小学数学思想方法PPT课件

1、 2 数学方法的特点 （1）过程性 （2）可操作性 （3）层次性 四、研究数学思想方法的意义 1、有利于深刻认识数学的内容、方法及意义 2、有利于促进数学教育的改革 3、有利于培养学生的数学能力 五、如何在课堂教学中渗透数学思想方法 1、在知识的形成过程中渗透数学思想方法 2、在问题解决探索过程中揭示数学思想方法 3、在知识的归纳总结中概括数学思想方法 六、小学数学中常用的思想方法第1页/共41页 1符号化思想 （1）定义：为了解决问题，将其中的数量关系符号化，使之简洁易于解决的思想。 （2）形成与发展 萌芽（17世纪以前） 这个时期创用的符号大都是象形符号，以计数符号为例： 殷朝（甲骨文）：

2、一 二 三 阿拉伯数字 : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 古罗马 : 第2页/共41页 形成(17世纪初阿拉伯数字在世界范围内的通用,标志着记数符号化的开始) 成熟(17世纪中叶符号成为一种约定的规范体系,不再是个别数学家的随意想法) (德国)莱布尼兹1675:dx ,dy , (荷兰)赫克1514: + , (德国)鲁道夫1525: (英国数学家)雷科德1557:= , (瑞士)哈纳1659: 图形符号: 第3页/共41页 组合符号: “32” , “n!” , “sinx” 公式符号: 随着科学技术的发展符号化趋于完善和统一,几乎所有的数学表述用语,包括公式、定理、法则、公式、

3、概念等等都完全符号化了。如：3x-6=03x=6x=2就是把一个符号链变成另一个符号链。222cba2abba/ba第4页/共41页 渗透 例1 从一年级起，教材就安排了有关 和 代表变元符号x，让学生填数：6- 4 125+ 等，起初 “ ”内可填自然数，随着知识的增加（学习了小数）可填自然数、小数、分数；再进一步（学习了实数）可填实数；如果把“ ”换成x就变成了一个不等式，进而求不等式解集的问题，因而符号化思想的教学是采取螺旋式的方法来逐渐渗透的。第5页/共41页 例2 学习加法交换律时，可先让学生观察具体的等式 30+50=50+30 15+20=20+15 124+235=235+12

4、4等， 通过观察得出 + = + （相同的符号表示相同的数）即加法交换律，以后再学习用字母表达式a+b=b+a 代替 + = + 学生就不会感到困难了。 例3 联欢会上，小明按照3个红气球，2个黄气球，1个绿气球的顺序把气球串起来装饰教室，你知道第16个气球是什么颜色吗？ 解决这个问题可有多种方法：如用“A表红”，“B表黄”，“C表绿”，则可写成AAABBC AAABBC AAABBC第16个为黄色 。第6页/共41页 2 集合思想(实质是整体思想) (1)定义:指应用集合论(主要是朴素集合论的基本知识)的观点来分析问题、认识问题和解决问题的一种思想。 （2）形成和发展 集合思想产生于19世纪

5、，由德国数学家G.康托尔创建。到了19世纪末才逐步完善。 （3）渗透 例1 教学长方形、正方形之后，使学生明确正方形是长和宽相等的长方形，即正方形是一种特殊的长方形，用圆圈表示更形象第7页/共41页 用圆圈表示更形象 让他们感知大圈内的物体具 有某种共同的属性，可以看作一个整体，这个整体就是一个集合长方形集合，小圈内的物体也具有某种共同属性，可以看作一个小整体，这个小整体也是一个集合正方形集合。 例2 已知某班共45人，一次考试中语文或数学得100分的共20人，其中语文得100分的有13人，数学得100分的有12人，问语文、数学都得100分的有多少人？语文、数学都不得100分的有多少人？ 长

6、正第8页/共41页 这道应用题可用常规的算术方法解答， 但如果用集合的思想方法来解就更方 便，可用方框表示全班总人数，左圈 表示语文100分的人数，右圈表示数 学100分的人，两圈的交界部分则为 两门都为100分的人,则有13+12-20=5(人) 45-(7+8+5)=25(人)785第9页/共41页 3 转化思想(化归思想) (1)定义:是指人们将有待解决的问题通过某种转化过程,归结到已经解决或比较容易解决的问题中去,最终求得原问题的解答的一种思想。 小学数学中常用的转化：数与形的转化，图形间的转化，减法向加法、除法向乘法的转化，在分数运算中异分母的分数加减转化为同分母的分数加减来完成等等

7、。 转化的步骤:原问题新问题 原问题解答解答新问题第10页/共41页例1 质数概念的教学 在学习质数概念时,先引导学生紧紧抓住“一个数只有1和它本身两个约数”这一本质属性，以及质数有“2、3、5、7、11、13”这一外延，使学生初步认识质数的概念（这时学生只完成了认知的第一次转化），接着可以再引导学生把所学的概念作为判断、推理、分析、解题的依据，通过练习加以运用，再设计如下判断练习：质数都是奇数(不)除2以外的质数都是奇数(对)任意两个质数之积一定是合数(对)任意两个质数之和一定是合数(不对)第11页/共41页除2以外任意两个质数之和一定是合数(对) 学生通过这样的练习对“质数”的概念从理性认

8、识转化为实际的判断能力，完成了认识的第二次转化，这时可具有灵活运用知识的能力。 懂 会例2 的 是多少? 即感性 理性 实践 转化 转化 从图形的分割得 = 把对数的讨论转化为对形 的分割 51311515131的5131151第12页/共41页例3 三角形面积公式的推导(联想到梯形、平行四边形) 沿中位线对折剪开拼成平行四边形 两个完全一样的三角形沿对应边拼成平 行四边形 。例4 求阴影部分的面积 例3 三角形面积公式的推导(联想到梯形、平行四边形) 沿中位线对折剪开拼成平行四边形 两个完全一样的三角形沿对应边拼成平 行四边形 。例4 求阴影部分的面积 第13页/共41页4 极限思想(1)定

9、义:为了确定一个无穷量,先考察与之接近的有限量,根据有限量的性质来推测无限量的性质。即 无限有限 性质 性质（2）产生和发展萌芽（魏晋时期）；产生（17世纪）；完善（19世纪）（3）渗透例1 学习“小数”时，如13=0.333是一个循环小数，它的小数点后面的数字“写不完”，从而让学生体会到循环小数的位数有“无限多”。第14页/共41页 描述“直线”概念时，让学生体会它可由“线段”向两端“无限延长”而得到； “角”的概念，由一点出发的两条射线构成的图形，角的边可“无限延长”，不影响角的大小。例2 =1的解释(化循环小数为分数)解: =0.999=0.9+0.09+0.009+= + + + 令

10、= + + ,则 =1 .9 . 0.9.0109100910009ns1091009n109nnns10111011)1011 (1091)1011 (limlimnnnns.9.0.9.0第15页/共41页 例3 圆柱、圆锥的关系圆柱的一底不变，另一底逐渐缩小则变成圆台，当无限缩小时，其面积为零，则变成圆锥。例4 一个边长为4米的正方形，把它的每一边中点连接起来，得到第二个正方形，再把第二个正方形各边中点连接起来，得到第三个正方形，这样继续下去，求第三个正方形的面积，你能求出第n个正方形的面积吗？当n无限增大时，第n个正方形的面积是多少？解： =16， =8=16 ， =4=16 ， =1

11、6 ， =16 ，当n时， 0ns1s2s3s212218s721ns121nns第16页/共41页 5函数思想 （1）定义：为了研究问题，将相互联系的两类事物作成两个集合，然后在它们之间建立一个对应，通过对应来研究问题的一种思想。 (2)产生与发展(产生于17世纪)函数概念的形成映射是函数的发展,函数是一种特殊的映射,用映射的观点看函数,更加突出了对应的本质。早期函数概念代数函数拓展运算种类18世纪函数概念解析函数舍弃式子表达的限制19世纪函数概念变量函数拓展数量区间为任意数学对象的集合近代函数概念映射函数第17页/共41页（3）渗透例1（函数概念的渗透） 2+ = 图中说明，当一个加数固定

12、不变时，和随着另一个加数的化而变化的。即一个加数不变时，“和”是另一个加数的函数；同理右图说明积是另一个因数的函数（教学时我们可以利用一些能移动的卡片，让算式中的数动起来）。3452826193第18页/共41页例2 （函数表示法的渗透）正方形面积 圆的面积 面积随着边长的变化而变化 面积随半径的变化而变化例3 正比例、反比例知识中的函数概念正比例、反比例概念中揭示的两个相关联的量之间的关系，实质上就是函数关系。如果说小学数学教材中许多内容都渗透了函数思想，那么“正比例、反比例”这部分教材则从事物的运动、变化的角度，研究数量间的比例关系，从小学生能够接受的形式和和表达方式，介绍了初步的函数思想

13、。如路程、时间、速度的关系等。例4 （统计图表中的函数表示法：列表法） 某年的每月平均气温如下表 2aS 2rS月份平均气温c012.523.531041652162873283592710191112124第19页/共41页 6方程思想 (1)将未知数与已知数联系起来,运用代数运算求出解答的思想。（未知数与已知数地位相同） （2）产生与发展 产生于公元前2000年，巴比伦人 发展：有理方程无理方程三角方程指数方程对数方程微分方程向量、矩阵方程等等。比如对有理方程而言也在发展：1次方程2次方程n次方程，多元方程组、不定方程、不定方程组等。 （3）渗透 例1 小明的铅笔去掉3支，剩下的是原来的

14、，问他原来有多少支铅笔？600 xy100)()(1502yxyx32第20页/共41页 解：设他原来有 支，则 -3= ，移项得 - =3， =9 答：小明原来有9支铅笔。 例2 甲、乙两人从A、B两地相向而行，甲走完全程要6小时，乙走完全程要10小时，甲先出发2小时，乙再经过几小时甲、乙两人相遇？ 解：设经过 小时相遇，甲1小时走完全程的 ，乙1小时走完全程的 ，则 + = ， 小时 答：经过2.5小时两人相遇。 例3 一桶油，第一次取出全桶的 ，第二次取出剩下的 ，桶里剩油12千克，问全桶油重多少千克？3232x611016x10 x26115 . 2x5243xxxxxx第21页/共4

15、1页 解：这桶油重 千克，则 ， 千克 ， 答：全桶油重80千克 用方程解决问题的过程设未知数找等式代数化 代数运算（未知数参与运算）得出结论 （4）教学：培养学生分析已知数未知数的能力。培养学生列方程的能力（找已知数、未知数的联系，代数化）x1243)52(52xxxx1220952xxx80 x第22页/共41页 7 统计思想(或概率统计思想) (1)定义:是帮助决策的理论,从事物的部分数据出发,运用代数运算,得出整体的数据性质,从而判断这类事物的本质的一种思想。 （2）形成和发展 产生于16世纪，19世纪中叶之后得到了广泛的应用。 （3）渗透 例1 随意从放有4个红球和1个黑球的口袋中，

16、摸出一个球，摸到红球与黑球的可能性哪个大？ 让学生反复做几次试验可知摸到红球的可能性大，摸到黑球的可能性小，并且摸到红球的概率是 ，黑球的54第23页/共41页 概率是 。 例2 小明所在班级的学生平均身高为1.4米，小强所在班级的学生平均身高为1.5米，小明一定比小强矮吗？ 分析：不一定。我们知道平均数是表示一组数据集中程度的特征数，在这组数据中，小明身高可能比平均数1.4米要大，而小强身高可能比平均数1.5米要小，所以可能出现情况两人一样高，小明比小强高，小明比小强矮 。 例3 如何算出茫茫一片森林中树木的棵数？ 分析：选单位面积的如下几块（平方米）51茂密较一般一般稀少第24页/共41页

17、 计算出它们单位面积上树木棵数，再取平均数，用平均数乘以森林面积就为树木的大约棵数，当我们取的单位面积的组数越多，得出的树木棵数越准确，这就是用样本来估计空间。 例4 统计某商店一个月内几种商品的销售情况，对这个商店的进货提出你的建议（要求学生认识概率统计在社会生活及科学领域的应用，并能解决一些简单的实际问题）。 8 类比思想 （1）定义：指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。第25页/共41页 （2）渗透 例1 如加法交换律和乘法交换律。在学习乘法交换律时可类比原来的加法交换律。 长方形、平行四边形、梯形、三角形的面积公式加以比较，便于记

18、忆。 学习“商不变性质”时，可先让学生观察：6030=2， 63=2，600300=2，60003000=2；通过比较得出被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数商不变，理解了商不变的性质后，让学生联想还有什么不变的规律（性质）？和不变，差不变，积不变的规律。第26页/共41页 例2 平面几何问题向立体几何问题的类比 常常根据平面几何定理得出立体几何中的真命题，但也有时得出假命题。 如两组对边分别相等的四边形是平行四边形 平面上成， 垂直于同一直线的两直线平行 空间不成立。 例3 关于小数大小的比较法则，是根据整数大小的比较法则，通过类比得到的。但它只适用于有限小数，如果由此进一步归纳出小数（包括

19、有限小数和无限小数）的大小比较法则，那么这一归纳的结果是错误的。因此类比得出的结论不是永远正确的，还必须进一步研究、检验，力求给予理论上的证明。第27页/共41页 9 分类思想 (1)定义:在比较的基础上,根据事物的某一本质属性进行正确划分的思想。 （2）渗透 例1 自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数，；若按约数的个数分质数和合数和1，即自然数 又如：三角形可以按边分，也可以按角分，若按边分 三角形 质数合数1不等边三角形等腰三角形底边和要不相等的等腰三角形等边三角形第28页/共41页 例2 用4、5、6三张数字卡片可以摆出几个三位数？ 让学生做一做，摆一摆，有的学生很快摆出来，但有些

20、学生却摆不完整。这时，我们指导学生进行分类讨论，首先确定百位上的数字是4时，有哪几个三位数（456，465）？ 百位上的数字是5时，有哪几个三位数（546，564）？百位上的数字是6时，又有哪几个三位数（645，654）？ 可见以百位上的数字为准进行分类，能有效纠正学生的无序性甚至盲目拼凑的毛病，有利于培养学生的逻辑思维能力。 教学中遵循的原则：所分的各类应当互不相容。分类应当是相称的（所分的各类的外延的和等于原来的种的外延）。每次分类应按统一标准。第29页/共41页 数学中除了以上9种思想以外，还有数形结合思想、优化思想，模糊数学思想，整体思想，公理化思想等。 讨论题：解答下列各题，并说明所

21、用的思想方法 例1 某班上午缺席人数是出席人数的 ，下午又因有一个人请假，故缺席人数是出席人数的 ，此班有多少人？ 法一：上午缺席人数是1份，那么上午出席人数就是7份，总人数是（1+7）份，所以上午缺席人数是全班人数的 ，同理，下午缺席人数是全班人数的 ; 这样很快发现其本质关系: 与 的差是由于请假一人造成的,故全班人数为716181171711617181（人）（5681711第30页/共41页 法二:列方程 设上午缺席人数为x,则x+7x=(x+1)+6(x+1) x=7 总人数为56人 运用的思想:转化思想、方程思想。 大客车：限坐42人，每辆每天1000元，豪华中巴：限坐24人；每辆

22、每天600元，现一学校组织春游，有老师27人，学生203人，问选择哪种乘车方案最便宜？而选择哪种乘车方案最舒适？ 列表如下第31页/共41页 用到的思想：转化思想、统计思想、函数思想大客车数中巴车数空位数应付租金（元）6432101357810224101622410600056005800600062005800600050第32页/共41页 3 下面6个算式，布成三行两列，请观察算式，发现什么特点？你能举出有这样特点的算式吗？ 3+1.5 31.5 6+1.2 61.2 11+1.1 111.1 规律:3+1.5=31.5 6+1.2=61.2 时, 11+1.1=111.1 时, 等 这

23、一过程中运用了转化思想、符号化思想、 函数思想 例4 周长相等的正方形和圆，哪个面积大？从而判断同高、底周长一样的粮囤作成圆柱形的还是底是正方形的长方体（正四棱柱）盛粮食多？1aabbaba3a5 . 1b4a34b第33页/共41页 分析：设周长为 ，则正方形面积为 圆面积为 正方形面积圆的面积 应做成圆柱形盛粮食较多。 再如水桶、热水器大都底部是圆形的 ，在周长相等的条件下，面积有长方形正方形正五边形正六边形圆。 其中用到的思想：符号化思想，转化思想，函数思想。 5 计算： 法一：图像法 c16422cc4222cc1281641321161814121128127128111281第34页/共41页 法二等比数列求和法 用到的思想：转化思想，符号化思想。12812712811211)211 (217ns第35页/共41页 作业 1 分析小学数学教材中哪些内容渗透了集合思想?极限思想? 答约数、倍数、公约数、公倍数的概念；平行四边形、长方形、正方形的概念间的关系；平行四边形的分类；数的认识；三角形的分类等都渗透了集合思想。 循环小数的概念；角的概念，直线的概念；化循环小数为分数等都渗透了极限思想。 2 一弹性小球竖直上抛到 米的高度落下，落地后弹跳到原来高度的 又落下；落地后又弹