周易八卦的数学结构周易是我国传统文化的瑰宝她虽然不是

1、第一章 周易八卦的数学结构 周易是我国传统文化的瑰宝.她虽然不是一本数学书，但她的太极、八卦、占巫、河图和洛书却涉及到几何、坐标、奇偶、排列、组合、同余式等数学内容. 著名德国数学家莱布尼兹(g.w.leibniz 1646-1716)就是受到周易的启发而建立了二进制计数. 另外，我国数学家吴文俊先生创立的机械化算法，也直接或间接地受到了周易的思想方法的影响. 本章仅讨论上述内容以外的太极、两仪、四象和八卦的数学结构. 指出阴爻和阳爻是数学中的虚数单位和实数单位的符号.八卦是八元数代数的基底的符号.太极图是用来说明八卦(八元数)性质的示意图. 周易是利用八元数代数(八卦)来解释宇宙间万事万物的

2、演化规律.在本书后面的内容中，读者将会看到，物理现象的规律受八元数代数支配,周易八卦学说的正确性在物理学方面得到了证实，八元数是自然现象演化的本质的数学结构.本章中用到的一些数学概念将在第二章和第三章中介绍.§1.1 周 易简 介 周易是我国传统文化的精髓. 她利用八卦图，以阴阳变化来说明宇宙万物的一切现象，有“众经之首”、“大道之源”和“天人之学”之称.就象数学、物理和化学是学习其它各种自然科学的基础一样，在中国古代,周易也是学习各种知识和技术的一门必修的基础课. 例如，中医和中药的理论基础就是周易，我国古代名医孙思邈曾说：“不知易，不足以言太医”. 周易是我国流传至今的最早的典籍

3、之一，在左传中就已有周易的记载. 如左传.襄公九年：“姜曰：亡，是于周易曰：随，元亨利贞.”又如左传.昭公七年：“孔成子以周易巫之.”这说明周易最晚在春秋时代就已经出现了. 周易的起源众说不一，一说，夏、商、周曾三代易名，分别叫连山、归藏和周易. 关于“易”的含义也有多种解释，根据东汉郑玄的解释，“易”有三“义”，即“简易”、“变易”和“不易”. 西汉时期，儒家学派将周易与诗、书、礼、乐、春秋奉为经典，称为“六经”,于是周易又被称为易经. 周易的作者，根据传说和后人的注释，尚不能确切地认定.周易中说：“古者包牺氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地，观鸟兽之文与地之宜，近取诸身，远取诸物，于

4、是始作八卦，以通神明之德，以类万物之情.” 包牺氏就是伏羲，所以一般认为伏羲是八卦的作者. 司马迁在史记中说：“崇侯虎潜西伯于殷纣，纣乃囚西伯于酉里文王因囚酉里，盖易之八卦为六十四卦.”西伯就是周文王，所以周文王是六十四卦的作者. 经过历代演变，现今我们所见到的周易分为经和传两部分.易经主要是八卦和由八卦复合而成的六十四卦与三百八十四爻，有卦辞、爻辞为之说明，作占卜用.易传是解释卦辞、爻辞的，共有十篇称为十翼. 翼有辅助的意思，意即辅助解释易经. 十翼包括传上下、象传上下、系词传上下、文言传、说卦传、序卦传和杂卦传.一提起周易，人们往往就与占卜、算卦、封建迷信活动联系起来.“算卦”成了周易的代

5、名词. 其实这是对周易的曲解. 比如系辞讲：“易有圣人之道四焉，以言者尚其辞，以动者尚其变，以制器言者尚其象，以卜巫者尚其占.”可见周易的作者也不认为她是纯粹卜巫、算卦的著作. 又比如，荀子曾说“善为易者不占”. 意思是真正擅长周易的人是不通过占卜、算卦来决断的,不占而知. 荀子是既肯定周易,但又不主张占卜、算卦的. 周易包含的内容十分广泛，她既含有哲学、文学、政治、历史、社会学、伦理学、美学、逻辑、法律、军事等社会科学的内容，也含有天文、数学、音律、医学、生物等自然科学的内容.周易的著作十分丰富，几乎各朝各代都有，流传至今的各种传本就约有三千余种. 另外，南韩的国旗是太极八卦图，日本也有许多

6、周易爱好者,周易的著作也非常多. 梁启超先生留给清华大学的校训，“自强不息, 厚德载物.”就来源于周易.周易在大象中关于乾卦有“天行健，君子以自强不息.”，关于坤卦有“地势坤，君子以厚德载物.”的卦辞.孔子晚年才开始读周易，爱不释手，以至于把编竹简的绳子磨断了三次，留下“韦编三绝”的美谈. 从中国数学史上来看，受周易影响不是个别的，也不是某朝某代所特有的现象. 例如，三世纪大数学家刘徽，在他所写的九章算术注释的序言中就有这样的话：“古者包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情；作九九之术，以合六爻之变.于是建历纪协律吕，用稽到原，然后两仪四象精徽之器气，可得而效焉.”又比如，十三世纪大数学家

7、秦九韶，在他所写的数书九章中把“蓍卦发徽”列于数书九章八十一问之首，并在书序言中称：“圣有大衍微寓于易.其余取策，群数皆捐.衍而究之，探隐之原.”可见他将周易所载蓍卜巫之法视为天算中求一术之远源，置于异常重要的地位.§1.2 周易八卦的代数结构周易中说：“古者包牺氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地，观鸟兽之文与地之宜，近取诸身，远取诸物，于是始作八卦，以通神明之德，以类万物之情.”包牺氏就是古代帝王伏羲氏.这段话说明八卦是古人在对各种自然现象观察研究的基础上总结出来的，利用八卦可以描述解释所有的自然现象.至于六十四卦以及利用六十四卦进行占卜乃是后人所为. 关于这一点可以在史记中

8、找到根据.1. 阴爻、阳爻与虚数和实数 周易中采用符号 - - 和 分别表示阴和阳，并称 - - 为阴爻 为阳爻. 认为宇宙间一切变化都是阴阳相互作用的结果.事实上，这阴和阳的本质是数学中的实数和虚数. 阴爻 - - 是虚数单位i，阳爻 是实数单位1.2. 太极、两仪、四象、八卦之间的代数关系 周易的系辞上传中说：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦，八卦定吉凶，吉凶生大业.”认为“太极”是派生万物的本原，由太极分出阴阳“两仪”，这阴阳两仪相互作用，产生了由太阴、太阳、少阴、少阳组成的“四象”. 再由四象继续与阴阳相互作用，于是便产生了由“乾、兑、离、震、撰、坎、艮、坤”组成的“八卦”

9、，而八卦便可定吉凶祸福，主宰大业的成败.上述太极、两仪、四象和八卦之间的关系,可以用阴爻 - - 和阳爻 表示.太极、两仪、四象和八卦之间的上述关系是与实数域、复数域、四元数体和八元数代数之间的关系是相同的. 上述关系也可用代数的基底表示.阳阳 阴 - -太阳 少阴 少阳 太阴 - - - - - - - -乾 兑 离 震 撰 坎 艮 坤 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -图1-1 太极、两仪、四象和八卦的符号11 i - -1 i j k - - - - - - - - 1 i j k e ie je ke - - - - - -

10、- - - - - - - - - - - - - - - - - -图1-2 实交错代数的基底显然，周易中的“生”相当代数学中的“扩张”和“超越扩张”.根据数学中推广的frobenius定理，实数域、复数域、四元数体和八元数代数是实数域上仅有的有限为维的交错代数，它们的维数分别为1，2，4，8. 这是一个非常美的数学结构.周易八卦学说就是建立在这样一个美的数学结构之上的. 在周易中一般没有十六卦和三十二卦的提法. 另外，在周易中，用阴爻和阳爻表示的太极、两仪、四象和八卦本质上是实数、复数、四元数和八元数的基底的一种表示.在周易中以“天、泽、火、雷、风、水、山、地”表示事物的各个方面，也有数学

11、中基底的味道. 图1-3 太极生两仪 两仪生四象 四象生八卦1 i j k e ie je ke 天 泽 火 雷 风 水 山 地 图1-4 八元数代数的基底这种基底的符号还具有形象化的特点，与象形文字类似，是一种象形数学符号. 例如，阴爻 - - 是用虚线表示的虚数单位，阳爻 是用实线表示的实数单位. 又比如 1 i j k=ij - - - - - - - -显然1表示都是阳爻，i表示第一行是阴爻，j表示第二行是阴爻， k=ij 表示第一行和第二行都是阴爻. 再比如 e ie je (ij)e - - - - - - - - - - - - - - -e表示第三行是阴爻,ie表示第一行和第三

12、行是阴爻，je表示第二行和第三行是阴爻，ke=(ij)e表示第一行、第二行和第三行都是阴爻. 这些都多麽形象呀，因此，八卦图的数学含义迟早是会被人们发现的.3. 太极图的代数表示 太极图是周易中一个重要概念. 太极图的基本结构好象两条鱼，首尾相随，形成一个圆，俗称阴阳鱼，见图1-5. 它以简单、对称、旋转的形式表达着阴阳对称，阴中有阳，阳中有阴，阴阳之中，又有阴阳，一分为二，合二而一的哲学思想.事实上，太极图表达了八卦(八元数)的性质，对任一八元数 (3.1)都可写成 (3.2)的形式. 式中都是四元数. 由于 是八元数的基底，它们具有相同的含义. 因此，和在八元数中的地位是完全相同的.又由于

13、，任一四元数 (3.3)也都可以写成(3.2)式的形式，即 (3.4)式中 ， 均为复数. 所以四元数和八元数形式上都可以写成“复数”的形式，即 (3.5)式中称为实部(阳)，称为虚部(阴). 因此，四元数和八元数的“实部”和“虚部”之中又有“实部”和“虚部”. 所以，若太极图代表八元数，则阴鱼和阳鱼分别表示和. 中都具有阴中有阳，阳中有阴，阴阳之中，又有阴阳的数学结构. 另外，太极图的阴阳鱼是握在一起的左手和右手，两只鱼眼是手的大拇指的指向，鱼头是手与手腕子相连的部分，鱼尾是手指头的那部分. 黑色和白色相当于物理学中的符号和. 因此，太极图还表示了左旋性和右旋性,即物理学中的左手定则和右手定

14、则. 这也与八元数的结构有关， 图1-5 太极图例如 (3.6) (3.7)正好是一个右手关系和一个左手关系. 因此，太极图是表示八元数(八卦)性质的示意图. 这一结论是我在研究了八元数的性质以后得出的。4. 河图和洛书与(八元数)八卦的关系 周易中关于八卦的起源共有三种说法. 一是据周易中说的“古者包牺氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地，观鸟兽之文与地之宜，近取诸身，远取诸物，于是始作八卦，以通神明之德，以类万物之情”. 二是周易中的“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦，八卦定吉凶，吉凶生大业”. 三是“河出图，洛出书，圣人则之”. 即八卦图是根据河图和洛书画出来的.河图和洛书

15、的图形，见图1-6和图1-7. 表面上来看，好象看不出与八卦有什麽联系，其实不然. 河图的中央是一个五，外面第二圈是两个五，再外面第三圈是一、二、三、四，加起来又是两个五，最外面第四圈是六、七、八、九，加起来是六个五. 河图中的五居重要的地位，这可能与五进制有关.从另外一个角度来看，河图的中间是一个五，外面第二圈是五的二倍，第二圈加第三圈是五的四倍，第二圈加第三圈再加第四圈是五的八倍. 正好是1，2，4，8，与太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦相对应. 从数学上来看，1，2，4，8正好是仅有的四个实交错代数的维数. 图1-6 河 图 图1-7 洛 书洛书又名九宫，是由1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字组合成的一个表.四个角为偶数其余的为奇数，中间为五，但要求横、竖以及对角的三个数之和均为十五.从数学上来看，洛书是一个三阶幻方. 但是，洛书中三个数之和为十五的数目正好为八个，其中包含五的有四个，不含五的有四个，分为两组. 在周易中，奇数表示阳，偶数表示阴. 所以洛书中也有四个阳的，四个阴的.一个八元数可以写成一个四元数加上一个四元数乘上一个虚数单位e(阴). 因此，洛书的结构也与八元数(八卦)有关.综上所述