北师大版九年级四边形相似难题

1、优秀学习资料欢迎下载四边形 + 相似难题1 、如图，AB CD 、AD CE， F、G 分别是AC和 FD 的中点，过G 的直线依次交AB、AD 、CD、CE于点M、 N、P、 Q，求证： MN+PQ=2PN2、如图， 在 ABC 中， P 为中线 AM 上任一点， CP 的延长线交AB 于 D，BP 的延长线交AC于 E，连结 DE。（ 1）求证： DE BC；（ 2）如图，在 ABC 中， DE BC，DC、BE 交于 P，连结 AP 并延长交 BC 于 M，试问：M 是否为 BC 的中点？优秀学习资料欢迎下载3、（1）如图 1，在等边ABC 中，点 M 是连结 AM ，以 AM 为边作等

2、边AMN ，连结【类比探究】BC 上的任意一点（不含端点 B、C），CN求证：ABC= ACN （ 2）如图 2，在等边ABC 中，点 M 是 BC 延长线上的任意一点（不含端点 C），其它条件不变，（1）中结论 ABC= ACN 还成立吗？请说明理由【拓展延伸】（3）如图 3，在等腰ABC中，BA=BC，点 M 是 BC 上的任意一点（不含端点 B、C），连结 AM ，以 AM 为边作等腰AMN ，使顶角AMN= ABC 连 结 CN试 探究ABC 与ACN 的数量关系，并说明理由4、如图，在直角三角形ABC 中（ C=90° ），放置边长分别3 ，4 ，x 的三个正方形，则x 的

3、值为（）5、优秀学习资料欢迎下载5、如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1， S2，则 S1+S2的值为6、已知：如图， DE 是 ABC 的中位线，点 P 是 DE 的中点， CP 的延长线交 AB 于点 Q ，那么 S DPQ ：SABC =7、如图，E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点， EF AE， EF 分别交 AC，CD 于点 M ，F，BGAC ，垂足为 C，BG 交 AE 于点 H（ 1 ）求证： ABEECF；（ 2 ）找出 与 ABH 相似的三角形， 并证 明；（ 3）若 E 是 BC 中点， BC=2AB ，AB=2 ，求 EM

4、的长优秀学习资料欢迎下载8、（1）如图（1 ），正方形AEGH 的顶点 E、H 在正方形ABCD 的边上，直接 写出 HD ：GC：EB 的结果（不必 写计算过程）；（ 2）将图（ 1）中的正方形 AEGH 绕点 A 旋转一定角度，如 图（2 ），求 HD ： GC： EB（ 3 ）把图（ 2 ）中的正方形都 换成矩形，如 图（ 3 ），且已知 DA ：AB=HA ：AE=m ：n，此时 HD ：GC：EB 的值与（ 2）小题的结果相比有 变化吗？如果有 变化，直接 写出变化后的 结果（不必 写计 算过程）9、优秀学习资料欢迎下载10、在正方形 ABCD 的外侧，作等边三角形ADE,BE,CE

5、三角形 GHE 的面积分别为S1,S2, 则 S1 ： S2=分别交于G,H 。设三角形CDH11、如图，在 Rt ABC 中，ABC=90 °，BA=BC 点 D 是 AB 的中点， 连接 CD ，过点 B 作 BG 丄 CD，分别交 CD 、CA 于点 E、 F，与过点 A 且垂直于AB 的直线相交于点G，连接 DF 给出以下四 个结论 ：SABC =5S BDF，其中正确的 结论序号是（）优秀学习资料欢迎下载12、，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形 ABCD 的顶点 A 重合，三如图 1角板的一边交CD 于点 F另一边交CB 的延长线于点 G（ 1

6、 ）求证： EF=EG ；（2）如图 2，移动三角板，使顶点 E 始终在正方形 ABCD的对角线 AC 上，其他条件不变， （1 ）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立请说明理由：（3）如图 3，将（ 2 ）中的 “正方形 ABCD” 改为 “矩形 ABCD” ，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若 AB=a 、BC=b ，求的值优秀学习资料欢迎下载答案：1、【答案】分析：根据已知的平行线，可以通过延长已知线段构造平行四边形根据平行四边形的性质得到比例线段，再根据等式的性质即可得出等量关系证明：延长BA 、EC，设交点为O ，则四边形OADC 为平行四边形，F 是 AC

7、的中点，DF 的延长线必过O 点，且 ABCD， AD CE，=又=， OQ=3DN CQ=OQ-OC=3DN-OC=3DN-AD， AN=AD-DN优秀学习资料欢迎下载 AN+CQ=2DN =2即 MN+PQ=2PN 点评：综合运用了平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理2、解析：（ 1 ）在 AM 的延长线上取一点 N，使 PM=MN ，连接 BN ， CN 又 BM=CM四边形 BNCP 是平行四边形【对角线互相平分的四边形是平行四边形】 DC/BN AD/AB=AP/ANBE/NC AE/AC=AP/AN AD/AB=AE/AC DE/BC（ 2）过 B 作 BQ CD 交 AM 的

8、延长线于Q DE BC， BE QC 四边形BPCQ 是平行四边形M 是 BC 的中点3、（1）证明：ABC、AMN是等边三角形， AB=AC， AM=AN， BAC= MAN=60°， BAM= CAN，在BAM和 CAN中， BAM CAN（ SAS） ， ABC= ACN（2）解：结论ABC= ACN仍成立；理由如下： ABC、 AMN是等边三角形， AB=AC， AM=AN， BAC= MAN=60°， BAM= CAN，在BAM和 CAN中， ABC= ACN（ 3） 解 ： ABC= ACN；理 由 如 下 ： BA=BC， MA=MN， 顶 角 ABC= AM

9、N， 底 角 BAC= MAN， ABC AMN，优秀学习资料欢迎下载，又 BAM= BAC- MAC， CAN= MAN- MAC， BAM= CAN， BAM CAN， ABC= ACN4、解：在Rt ABC 中（ C=90° ），放置边长分别3 ，4 ，x 的三个正方形， CEF OME PFN ， OE ： PN=OM ：PF ， EF=x ， MO=3 ， PN=4 ， OE=x-3 ， PF=x-4 ，（ x-3 ）：4=3 ：（ x-4 ），（ x-3 ）（x-4 ） =12 ，x=0 （不符合题意，舍去） ，x=7 5 、解析 :设正方形S1 的边长为x， ABC 和

10、 CDE 都为等腰直角三角形， AB=BC ， DE=DC ， ABC= D=90°，tanCAB=tan45° =，即 AC=BC，同理可得： BC=CE=CD ，AC=BC=2CD ，又 AD=AC+CD=6 ， CD= =2，EC2=22+22 ，即 EC=2；S1 的面积为EC2=2×2=8； MAO= MOA=45° ，优秀学习资料欢迎下载 AM=MO ，MO=MN ， AM=MN ，M 为 AN 的中点， S2 的边长为 3， S2 的面积为 3×3=9， S1+S2 =8+9=176、 解：如图，连接PADE 是中位线， P 是

11、DE 中点，2DE=BC； 4DP=2DE=BC， S ADE ： S ABC =1 ： 4 ， DE BC ， DPQ BCQ ， 4QD=QB ， D是AB中点， BD=AD=3DQ ， 2QD=QA ， SDPQ ： SAPQ =1 ：2 ， SAPD =S APE ， SDPQ ： SADE =1 ：6 ， SDPQ ： SABC =1 ：24 7 、（ 1 ）证明：四 边形 ABCD 是矩形， ABE= ECF=90 °AE EF，AEB+ FEC=90 ° AEB+ BEA=90 °，BAE= CEF，优秀学习资料欢迎下载ABEECF；（ 2 ）ABH

12、 ECM 证明： BGAC ，ABG+ BAG=90 °，ABH= ECM ，由（ 1 ）知， BAH= CEM ，ABH ECM ；（ 3）解：作 MR BC，垂足 为 R，AB=BE=EC=2 ，AB ： BC=MR ：RC=2 ，AEB=45 °，MER=45 °，CR=2MR ，MR=ER=RC=，EM=8、解：（1）连接 AG，正方形 AEGH的顶点 E、H在正方形 ABCD的边上， GAE= CAB=45 °， AE=AH， AB=AD， A， G， C 共 线 ， AB-AE=AD-AH ，优秀学习资料欢迎下载 HD=BE，（ 2） 连 接

13、 AG、 AC，ADC和 AHG都是等腰直角三角形， AD： AC=AH： AG=1 ： DAH= CAG， DAH CAG， DAC= HAG=45 °， HD： GC=AD： AC=1 ： DAB= HAE=90 °， DAH= BAE，在DAH和 BAE中， DAH BAE（ SAS） ， HD=EB， HD： GC： EB；（3）有变化，连 接 AG、 AC， DA： AB=HA： AE=m： n， ADC= AHG=90°， ADC AHG， AD： AC=AH： AG=m：， DAC= HAG， DAH= CAG， DAH CAG， HD： GC=AD

14、： AC=m：， DAB= HAE=90 °， DAH= BAE， DA： AB=HA： AE=m： n ， ADH ABE， DH： BE=AD： AB=m： n ， HD： GC： EB=m：优秀学习资料欢迎下载： n 9、10、11 、优秀学习资料欢迎下载12 、 解答：（ 1 ）证明： GEB+ BEF=90° ， DEF+ BEF=90° ， DEF= GEB ，在 FED 和 GEB 中， Rt FED Rt GEB ， EF=EG ；（2 ）解：成立证明：如图，过点E 作 EHBC 于 H，过点 E 作 EPCD 于 P，四边形 ABCD为正方形， CE 平分 BCD ，又 EH BC， EP CD ， EH=EP ，四边形 EHCP 是正方形， HEP=90°， GEH+ HEF=90°， PEF+ HEF=9