第四章曲线运动万有引力与航天

1、第四章：曲线运动 万有引力与航天本章内容包括圆周运动的动力学部分和物体做圆周运动的能量问题，其核心内容是牛顿第二定律、机械能守恒定律等知识在圆周运动中的具体应用。本章中所涉及到的基本方法与第二章牛顿定律的方法基本相同，只是在具体应用知识的过程中要注意结合圆周运动的特点：物体所受外力在沿半径指向圆心的合力才是物体做圆周运动的向心力，因此利用矢量合成的方法分析物体的受力情况同样也是本章的基本方法；只有物体所受的合外力的方向沿半径指向圆心，物体才做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律合外力与加速度的瞬时关系可知，当物体在圆周上运动的某一瞬间的合外力指向圆心，我们仍可以用牛顿第二定律对这一时刻列出相应的牛顿

2、定律的方程，如竖直圆周运动的最高点和最低点的问题。另外，由于在具体的圆周运动中，物体所受除重力以外的合外力总指向圆心，与物体的运动方向垂直，因此向心力对物体不做功，所以物体的机械能守恒。考试大纲要求：抛体运动与圆周运动运动的合成和分解抛体运动匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度匀速圆周运动的向心力，离心现象斜抛运动只作定性分析万有引力定律万有引力定律及共应用环绕速度第二宇宙速度和第三宇宙速度经典时空观和相对论时空观 命题规律本章知识点，从近几年高考看，主要考查的有以下几点：（1）平抛物体的运动。（2）匀速圆周运动及其重要公式，如线速度、角速度、向心力等。（3）万有引力定律及其运用

3、。（4）运动的合成与分解。注意圆周运动问题是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，要加深对牛顿第二定律的理解，提高应用牛顿运动定律分析、解决实际问题的能力。近几年对人造卫星问题考查频率较高，它是对万有引力的考查。卫星问题与现代科技结合密切，对理论联系实际的能力要求较高，要引起足够重视。本章内容常与电场、磁场、机械能等知识综合成难度较大的试题，学习过程中应加强综合能力的培养。从近几年的高考试题可以看出，曲线运动的研究方法运动的合成与分解、平抛运动和圆周运动；万有引力定律与牛顿运动定律结合分析天体、人造卫星、宇宙飞船、航天飞机的运动问题，估算天体的质量和密度问题，反映了现代科技信息与现代科技发展密切

4、联系是高考命题的热点。预计在今后的高考中平抛运动的规律及其研究方法、圆周运动的角速度、线速度和向心加速度仍是高考的热点。与实际应用和与生产、生活、科技联系命题已经成为一种命题的趋向，特别是神舟系列飞船的发射成功、探月计划的实施，更会结合万有引力进行命题。复习策略在本专题内容的复习中，一定要多与万有引力、天体运动、电磁场等知识进行综合，以便开阔视野，提高自己分析综合能力。1在复习具体内容时，应侧重曲线运动分析方法，能够熟练地将曲线运动转化为直线运动。如平抛运动就是将曲线运动转化为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动再进行处理的。对于竖直平面内的圆周运动，由于涉及知识较多而成为难点和

5、重点。就圆周运动的自身而言有一个临界问题，同时又往往与机械能守恒结合在一起命题。在有关圆周运动最高点的各种情况下的各物理量的临界值的分析和计算应作为复习中的重点突破内容，极值分析法、数学分析法是分析处理物理问题的基本方法，也是学生学习中的难点和薄弱环节。2天体问题中，由于公式的形式比较复杂，计算中得到的中间公式特别多，向心力的表达式也比较多，容易导致混乱。所以要求在处理天体问题时，明确列式时依据的物理关系（一般是牢牢抓住万有引力提供向心力），技巧性地选择适当的公式，才能正确、简便地处理问题。3万有引力定律还有一个重要的应用就是估算天体的质量或平均密度。问题的核心在于：（1）研究一天体绕待测天体

6、的圆周运动。（2）二者之间的万有引力提供向心力。4万有引力定律是力学中一个独立的基本定律，它也是牛顿运动定律应用的一个延伸，学习本部分内容要具有丰富的空间想象建模能力以及学科间的综合能力。1、记住物体做匀速圆周运动的条件，能判断物体是否做匀速圆周运动。2、记住匀速圆周运动的v、T、f、a、向心力等运动学公式。3、知道解匀速圆周运动题的一般步骤（与牛顿第二定律解题思中相同）。4、掌握几种情景中的圆周运动：重力场中竖直面内圆周运动（注意临界条件）。天体的匀速圆周运动。点电荷的电场中带电粒子可以做匀速圆周运动。带电粒子只受洛仑磁力作用下的圆周运动（注意有界磁场中的圆周运动的特点和解法）。复合场中的圆

7、周运动。第一模块：曲线运动、运动的合成和分解夯实基础知识考点一、曲线运动1、定义：运动轨迹为曲线的运动。2、物体做曲线运动的方向： 做曲线运动的物体，速度方向始终在轨迹的切线方向上，即某一点的瞬时速度的方向，就是通过该点的曲线的切线方向。3、曲线运动的性质由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。由于曲线运动速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的加速度必不为零，所受到的合外力必不为零。4、物体做曲线运动的条件（1）物体做一般曲线运动的

8、条件物体所受合外力（加速度）的方向与物体的速度方向不在一条直线上。（2）物体做平抛运动的条件物体只受重力，初速度方向为水平方向。可推广为物体做类平抛运动的条件：物体受到的恒力方向与物体的初速度方向垂直。（3）物体做圆周运动的条件物体受到的合外力大小不变，方向始终垂直于物体的速度方向，且合外力方向始终在同一个平面内（即在物体圆周运动的轨道平面内）总之，做曲线运动的物体所受的合外力一定指向曲线的凹侧。5、分类匀变速曲线运动：物体在恒力作用下所做的曲线运动，如平抛运动。非匀变速曲线运动：物体在变力(大小变、方向变或两者均变)作用下所做的曲线运动，如圆周运动。考点二、运动的合成与分解1、运动的合成：从

9、已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成，包括位移、速度和加速度的合成，由于它们都是矢量，所以遵循平行四边形定则。运动合成重点是判断合运动和分运动，一般地，物体的实际运动就是合运动。2、运动的分解：求一个已知运动的分运动，叫运动的分解，解题时应按实际“效果”分解，或正交分解。3、合运动与分运动的关系：运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动时间相等独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，物体在任何一个方向的运动，都按其本身的规律进行，不会因为其它方向的运动是否存在而受到影响。运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平

10、行四边形定则。）4、运动的性质和轨迹物体运动的性质由加速度决定（加速度为零时物体静止或做匀速运动；加速度恒定时物体做匀变速运动；加速度变化时物体做变加速运动）。物体运动的轨迹（直线还是曲线）则由物体的速度和加速度的方向关系决定（速度与加速度方向在同一条直线上时物体做直线运动；速度和加速度方向成角度时物体做曲线运动）。常见的类型有：（1）a=0：匀速直线运动或静止。（2）a恒定：性质为匀变速运动，分为： v、a同向，匀加速直线运动；v、a反向，匀减速直线运动；v、a成角度，匀变速曲线运动（轨迹在v、a之间，和速度v的方向相切，方向逐渐向a的方向接近，但不可能达到。）（3）a变化：性质为变加速运动

11、。如简谐运动，加速度大小、方向都随时间变化。具体如：两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动。一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动，当两者共线时为匀变速直线运动，不共线时为匀变速曲线运动。两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速运动，若合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上时，则是直线运动，若合初速度方向与合加速度方向不在一条直线上时，则是曲线运动。第二模块：平抛运动夯实基础知识平抛运动1、定义：平抛运动是指物体只在重力作用下，从水平初速度开始的运动。2、条件：a、只受重力；b、初速度与重力垂直3、运动性质：尽管其速度大小和方向时刻在改变，但其运动的加速度却恒为重力加

12、速度g，因而平抛运动是一个匀变速曲线运动。4、研究平抛运动的方法：通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性，又具有等时性5、平抛运动的规律水平速度：vx=v0，竖直速度：vy=gt合速度（实际速度）的大小：物体的合速度v与x轴之间的夹角为：水平位移：，竖直位移合位移（实际位移）的大小：物体的总位移s与x轴之间的夹角为：可见，平抛运动的速度方向与位移方向不相同。而且而轨迹方程：由和消去t得到：。可见平抛运动的轨迹为抛物线。6、平抛运动的几个结论落地时间由

13、竖直方向分运动决定：由得：水平飞行射程由高度和水平初速度共同决定：平抛物体任意时刻瞬时速度v与平抛初速度v0夹角a的正切值为位移s与水平位移x夹角正切值的两倍。平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。证明：平抛运动中，任意一段时间内速度的变化量vgt，方向恒为竖直向下（与g同向）。任意相同时间内的v都相同（包括大小、方向），如右图。以不同的初速度，从倾角为的斜面上沿水平方向抛出的物体，再次落到斜面上时速度与斜面的夹角a相同，与初速度无关。（飞行的时间与速度有关，速度越大时间越长。）Av0vxvyyxv如右图：所以 所以，为定值故a也是定值

14、与速度无关。速度v的方向始终与重力方向成一夹角，故其始终为曲线运动，随着时间的增加，变大，速度v与重力 的方向越来越靠近，但永远不能到达。从动力学的角度看：由于做平抛运动的物体只受到重力，因此物体在整个运动过程中机械能守恒。7、类平抛运动（1）有时物体的运动与平抛运动很相似，也是在某方向物体做匀速直线运动，另一垂直方向做初速度为零的匀加速直线运动。对这种运动，像平抛又不是平抛，通常称作类平抛运动。(2)、类平抛运动的受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。(3)、类平抛运动的处理方法：在初速度方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度。处理时和平抛运动类似

15、，但要分析清楚其加速度的大小和方向如何，分别运用两个分运动的直线规律来处理。第三模块：圆周运动夯实基础知识匀速圆周运动1、定义：物体运动轨迹为圆称物体做圆周运动。2、分类：匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在任意相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。物体在大小恒定而方向总跟速度的方向垂直的外力作用下所做的曲线运动。注意：这里的合力可以是万有引力卫星的运动、库仑力电子绕核旋转、洛仑兹力带电粒子在匀强磁场中的偏转、弹力绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一端旋转、重力与弹力的合力锥摆、静摩擦力水平转盘上的物体等 变速圆周运动：如果物体受到约束，只能沿圆形轨道运动，而速率不断变化如

16、小球被绳或杆约束着在竖直平面内运动，是变速率圆周运动合力的方向并不总跟速度方向垂直3、描述匀速圆周运动的物理量（1）轨道半径（r）：对于一般曲线运动，可以理解为曲率半径。（2）线速度（v）：定义：质点沿圆周运动，质点通过的弧长S和所用时间t的比值，叫做匀速圆周运动的线速度。定义式：线速度是矢量：质点做匀速圆周运动某点线速度的方向就在圆周该点切线方向上，实际上，线速度是速度在曲线运动中的另一称谓，对于匀速圆周运动，线速度的大小等于平均速率。（3）角速度（，又称为圆频率）：定义：质点沿圆周运动，质点和圆心的连线转过的角度跟所用时间的比值叫做匀速圆周运动的角速度。大小： (是t时间内半径转过的圆心角

17、)单位：弧度每秒（rad/s）物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢（4）周期（T）：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。（5）频率（f，或转速n）：物体在单位时间内完成的圆周运动的次数。各物理量之间的关系：注意：计算时，均采用国际单位制，角度的单位采用弧度制。（6）圆周运动的向心加速度定义：做匀速圆周运动的物体所具有的指向圆心的加速度叫向心加速度。大小：（还有其它的表示形式，如：）方向：其方向时刻改变且时刻指向圆心。对于一般的非匀速圆周运动，公式仍然适用，为物体的加速度的法向加速度分量，r为曲率半径；物体的另一加速度分量为切向加速度，表征速度大小改变的快慢（对匀速圆周运动而言，=0）

18、（7）圆周运动的向心力匀速圆周运动的物体受到的合外力常常称为向心力，向心力的来源可以是任何性质的力，常见的提供向心力的典型力有万有引力、洛仑兹力等。对于一般的非匀速圆周运动，物体受到的合力的法向分力提供向心加速度（下式仍然适用），切向分力提供切向加速度。向心力的大小为：（还有其它的表示形式，如：）；向心力的方向时刻改变且时刻指向圆心。实际上，向心力公式是牛顿第二定律在匀速圆周运动中的具体表现形式。五、离心运动1、定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力情况下，就做远离圆心的运动，这种运动叫离心运动。2、本质：离心现象是物体惯性的表现。离心运动并非沿半径方向飞出

19、的运动，而是运动半径越来越大的运动或沿切线方向飞出的运动。离心运动并不是受到什么离心力，根本就没有这个离心力。3、条件：当物体受到的合外力时，物体做匀速圆周运动；当物体受到的合外力时，物体做离心运动当物体受到的合外力时，物体做近心运动实际上，这正是力对物体运动状态改变的作用的体现，外力改变，物体的运动情况也必然改变以适应外力的改变。4两类典型的曲线运动的分析方法比较（1）对于平抛运动这类“匀变速曲线运动”，我们的分析方法一般是“在固定的坐标系内正交分解其位移和速度”，运动规律可表示为 ；（2）对于匀速圆周运动这类“变变速曲线运动”，我们的分析方法一般是“在运动的坐标系内正交分解其力和加速度”，

20、运动规律可表示为第四模块：万有引力与航天夯实基础知识1 开普勒定律（1） 开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上（2） 开普勒第二定律：行星与太阳的连线在相同的时间内 扫过的面积相等（3） 开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方与周期的两次方的比值都相等，即 k（4） 研究天体运行时，太阳系中的行星及卫星运动的椭圆轨道的两个焦点相距很近，因此行星的椭圆轨道都很接近圆在要求不太高时，通常可以认为行星以太阳为圆心做匀速圆周运动这样做使处理问题的方法大为简化，而得到的结果与行星的实际运行情况相差并不很大（5） 在上述情况下，k的表达式中a就是圆的半

21、径R，利用k的结论解决某些问题很方便（6） 注意：在太阳系中，比例系数k是一个与行星无关的常量，但不是恒量，在不同的星系中，k值不相同，k值与中心天体有关该定律不仅适用于行星，也适用于其他天体如对绕地球飞行的卫星来说，它们的k值相同与卫星无关若对不同环绕系统使用该定律，应使用kM（M为中心环绕星体的质量）,方便不易出错。2 万有引力定律（1） 宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的质量成积成正比，跟它们的距离平方成反比，引力方向沿两个物体的连线方向（2） 叫做引力常量，它在数值上等于两个质量都是1kg的物体相距1m时的相互作用力，1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装

22、置测出3 万有引力与重力（1） 重力是万有引力的分力，另一个分力提供向心力，两极时重力和万有引力相等；通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等（2） 重力加速度可由求出。（3） 赤道重力加速度比两极的重力加速度稍大；卫星轨道越高，重力加速度越小4 万有引力定律的应用（1） 可以用来求中心天体质量和密度。（2） 可以依据来求，通常依据容易观测的周期求中心天体质量，由可得，求密度可结合球体体积公式得，近地卫星的环绕半径等于中心天体半径，即r=R，则.（3） 还可以依据求，即。5 卫星问题（1） 地球同步卫星是指位于赤道上方，相对于地面静止的、运行周期与地球的自转周期相等的卫星，这种卫星

23、主要用于全球通信和转播电视信号又叫做同步通信卫星，其特点可概括为“六个一定”：位置一定（必须位于地球赤道的上空或者高度一定，周期一定，速率一定，向心加速度一定（2） 近地卫星其轨道半径r近似等于地球半径R，其运动速度，具有所有卫星的最大绕行速度；运行周期，具有所有卫星的最小周期；向心加速度，具有所有卫星的最大加速度（3） 置于赤道尚未发射的卫星，周期与地球自转周期相同，做圆周运动的半径为地球半径，合外力是万有引力和支持力的合力。（4） 三种卫星的联系向心加速度不同，大小关系为：；轨道半径不同，半径大小关系为：；向心力不同，同步卫星和近地卫星绕地球运行的向心力完全由地球对它们的万有引力来提供，赤

24、道物体的向心力由万有引力的一个分力来提供，万有引力的另一个分力提供赤道物体的重力周期不同，大小关系为：；线速度不同，大小关系为：；角速度不同，大小关系为：；6 宇宙速度问题（1） 第一宇宙速度（又叫最小发射速度、最大环绕速度、近地环绕速度）：（2） 物体围绕地球做匀速圆周运动所需要的最小发射速度，又称环绕速度，其值为：（3） 第二宇宙速度（脱离速度）：如果卫星的速大于而小于 ，卫星将做椭圆运动当卫星的速度等于或大于的时候，物体就可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星，或飞到其它行星上去，把叫做第二宇宙速度，第二宇宙速度是挣脱地球引力束缚的最小发射速度（4） 第三宇宙速度：物体挣脱太阳

25、系而飞向太阳系以外的宇宙空间所需要的最小发射速度，又称逃逸速度，其值为：7 变轨问题卫星发射或回收时卫星的轨道在圆周轨道或椭圆轨道之间发生变化，相应的其速度、加速度、周期、能量也会发生变化。（1） 不同圆轨道轨道越高，速度越小，周期越大，机械能能越大，需要的发射能量越大（2） 同一椭圆轨道，近地点速度大，远地点速度小，机械能守恒（不计阻力）（3） 从低轨到高轨要加速，高轨到低轨减速，两不同轨道切点位置加速度相同。8 双星问题（1） 宇宙中靠的比较近的两个天体构成了双星，相互绕着两者连线上某固定点旋转。（2） 双星问题存在的关系：，（3） 中，为两天体的中心距离，而等一系列公式中为圆周运动半径，

26、两者不一定相同.9 追击相遇问题（1） 两行星相距离最近和相距最远的条件通常是角度关系或时间关系（2） 圆周运动具有周期性也是与直线运动的追击相遇的区别（3） 同一轨道的前后两颗卫星无法直接加速或减速达到相遇的目的题型解析类型题一： 曲线运动的条件 例题】（1991年上海高考题）如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时，突然使它所受力反向，大小不变，即由变为。在此力的作用下，物体以后的运动情况，下列说法正确的是（A、B、D）ABabA物体不可能沿曲线a运动B物体不可能沿直线b运动C物体不可能沿曲线c运动D物体不可能沿原曲线由返回A类型题二： 如何判断曲线运动的性质 曲线运动一定是变

27、速运动，但不一定是匀变速运动。可以根据做曲线运动物体的受力情况（或加速度情况）进行判断，若受到恒力（其加速度不变），则为匀变速运动，若受到的不是恒力（其加速度变化），则为非匀变速运动。例如：平抛运动是匀变速运动，其加速度恒为g；而匀速圆周运动是非匀变速运动，其加速度虽然大小不变，但方向是时刻变化的。【例题】一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内（ ）A速度一定不断地改变，加速度也一定不断地改变B速度一定不断地改变，加速度可以不变C速度可以不变，加速度一定不断地改变D速度可以不变，加速度也可以不变类型题三： 运用运动的独立性解题 【例题】如图所示，一个劈形物体M各面均光滑，上面成水平，水平

28、面上放一光滑小球m，现使劈形物体从静止开始释放，则小球在碰到斜面前的运动轨迹是（斜面足够长）（ ）A沿斜面向下的直线 B竖直向下的直线C无规则曲线 D抛物线类型题四： 判断两个直线运动的合运动的性质 方法一：根据加速度与初速度的方向关系判断先求出合运动的初速度和加速度（可以用作图法求），再判断。可以发现，当时，合运动为直线运动，否则为曲线运动。方法二：通过两个分位移的比例关系来判断作为一般性讨论，我们可以设两个分运动的规律分别为：，令：根据数学知识可以判断出，若k为一常数（即当或或时），则表明物体沿直线运动；若k为时间t的函数（当时），则表明物体将做曲线运动。如在平抛运动中，vy0=0，ax=

29、0，ay=g，所以，即k是时间t的函数，且随时间的延续而变大，所以合运动的轨迹应是越来越陡的曲线。【例题】关于运动的合成，下列说法中正确的是（C）A合运动的速度一定比每一个分运动的速度大B两个匀速直线运动的合运动不一定是匀速直线运动C两个匀变速直线运动的合运动不一定是匀变速直线运动D合运动的两个分运动的时间不一定相等类型题五： 小船过河问题 轮船渡河问题：（1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。V水v船v2v11渡河时间最少：在

30、河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间，显然，当时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为，合运动沿v的方向进行。2位移最小若v水v船v结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为若，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示，v水vABEv船设船头v船与河岸成角。合速度v与河岸成角。可以看出：角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下角最大呢？以v水的矢尖为圆心，v船为半径画圆，当v与圆相切时，角最大，根据船头与河岸的夹角应为，船沿河漂下的最短距离为：此时渡河的最短位移：【例题】河宽d60m，水流速度v16ms，小船在静水中的速度

31、v2=3ms，问：(1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少?(2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少?类型题六： 绳联物体的速度分解问题 指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。合速度方向：物体实际运动方向分速度方向：沿绳（杆）伸（缩）方向：使绳（杆）伸（缩）垂直于绳（杆）方向：使绳（杆）转动速度投影定理：不可伸长的杆或绳，若各点速度不同，各点速度沿绳方向的投影相

32、同。这类问题也叫做：斜拉船的问题有转动分速度的问题【例题】如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度拉水平面上的物体A，当绳与水平方向成角时，求物体A的速度。类型题七： 面接触物体的速度问题 求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出。【例题】一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速度V0匀速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示。当杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为，求竖直杆运动的速度。ROPv0v1类型题八： 平抛运动

33、 1常规题的解法【例题】如图所示，某滑板爱好者在离地h= 1.8 m高的平台上滑行，水平离开A点后落在水平地面的B点，其水平位移= 3 m。着地时由于存在能量损失，着地后速度变为v=4 m/s，并以此为初速沿水平地面滑行=8 m后停止，已知人与滑板的总质量m=60 kg。求：（1）人与滑板离开平台时的水平初速度。（2）人与滑板在水平地面滑行时受到的平均阻力大小。（空气阻力忽略不计，g取10)推论1：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为，位移与水平方向的夹角为，则tan=2tan推论2：做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通

34、过此时水平位移的中点。 2斜面问题（1）分解速度【例题】如图所示，以水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直撞在倾角为的斜面上，求物体完成这段飞行的时间和位移。（2）分解位移【例题】在倾角为的斜面顶端A处以速度水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B处，设空气阻力不计，求(1)小球从A运动到B处所需的时间和位移。(2) 从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？3相对运动中的平抛【例题】正沿平直轨道以速度匀速行驶的车厢内，前面高的支架上放着一个小球，如图所示，若车厢突然改以加速度 ，做匀加速运动，小球落下，则小球在车厢底板上的落点到架子的水平距离为多少？voh4雨滴问题：【例题】雨伞

35、边缘的半径为r，距水平地面的高度为h，现将雨伞以角速度匀速旋转，使雨滴自伞边缘甩出，落在地面上成一个大圆圈。求：(1)大圆圈的半径是多少？ (2)雨滴落到地面时速率是多少？Rh5、碰钉问题：【例题】一小球质量为m，用长为L的悬绳（不可伸长，质量不计）固定于O点，在O点正下方L/2处钉有一颗钉子，如图所示，将悬线沿水平方向拉直无初速释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间O LA小球线速度没有变化B小球的角速度突然增大到原来的2倍C小球的向心加速度突然增大到原来的2倍D悬线对小球的拉力突然增大到原来的2倍6、类平抛运动【例题】如图所示，光滑斜面长为 ，宽为 ，倾角为 ，一物体从斜面左上方P点水平射入，而从

36、斜面右下方顶点Q离开斜面，求入射初速度。7、转化为平抛运动【例题】如图所示，有一个很深的竖直井，井的横截面为一个圆，半径为，且井壁光滑，有一个小球从井口的一侧以水平速度抛出与井壁发生碰撞，撞后以原速率被反弹，求小球与井壁发生第次碰撞处的深度。类型题九： 匀速圆周运动的基本解法练习 【例题】（07山东-24）如图所示，一水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动，圆盘边缘有一质量m=1.0kg的小滑块。当圆盘转动的角速度达到某一数值时，滑块从圆盘边缘滑落，经光滑的过渡圆管进入轨道ABC。以知AB段斜面倾角为53°，BC段斜面倾角为37°，滑块与圆盘及斜面间的动摩擦因数均=0.5 ，A点离B

37、点所在水平面的高度h=1.2m。滑块在运动过程中始终未脱离轨道，不计在过渡圆管处和B点的机械能损失，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，取g=10m/s2，sin37°=0.6; cos37°=0.8（1）若圆盘半径R=0.2m，当圆盘的角速度多大时，滑块从圆盘上滑落？（2）若取圆盘所在平面为零势能面，求滑块到达B点时的机械能。类型题十： 皮带传动和摩擦传动问题 凡是直接用皮带传动（包括链条传动、摩擦传动）的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等；凡是同一个轮轴上（各个轮都绕同一根轴同步转动）的各点角速度相等（轴上的点除外）。【例题】如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r

38、、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。abcd类型题十一： 水平面上圆周运动 【例题】如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是（ D ）A、物体所受弹力增大，摩擦力也增大了B、物体所受弹力增大，摩擦力减小了C、物体所受弹力和摩擦力都减小了D、物体所受弹力增大，摩擦力不变类型题十二： 竖直面上圆周运动 1、竖直平面内：（1）、如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：FG绳 FG临界条件：小球达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提

39、供其做圆周运动的向心力，即 （是小球通过最高点的最小速度，即临界速度）。能过最高点的条件：。 此时小球对轨道有压力或绳对小球有拉力不能过最高点的条件：（实际上小球还没有到最高点就已脱离了轨道）。（2）图所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况： GF临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度。图（a）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况是：当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即N=mg；当0<v<时，杆对小球有竖直向上的支持力，大小随速度的增大而减小；其取值范围是mg>N>0。当时，N=0；当v

40、>时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大。图（b）所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况是：当v=0时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即N=mg。当0<v<时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，大小随速度的增大而减小，其取值范围是mg>N>0。当v=时，N=0。当v>时，管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力，其大小随速度的增大而增大。图(c)的球沿球面运动，轨道对小球只能支撑，而不能产生拉力。在最高点的v临界=。当v=时，小球将脱离轨道做平抛运动注意：如果小球带电，且空间存在电场或磁场时，临界条件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的合力等于向心力，此时临界速度 。要具体问题具体分析，但分析方法是相同的类型题十三： 圆周运动中的多解问题 由于圆周运动的周期性，往往会导致一个问题的多解【例题】如图所示，某圆筒绕中心轴线沿顺时针方向做匀速圆周运动，筒壁上有两个位于同一圆平面内的小孔