，分别求流体运动的加速度场；并说明各种情况下产生加速度的原因。动的加速度场；并说明各种情况下产生加速度的原因。axvayu（a为常数）；为常数）；tyvtxu2（m、n为常数）；为常数）； ntvmtu30例题例题1-2-4已知流体运动的速度场已知流体运动的速度场 ，求流体运动的加速度场。求流体运动的加速度场。21uxtvyt31第3节 迹线和流线 流体运动的物理图象？流体运动的物理图象？直观和形象地描述流体的运动情况直观和形象地描述流体的运动情况迹线和流线的概念迹线和流线的概念引入引入323.1

18、迹线迹线用拉格朗日方法描述流体的流动时，用拉格朗日方法描述流体的流动时，流体质点在流动流体质点在流动过程中所形成的轨迹，称为流体质点的迹线。过程中所形成的轨迹，称为流体质点的迹线。每个流体质点都具有自己的迹线。同一空间点，在不每个流体质点都具有自己的迹线。同一空间点，在不同瞬时，可能为不同的流体质点所占据，因此，不同同瞬时，可能为不同的流体质点所占据，因此，不同流体质点的迹线在空间相互间是可能相交的。流体质点的迹线在空间相互间是可能相交的。33tzyxrr,000参数方程参数方程迹线迹线消去参数消去参数 t迹迹 线线-拉格郎日拉格郎日(Lagrange)变量密切相关变量密切相关34例例1-3-

19、1 假设流体运动的假设流体运动的Lagrange变量为：变量为：0012020cosxytgtyxx 0012020sinxytgtyxy 0zz )(202022yxyx0zz 解：消去参数解：消去参数 t ，即可得，即可得迹线方程迹线方程： 求求迹线方程？迹线方程？35为了用几何的方法来表示流动流体的速度场，为了用几何的方法来表示流动流体的速度场，在某在某一瞬时一瞬时t，可以在流动流体所占据的空间中画出一系，可以在流动流体所占据的空间中画出一系列曲线，使得列曲线，使得曲线上的每一点的切线方向正好与该曲线上的每一点的切线方向正好与该时刻该处的流速方向相同，这样的曲线，称为该瞬时刻该处的流速方

20、向相同，这样的曲线，称为该瞬时的流线。时的流线。3.2 流线流线362015年年1月月1日日00时的流线。时的流线。2015年年2月月1日日00时的流线。时的流线。37同一瞬时，每个空间点上均只可能有一个流体同一瞬时，每个空间点上均只可能有一个流体速度矢量，因此，除非在速度等于零或等于无速度矢量，因此，除非在速度等于零或等于无穷大这两种特殊情况下，同一瞬时的流线在空穷大这两种特殊情况下，同一瞬时的流线在空间是不可能相交的。间是不可能相交的。非定常流场的局地速度是随时在变化的，因此，非定常流场的局地速度是随时在变化的，因此，其流线是随时变化的空间曲线。其流线是随时变化的空间曲线。38式中式中x、

21、y、z、t为四个相互独立的变量，积分时将为四个相互独立的变量，积分时将t作常数处理。作常数处理。tzyxwdztzyxvdytzyxudx,积分积分 流线流线设设 为流线的线元矢量：为流线的线元矢量：rd流线的求解流线的求解39例例1-3-21-3-2已知流体运动的速度场如下：已知流体运动的速度场如下： 求出求出t=0t=0时刻，过点时刻，过点M M（1,11,1）的流线方程。）的流线方程。 22222222(1) (2)cycxuuxyxycxcyvvxyxy40下列有关流线的描述正确吗？下列有关流线的描述正确吗？定常流场定常流场 流线不随时间变化流线不随时间变化流线不随时间变化流线不随时间

22、变化 定常流场定常流场()(1) (2) ku kxu kxtv kyv kyt为 常 数41定常流动即流体质点经过某固定空间位置时流速是相同定常流动即流体质点经过某固定空间位置时流速是相同的，其流线是一些不随时变化的空间曲线，而且其每条的，其流线是一些不随时变化的空间曲线，而且其每条流线上的所有流体质点的迹线均和这条流线相重合。流线上的所有流体质点的迹线均和这条流线相重合。42例例1-3-3 流体运动的速度场由流体运动的速度场由Euler变量表示为：变量表示为： 其中其中 k 为常数：为常数： （1）求流线方程；）求流线方程； （2）请问同一地点不同时刻流速是否相同？同一流体质）请问同一地点

23、不同时刻流速是否相同？同一流体质点不同时刻的流速是否相同？点不同时刻的流速是否相同？ (3) 求出求出 t =0时刻，过点（时刻，过点（a，b，c）的迹线方程。）的迹线方程。0,wkyvkxu43第第4节节 速度分解速度分解刚体运动的速度构成：刚体运动的速度构成：经典力学中，刚体运动的速度经典力学中，刚体运动的速度刚体上任一质点刚体上任一质点A的速度的速度VA可以分为随同刚体上任意一点可以分为随同刚体上任意一点M0的平动的平动VM0和绕和绕M0的相对转动线速度。的相对转动线速度。有平动和转动速度有平动和转动速度44流动性和压缩性等流动性和压缩性等形变形变流体运动的速度构成流体运动的速度构成0(

24、)()RDV MV MVV平动、转动平动、转动亥姆霍兹速度分解定理：流体运动的速度可分解亥姆霍兹速度分解定理：流体运动的速度可分解为为平动速度、转动线速度和形变线速度平动速度、转动线速度和形变线速度三部分。三部分。45选择参考点 及邻近一点)(0000zyxM，)(000zzyyxxM ，)(0000zyxM，)(000zzyyxxM ，222zyxr ),()(0000tzyxVMV，),()(000tzzyyxxVMV ，某瞬时某瞬时t ，以位于流动流体中的任意一个空间点，以位于流动流体中的任意一个空间点M0处的流体处的流体质点为基点，对流体微团内的任意一个与质点为基点，对流体微团内的任意

25、一个与M0点的相对失径为点的相对失径为 处的流体质点处的流体质点M的流动速度进行速度分解。的流动速度进行速度分解。()xyz，460()()uuuu Mu MxyzxyzzzvyyvxxvMvMv )()(0zzwyywxxwMwMw )()(0某瞬时某瞬时t47zzuyyuxxuMuMu )()(0zxw 21zxw 21yxv 21yxv 21zxwzuyxvyuxxuMuMu 2121)()(0yyuxvzxwzu 2121 11A12A13Ay z 48xwzuAxvyuAxuA 21,21,131211yuxvxwzuzy 21,21)()()(1312110yzzAyAxAMuMu

26、zy 定义:49zzvyyvxxvMvMv )()(0zyw 21xyu 21zywzvyyvxyuxvMvMv 2121)()(0zzvywxyuxv 2121 21A22A23Az x y方向作类似处理：50zzwyywxxwMwMw )()(0yzv 21xzu 21zzwyzvywxzuxwMwMw 2121)()(0 xxwzuyzvyw 2121 31A32A33Ax y z方向作类似处理：51)()()()()()()()()(333231023222101312110 xyzAyAxAMwMwzxzAyAxAMvMvyzzAyAxAMuMuyxxzzy 0DMVAr0RMVr0

27、()V M亥姆霍兹速度分解定理：流体运动的速度可分解为平动速度、转动线速度和形变线速度三部分。521 2 3ijAAij（） ，形变张量矩阵形变张量矩阵333231232221131211AAAAAAAAAA 233211311322122133121212wvuAAAyzxuwvAAAzxyvuwAAAxyz，53流体转动的角速度流体转动的角速度 1 2 111 222ijkxyzuvwwvuwvuijkyzzxxy54刚体运动：转动是作为一个整体来进行的； 流体运动：流体的转动角速度是一个局地量，流体域内各点可以以不同的角速度转动。 0RMVr55例例1-4-1 已知流场：已知流场： 其中

28、其中 m为常数，计算坐标原点为常数，计算坐标原点O 附近点附近点 的转动线速度和形变线速度。的转动线速度和形变线速度。)(0000zyxP，mwmyvmxu,O)(0000zyxP，r kzjyixr000 0DMVAr0RMVr56第第5节节 涡度、散度和形变率涡度、散度和形变率 0()()RDV MV MVV0RMVr0DMVAr引进其他的物理量，表引进其他的物理量，表征流体质点在运动过程征流体质点在运动过程中的各种特征。中的各种特征。流体质点运动流体质点运动位置变化位置变化形状大小变化形状大小变化流体质点自身可以旋转。流体质点自身可以旋转。575.1 涡度涡度V定义涡度矢为矢量微商符 和

29、速度矢 的矢性积，即：V涡度的定义 ijkwvuwvuVijkxyzyzzxxyuvw CurlVrotV58V dl 表示流体沿闭合曲线流动趋势的程度。涡度的物理意义首先引入速度环流 的概念在流体中取任一闭合曲线 , 沿闭合曲线对该曲线上的沿闭合曲线对该曲线上的每一点的流速分量求和：每一点的流速分量求和： 59 =()lV dlV dVnd 应用斯托克斯（Stokes）公式，线积分 曲面积分：l dn d60当闭合曲线l向内无限收缩（闭合曲线所围面积趋向零）00()()limlimV dVndVndd 涡度是度量流体旋转程度的物理量。涡度是度量流体旋转程度的物理量。0()/limVn表示流体沿闭合曲线流动趋势的程度。61涡度与流体旋转角速度的关系2V 例1-5-1流体质点在xoy平面上围绕oz轴作逆时针圆周运动（假设旋转角速度大小为a），其流速与流体质点到oz轴的距离成正比，试求流体的涡度场。 62与涡度有关的几个问题：A 直线有旋运动B 无旋圆周运动C 有旋圆周运动V,uky vkx 2222,kykxuvxyxy63例1-5-2已知流体运动的速度场为已知流体运动的速度场为 ，求流体运动的涡度。求流体运动的涡度。 420uytvxtw ijkwvuwvuVijkxyzyzzxxyuvw645.2 散度散度定义散度为矢量微商符 和速度矢 的数性积，即：VuvwDVxyz