第4章随机变量的数字特征第4节综合讲练

1、概率论与数理统计 第4章 随机变量的数字特征 第4节 大数定理与中心极限定理 综合讲练l 要览题型一 大数定理与中心极限定理l 提示熟记切比雪夫不等式，林德伯格勒维中心极限定理、棣莫佛拉普拉斯中心极限定理的直观模式；了解依概率收敛的定义，切比雪夫大数定律，辛钦大数定律，伯努利大数定律.l 辨析一、切比雪夫（）不等式设随机变量的数学期望，方差均存在，则对任一正数，有 （4.1）或 （4.2）l 注意() 由切比雪夫不等式可以看出,若越小, 则事件的概率越大, 即, 随机变量集中在期望附近的可能性越大. 由此可见方差刻划了随机变量取值的离散程度；() 当方差已知时,切比雪夫不等式给出了与它的期望的

2、偏差不小于的概率的估计式.如取 则有 （4.3）故对任给的分布,只要期望和方差存在, 则随机变量取值偏离超过的概率小于0.111.二、依概率收敛的定义设是一个随机变量序列，为一个常数,如果对任意给定的正数，恒有则称随机变量序列依概率收敛到，记作 l 注意随机变量序列依概率收敛到l 直观模式三、大数定律1切比雪夫（Chebyshev）大数定律设是两两不相关的随机变量序列,它们数学期望和方差均存在, 且方差有共同的上界, 即 ，则对任意, 有即l 注意定理表明: 当很大时,随机变量序列的算术平均值依概率收敛于其数学期望. l 直观模式当充分大时，接近于它的数学期望的概率，任意地接近于1l 推论设是

3、一列独立同分布的随机变量，其数学期望和方差均存在，记，则对任意，有 （4.4）即 l 注意推论表明: 当很大时, 独立同分布的随机变量序列的算术平均值依概率收敛于其数学期望.l 直观模式当充分大时，接近于它的数学期望的概率，任意地接近于1 2伯努利（Bernoulli）大数定理设是重伯努利试验中事件发生的次数, 是事件在每次试验中发生的概率, 则对任意的, 有 （4.5）即l 直观模式当充分大时，事件发生的频率接近于事件发生的概率的概率，任意地接近于1l 归纳l 推导设,（ ）且相互独立（），于是则由切比雪夫（Chebyshev）大数定律推论，对任意，有l 注意() 伯努利大数定律是切比雪夫大

4、数定律推论的一种特例, 它表明: 当重复试验次数充分大时, 事件发生的频率依概率收敛于事件发生的概率.定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性. 在实际应用中, 当试验次数很大时,便可以用事件发生的频率来近似代替事件的概率.() 如果事件的概率很小，则由伯努利大数定律知事件发生的频率也是很小的，或者说事件很少发生. 即“概率很小的随机事件在个别试验中几乎不会发生”，这一原理称为小概率原理，它的实际应用很广泛. 但应注意到，小概率事件与不可能事件是有区别的. 在多次试验中，小概率事件也可能发生.3辛钦(Khinchine)大数定律设随机变量相互独立, 服从同一分布,且具有数学期望，则对任意, 有即

5、l 注意() 定律不要求随机变量的方差存在；() 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情况；() 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径. 例如, 要估计某地区的平均亩产量, 可收割某些有代表性的地块, 如块,计算其平均亩产量, 则当较大时,可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计. 此类做法在实际应用中具有重要意义.l 直观模式当充分大时，接近于它的数学期望的概率，任意地接近于1 l 归纳l 归纳四、中心极限定理1林德伯格勒维(Lindberg-Levi)定理设是独立同分布的随机变量序列, 且，则对任意实数，有 （4.6）l 林德伯格-勒维(Lindberg-Levi)中心极

6、限定理的等价形式 （ ）其中 为规范和的分布函数.l 直观模式当充分大时，规范和近似地服从标准正态分布,记作 且（1） （ ） （2） 其中，为任意常数l 常用结论 当充分大时， 规范和 和 算术平均值 l 注意本定理表明: 当充分大时, 个具有期望和方差的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布.虽然在一般情况下, 我们很难求出的分布的确切形式, 但当很大时, 可求出其近似分布. 由定理结论有 （4.7）故定理又可表述为: 均值为, 方差的的独立同分布的随机变量的算术平均值, 当充分大时近似地服从均值为,方差为的正态分布. 这一结果是数理统计中大样本统计推断的理论基础.2. 棣莫佛拉普拉斯（

7、De Movre-Laplace）定理设相互独立，并且服从参数为的两点分布（即），则对任意实数，有 （4.8）其中，.l 证明因为由（4.6）式得证.取，则，由（4.7）式，得l 棣莫佛拉普拉斯（De Movre-Laplace）定理的等价形式设随机变量服从参数的二项分布（即）, 则对任意, 有l 直观模式设（ ），且相互独立，则当充分大时，规范和近似地服从标准正态分布,记作 且（1） （ ）（2） 其中，为任意常数l 常用结论 当充分大时， 规范和 和 算术平均值 3用频率估计概率的误差设为重贝努里试验中事件发生的次数, 为每次试验中事件发生的概率,由棣莫佛拉普拉斯定理,有这个关系式可用解决

8、用频率估计概率的计算问题. 4. 李雅普诺夫（Liyapunuiofu）定理 了解设随机变量相互独立, 它们具有数学期望和方差: ，记 若存在正数, 使得当时, 则随机变量之和的标准化变量的分布函数对于任意, 满足l 注意本定理表明, 在定理的条件下, 当很大时,随机变量近似地服从正态分布.由此,当很大时,近似地服从正态分布.这就是说,无论各个随机变量服从什么分布,只要满足定理的条件,那么它们的和当很大时,就近似地服从正态分布.这就是为什么正态随机变量在概率论中占有重要地位的一个基本原因.【补例4.4.1】分别就离散型和连续型情形证明“切比雪夫不等式” ，即设随机变量的数学期望 ，方差均存在，

9、则对任一正数，有或【提示】 离散型随机变量在区间内取值的概率等于在区间内各取值点（）取值的概率之和，即 连续型随机变量在区间内取值的概率等于其概率密度函数在区间内的积分，即若为实数域上的任何区间，则【证明】当为离散型随机变量时，设其概率分布为 （ 或 ）则当为连续型随机变量时，设其概率密度函数为 （ ）则 综上所述，对任一正数，有 故l 注意切比雪夫不等式可用来估计随机变量的取值落在某个区间内的概率，但估计的精确度不高.见【例1】、【例2】【例1】（第2版课件补充）【辨析】利用切比雪夫不等式可用来估计随机变量的取值落在某个区间内的概率.设随机变量的数学期望，方差均存在，则对任一正数，有 （4.

10、1）或 （4.2）【例2】（教材P110例1）【辨析】利用切比雪夫不等式可用来估计随机变量的取值落在某个区间内的概率.设随机变量的数学期望，方差均存在，则对任一正数，有 （4.1）或 （4.2）l 注意【例3】（教材P113例2）【提示】林德伯格-勒维中心极限定理的直观模式设是独立同分布的随机变量序列, 且，则当充分大时，规范和近似地服从标准正态分布,记作 且（1） （ ） （2） 其中，为任意常数【辨析】利用林德伯格-勒维中心极限定理的直观模式一盒螺丝钉的重量超过10.2kg的概率为即【例4】（教材P113例3）【提示】林德伯格-勒维中心极限定理的直观模式设是独立同分布的随机变量序列, 且，

11、则当充分大时，规范和近似地服从标准正态分布,记作 且（1） （ ） （2） 其中，为任意常数【辨析】利用林德伯格-勒维中心极限定理的直观模式平均误差落在上的概率为即l 注意【例5】【提示】棣莫佛拉普拉斯定理的直观模式设相互独立，并且服从参数为的两点分布（即），即随机变量服从参数的二项分布（即）, 则当充分大时，规范和近似地服从标准正态分布,记作 且（1） （ ）（2） 其中，为任意常数【辨析】利用棣莫佛拉普拉斯定理的直观模式设 = “台车床中同时开工的车床数” 在重试验中，事件（某机床开工）恰好发生的次数 ，则 （ ， ）又设，至少供应（未知）单位电能就能以99.9%的概率保证该车间不致因供电

12、不足而影响生产，即 查附表3，得 解出即，至少供应141.47743单位电能就能以99.9%的概率保证该车间不致因供电不足而影响生产.【例6】（教材P115例5）【提示】棣莫佛拉普拉斯定理的直观模式设相互独立，并且服从参数为的两点分布（即），即随机变量服从参数的二项分布（即）, 则当充分大时，规范和近似地服从标准正态分布,记作 且（1） （ ）（2） 其中，为任意常数【辨析】利用棣莫佛拉普拉斯定理的直观模式设 = “被保人中发生重大人身事故的人数” 在重试验中，事件（某被保人发生重大人身事故）恰好发生的次数 ，则 （ ， ）故，保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在20万到40万元之间的概率

13、为即，保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在20万到40万元之间的概率为l 注意课件上解法太繁记 则相互独立，并且服从参数为的两点分布（即），即随机变量服从参数的二项分布（即）, 所以 （ ， ）其中， = “被保人中发生重大人身事故的人数” 在重试验中，事件（某被保人发生重大人身事故）恰好发生的次数故，保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在20万到40万元之间的概率为 【例7】（第2版课件补充）【提示】林德伯格-勒维中心极限定理的直观模式设是独立同分布的随机变量序列, 且，则当充分大时，规范和近似地服从标准正态分布,记作 且（1） （ ） （2） 其中，为任意常数【辨析】利用林德伯格-勒

14、维中心极限定理的直观模式以记第个学生的家长中来参加会议的家长数, 则的分布律为易求出，的数学期望、方差分别为所以，参加会议的家长数超过450的概率为即【例8】【提示】棣莫佛拉普拉斯定理的直观模式设相互独立，并且服从参数为的两点分布（即），即随机变量服从参数的二项分布（即）, 则当充分大时，规范和近似地服从标准正态分布,记作 且（1） （ ）（2） 其中，为任意常数【辨析】利用棣莫佛拉普拉斯定理的直观模式设 = “人独立行动,能够按时进入掩蔽体的人数” 在重试验中，事件（某人能够按时进入掩蔽体）恰好发生的次数 ，则 （ ， ）设至少有人能进入掩蔽体, 则要求以95%概率估计, 在一次行动中, 至少有人能进入掩蔽体，即查附表3，得 解出即，以95%概率估计, 在一次行动中, 至少有884人能进入掩蔽体.【§4.4课堂练习】【习题4