几道中考几何应用题的剖析

1、数学作为一门基础学科， 最终必须为人们生产、生活服务，体现它的实用性。作为中考在考查学生的理论知识的同时， 也必然考查学生设计方案， 动手操作等实践能力。特别是近几年，各地中考加大了作为能较好考查学生的实践能力的几何应用题。几何应用题的难度与广度，使得作为一线的师生们势必将引起高度重视。浏览了部分地区中考中的几何应用题， 略有些粗浅认识， 现归类如下， 以飨读者。一、以圆与圆外切等有关知识为主线，意在考查学生方案决择问题例 1. 2010 年湖北恩施第 23 题：（ 1）计算：如图（ 1），直径为 a 的三等圆 O1、O2、 O3 两两外切，切点分别为 A、B、C，求 O1A 的长（用含 a

2、的代数式表示） .（2）探索：若干个直径为 a 的圆圈分别按如图（ 2）所示的方案一和如图（ 3）所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中n 层圆圈的高度ha 和h a （用含n、 a 的代数式表示）（3）应用：现有长方体集装箱，其内空长为5 米，宽为3.1米，高为3.1米 . 用这样的集装箱装运长为5 米，底面直径（横截面的外圆直径）为0.1 米的圆柱形钢管，你认为采用（2）中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管？（） 解析 （1） O1， O2， O3 两两相切O1O2=O2O3=O1 O3=a又 O2A=O3A O1AO2O3（2）（3）

3、方案二装运钢管最多。理由：方案一，如图（ 2）所示每层可放 3.1 ÷0.1=31 根，放置总根数 31× 31=961 根.方案二：如图（ 3）所示 第一层排放 31 根 第二层排放 30 根 依次循环设钢管的放置层数为 n，可得 3.1解得 n35.68 n 为正整数n=35钢管放置总数： 31× 18+17×30=1068根1068961方案二装运钢管最多，最多可装运1068 根 点评 选择最优方案是人们生产生活中所追求的境界，而它的本质是数学知识作核心支持的。 类题 1. 2008年甘肃白银，第24 题. 是一盒刚打开的“兰州”牌香烟，图是它的横

4、截面（矩形ABCD），已知每支香烟底面圆的直径是 8mm.（1）矩形ABCD的长AB=_mm;（2）利用图求矩形 ABCD的宽 AD. （，结果精确到 0.1mm） 类题 2. 2008 年江苏南通第 27 题。在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面 . 他们首先设计了如图所示的方案一， 发现这种方案不可行， 于是他们调整了扇形和圆的半径， 设计了如图所示的方案二 （两个方案的图中， 圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切 . 方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）

5、 .（1）请说明方案一不可行的理由；（2）判断方案二是否可行？若可行， 请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由 .二、以扇形、圆锥的转化关系为切入点，意在考查几何方面的最值问题。例 2. 2010 年黄冈市第 10 题。将半径为 4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图所示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆住的底面半径是_cm.解析第1步，扇形转化为圆锥，设圆锥底面半径为Rcm.R =2第 2 步，在圆锥中截取圆柱，设圆柱底面半径为x cm.高 EF=y cm CF=2- x 在 RtCOD中，ODEF 即当 x=1 时， S 有最大值 . 点评 本题是看似简单，实则是

6、很复杂的综合几何应用题，考查知识点广，难度大。 类题 2010 年孝感市第 10 题。如图，圆锥的底面半径为 5，母线长为 20，一只蜘蛛从底面圆周上一点 A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 A的最短路程是（ ）A.8 B.C. D. 预测题 如图，圆锥的底面半径为 2，母线长为 6。一只蚂蚁从底面圆周上一点 A 出发沿圆锥的侧面爬到 OB的中点 C. 则蚂蚁爬行的最短路程是_.三、以台风、管道等线路问题为载体，意在考查原始几何公理，以及三角形的相关知识。例 3 2009 湖北黄冈市第 18 题：如图，在海面上产生了一股强台风，台风中心（记为点 M）位于海滨城市（记作点 A）的南偏西 15&#

7、176;，距离为 km，且位于临海市（记作点 B）正西方向 km处. 台风中心正以 72km/h 的速度沿北偏东60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心 60km的圆形区域均会受到此次强台风的侵袭 .（1）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由.（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？ 解析 （1）设台风中心运行的路线为射线MN，则°过 A 作 AHMN于 H.则 AMH为等腰直角三角形 . ， AH=6160故滨海市不受到台风影响。过 B 作 BH1MN于 H1， 60故临海市会受到台风影响。（2）以 B

8、为圆心， 60 半径作圆交 MN于 T1，T2.则 BT1=BT2=60.在 RtBT1 H1 中，即 BT1T2 为等边三角形 T1T2=60台风中心经过线段 T1T2 上所用时间为 点评 “点到直线的距离，垂线段最短”、“两点之间，线段最短”等，这两个原始几何公理是解决这类问题的法宝，也是考查热点。 类题 1. 2010 年杭州市第 23 题。如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为 30 千米 / 时，受影响区域的半径为200 千米， B市位于点P 的北偏东°方向上，距离点P千米处.75320（1）说明本次台风会影响 B 市；（2）求这次台风影响 B

9、市的时间 . 类题 2. 2010年黄冈市第 23 题。如图，某天然气公司的主输气管道从 A市的东偏北 30°方向直线延伸，测绘员在A 处测得要安装天然气的M小区在 A市东偏北 60°方向上，测绘员沿主输气管道步行2000 米到达 C处，测得小区 M位于 C 的北偏西 60°方向上， 请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求 AN的长 .四、以生活中的实物为模型， 意在考查学生的想象能力， 解决实际问题的能力。例 4. 2010 年河北省第 23 题。某种在同一平面进行传动的机械装置如图，图是它的示意图 . 其工作原理是：滑块 Q在平直

10、滑道 l 上可以左右滑动，在 Q 滑动的过程中，连杆 PQ也随之运动，并有 PQ带动连杆 OP绕固定点 O摆动，在摆动过程中， 两连杆的接点 P 在以 OP为半径的 O上运动 . 数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识， 过点 O作 OHl 于点 H，并测得 OH=4dm，PQ=3dm， OP=2dm.（1）点 Q与点 O间的最小距离是 _dm；点 Q与点 O之间的最大距离是 _dm；点 Q在 l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是 _dm；（2）如图，小明同学说：“当点Q滑动到点 H 的位置时， PQ与 O是相切的 . ”你认为他的判断对吗？为什么？（3）小丽同学发现：“当点P

11、 运动到 OH上时，点 P 到 l 的距离最小 . ”事实上，还存在着点P到 l距离最大的位置，此时，点 P到 l 的距离是；_dm当 OP绕点 O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数 . 解析 （1）4，5，6222（2）不对，OPPQOQ=2，=3，=4且 42 +3222OQPQ OP OP与 PQ不垂直+PQ与 O 不相切 .（3） 3；O上存在点 P，P到 l的距离均为 ，此时 OP将不能再由中知，在3P OP向下转动，如图，OP在绕点 O左，右摆动过程中所扫过的最大扇形就是P°， POP°.易求OPP OP=30120°.=

12、120所求最大圆心角的度数为 点评 在本题（ 3）中，体会当连杆PQ运动到 PQl 时， OP再不能向下转动，是难点，也是本题的精华，意在考察学生的想象能力，解决实际问题的能力 . 类题 2010 年江西省第 23 题。如图（ 1）所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图（ 2），当伞收紧时，点 P 与点 A 重合 . 当伞慢慢撑开时，动点 P 由 A 向 B 移动，当点 P 到达点 B 时，伞张得最开 . 已知伞在撑开的过程中，总有 PM=PN=CM=CN=6.0 分米， CE=CF=18.0 分米， BC=20 分米 . 设 AP=x 分米 .（1）求 x 的取值范围；（2）若CPN °，求 x 的值；=60（3）设阳光直射下，伞下