点到直线的距离公式

1、琅琊中学 刘兴人教版高中数学必修人教版高中数学必修2-2-2 2 经查阅相关资料：铁路线路安全保护区的范围，从铁路线路路堤坡脚、路堑坡顶或者铁路桥梁外侧起向外的距离分别为： (一)城市市区，不少于8米； (二)城市郊区居民居住区，不少于10米； (三)村镇居民居住区，不少于12米； (四)其他地区，不少于15米。 思考：怎么确定某点是否在安全区内？思考：怎么确定某点是否在安全区内？ 点到直线的距离点到直线的距离xyolp（x0,y0)q点到直线的距离的定义点到直线的距离的定义点到直线的距离公式的推导过程点到直线的距离公式的推导过程 过点过点 作直线作直线 的的垂线，垂足为垂线，垂足为 点，线点

2、，线段段 （垂线段）的长度（垂线段）的长度叫做点叫做点 到直线到直线 的距的距离离plqpqpl 已知点已知点p p（x x0 0,y,y0 0）和直线）和直线l l ax+by+cax+by+c=0, (=0, (假设假设a a、b b 0)0) 求点求点p p到直线到直线l l 的距离的距离. . xyolp（x0,y0)q返回 反思：这种解法的反思：这种解法的 优缺点是什么？优缺点是什么？xyolp（x0,y0)q思考：最容易想到的方法是什么？思考：最容易想到的方法是什么？思路思路. 依据定义求距离依据定义求距离,其流程为：其流程为：求求l 的垂线的垂线l 1的方程的方程解方程组，得交点

3、解方程组，得交点q的坐标的坐标求求|p q|尝试尝试合作合作交流交流xyo思路思路利用直角三角形的面积利用直角三角形的面积公式的算法公式的算法 :0l axbyc00,p xyqrsd还有其还有其它方法它方法吗？吗？过过 程程 设设 计：计：过点过点 作作 轴、轴、 轴的垂线轴的垂线 交于点交于点求出求出 利用勾股定理求出利用勾股定理求出根据面积相等知根据面积相等知 得到点得到点 到到 的距离的距离用用 表示点表示点 的坐标的坐标pxylsr、00 xy、sr、prps、rsd rsprpspldpq方法方法 利用直角三角形面利用直角三角形面积公式的算法框图积公式的算法框图xyo00,p xy

4、qrsd思路思路 ：p(p(x x0 0,y,y0 0), ), l l: :axax+ +byby+ +c c=0, =0, 设设abab0,0,o oy yx xl ld dq qp pr r100,;ablxypxlr x y这时 与 轴轴都相交,过 作 轴的平行线 交 与点s s02,ylsxy作轴 的 平 行 线 交 与 点10020,0axbycaxbyc0012,bycaxcxyab00000102,axbycaxbycxxyyaprsbp222200abprpsaxbcrabsyo oy yx xl ld dq qp pr rs s0022axbycdab22000000.ab

5、daxbycabaxbycaxbycab由三角形面积公式可得：由三角形面积公式可得：d rsprps反思反思2：反思反思1：返回前面我们是在前面我们是在a,b均不为零的假设下推导均不为零的假设下推导出公式的，出公式的， 若若a,b中有一个为零，公式是中有一个为零，公式是否仍然成立？否仍然成立？点到直线距离公式点到直线距离公式 点点 到直线到直线（ ）的距离为）的距离为00(,)p xy0axbyc0ab其中 、 不同时为0022axbycdab注：注： 例例1:1:求点求点p(-1,2)p(-1,2)到直线到直线2 2x+yx+y-10=0-10=0； 3 3x=x=2 2的距离。的距离。解：

6、解： 根据点到直线的距离公式，得根据点到直线的距离公式，得 521210211222 d如图，直线如图，直线3 3x=x=2 2平行于平行于y y轴，轴，o oy yx xl l:3:3x=x=2 2p p(-1,2)(-1,2)35)1(32 d用公式验证，结果怎样？用公式验证，结果怎样？点点 到到 直直 线线 的的 距距 离离2200bacbyaxd 1.1.此公式的作用是求点到直线的距离；此公式的作用是求点到直线的距离；2.2.此公式是在此公式是在abab00的前提下推导的；的前提下推导的；3.3.如果如果a a=0=0或或b b=0=0，此公式恰好也成立；，此公式恰好也成立；4.4.如

7、果如果a a=0=0或或b b=0=0，一般不用此公式；，一般不用此公式；5.5.用此公式时直线要先化成一般式。用此公式时直线要先化成一般式。反馈练习：反馈练习：等于则，的距离等于：）到直线，点（myxlm10433. 13.a3.b33.c333.或d（ ）d d的取值范围则，的距离不大于）到直线，若点（ayxa31344.210, 0.a10, 0.b133,31.c ,100 ,.d（ ）a a22)5(12400512 x22)3(1703x371711 xx或或)0 ,37171()0 , 1( 或或p p在在x x轴上，轴上，p p到直线到直线l l1 1: : x x - - y y +7=0+7=0与直线与直线l l2 2: 12: 12x x-5-5y+y+40=040=0的距离相等，求的距离相等，求p p点坐标。点坐标。3根据根据p p到到l l1 1、 l l2 2距离相等，列式为距离相等，列式为解得：解得：所以所以p p点坐标为：点坐标为：3.3.完成下列解题过程：完成下列解题过程：= =解：设解：设p p( (x x,0),0),的最小值。求是原点，上，）在直线，（若点opoyxyxp04. 4作业：作业：108 108 页