二次根式的概念及性质

1、学习必备欢迎下载卓越教育 VIP 个性化教案学生姓名王晓佛年级八学科数学授课时间教师姓名钟旭课时3教学课题二次根式的概念及性质1.知道二次根式与数的开平方运算之间的联系，理解二次根式的概念，并利用a（a0）的教学目标意义解答具体题目；2.了解最简二次根式和同类二次根式，掌握二次根式化成最简二次根式.二次根式a的内涵；确定二次根式中字母的取值范围；a是一个非负数；教学重、难点（ a 0）（a0）( a) 2 =、 a 2=（ ）及其运用a（a0）aa 0【教学过程】一、复习引入1、什么叫平方根？开平方？2、平方根如何表示？3、求下列各数的平方根：9（ 1） 24； （2） 0.16； （ 3）.

2、254、求下列各数的正平方根：（ 1） 225;16（ 2） 0.0001； （3）.815、根据下图所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件，完成以下填空：2cma cmS=(b 3)cm2S3cm2=2直角三角形的斜边长是_；正方形的边长是 _ ；等边三角形的边长是 _。问：你认为所得的各代数式的共同特点是什么？二、探索新知1二次根式的定义 :很明显 5 题中上述得数都是一些正数的算术平方根像这样表示的算术平方根，且二次根号内含有字母的代数式叫做二次根式。因此，一般地，我们把形如a (a 0)的代数式叫做二次根式. “”称为二次根号2. 二次根式有意义的条件 ：被开方数大于或等于零 .注

3、意：二次根式都含有二次根号“”； 在二次根式中，被开方数a 必须满足 a0 ，当 a0 时，根式无意义； 在二次根式中，a 可以是数也可以是单项式、多项式、分式等代数式； 二次根式 a (a0) 是 a 的算术平方根，所以a0.例 1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2 、 33 、1 、x （ x>0 ）、0、42、-2 、x学习必备 欢迎下载2 、 b(b0)、 1、x y （ x 0， y 0）xy 二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0： a1 是不是二次根式？a 1 呢？a1 这类代数式只能称为含有二次根式的代数式，不能称之为二次根式；

4、而2x223 这类代x数式，应把2, 3 这些二次根式看作系数或常数项，整个代数式仍看作整式.例 2. 求下列二次根式中字母a 的取值范围：（ 1）a 1 ；（ 2）1；（ 3）1 ；（ 4）(a 3)2 .1 2a3a 求二次根式中字母的取值范围的基本依据：被开方数大于或等于零；分母中有字母时，要保证分母不为零.例 3. 已知 x 满足 2013 xx 2014x ，那么 x20132 的值为（）A 2012B 2013C 2014D 20153. 二次根式的性质 :(1) (a )2a( a0);文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数.(2)a2aa( a0)文字语言叙

5、述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.(0)a a 注意：（ 1）二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论. 上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.（ 2）中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义；（ 3）a 2 不是等于 a，而是等于a ，再根据 a 的正、负来进行化简 .:(a)2 与 a2 有区别吗？（ 1）不同点： 与 表示的意义是不同的， 表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而示一个实数 a 的平方的算术平方根；在 中 ，而 中 a 可以是正实数， 0，负实数。但表与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，而.（ 2）相同

6、点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.例4.已知x2，则x 24x4的结果是_学习必备欢迎下载.根号外的a移到根号内，得()例 5 将A.B. C. D.4. 最简二次根式：必须同时满足下列条件：被开方数中不含开方开得尽的因数或因式；被开方数中不含分母；分母中不含根式.例 6. 在下列二次根式，中最简二次根式有_例 7. 已知，则化为最简二次根式是（）A.B.C.D.5. 同类二次根式：（ 1）定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式。注：判断几个二次根式是否为同类二次根式，关键是先把二次根式准确地化成最简二次根式，再观察它们的被开方数

7、是否相同 .（ 2）合并同类二次根式：合并同类二次根式的方法与合并同类项的方法类似，系数相加减，二次根号及被开方数不变 .例8.最简二次根式与是同类二次根式，则x 等于（）A. 0B.1C.2D. 3例9.与（ a>0， b>0）不是同类二次根式的是（）A.B.C.D.6. 二次根式的运算：（ 1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面（ 2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二

8、次根式（一化，二找，三合并）（ 3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除） ，将被开方数相乘（除） ，所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式ab =a ·b（ a0， b0）；bb（ b0， a>0）a a（ 4）二次根式的混合运算：二次根式的混合运算可以说是二次根式乘法、除法、加、减法则的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点： 观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的。 在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式

9、”。学习必备欢迎下载 观察式中二次根式的特点，合理使用运算律和运算性质，在实数和整式中的运算律和运算性质，在二次根式的运算中都可以应用。三、课堂练习1. 求出下列代数式中字母的取值范围：（ 1） a22a 3 ；（ 2）1； (3)1a2. 求式子x15x有意义时x 的取值范围 .1；（ 4） 2x 3 + 1.x 53 xx13. 根式 1) a2b2 ;2)x ;3) x2xy ;4)27abc ，最简二次根式是（）5A1) 2)B 3) 4)C 1) 3)D 1) 4)y1 8x8 x 11 , 求代数式xy2xy2的值。4.已知：2yxyx15. 把（ ab） a b 化成最简二次根式

10、.6. 计算：7. 先化简，再求值：11b，其中 a=5 1 ， b=5 1 a bba(a b)228.如图，实数a 、 b 在数轴上的位置，化简：a2b2(ab) 2 .9. 化简下列各式：（1）423（2）526学习必备欢迎下载10.已知 a>b>0， a+b=6ab ，则ab 的值为（）abA 2C 21B 2D 2211.甲、乙两个同学化简时，分别作了如下变形：甲：=；乙：=. 其中，（）A. 甲、乙都正确B. 甲、乙都不正确C. 只有甲正确D. 只有乙正确四、课后作业一、填空题：1、212的平方根是；49 的算术平方根是；3216 的立方根是；812、当 a时，3a2

11、无意义；2x 有意义的条件是。23 x3、如果a 的平方根是± 2，那么 a 。4、最简二次根式4a3b 与 b 1 2ab6 是同类二次根式，则a ， b 。5、如果a 2b2ab2b3(ba)b ，则 a 、 b 应满足。6、把根号外的因式移到根号内：3a；当 b 0 时，b； (a1)1x。x1a7、若 m0.04 ，则2mm2。8、若 m 0，化简： 2mmm23 m3。二、选择题：1、如果一个数的平方根与它的立方根相同，那么这个数是（）A、±1B 、0C 、 1D、0和 12、在16x 3 、2、0.5 、a 、 3 25 中，最简二次根式的个数是（）3xA 、

12、1B 、 2C 、 3D 、43、下列说法正确的是（）A 、0 没有平方根B 、 1 的平方根是 1C、4 的平方根是 2D 、3 2的算术平方根是34、416 的算术平方根是（）A 、6B 、6C 、 6D 、65、对于任意实数a ，下列等式成立的是（）A 、a 2aB 、a 2aC、a 2a D 、a 4a 26、设7的小数部分为 b ，则 b(b4) 的值是（）A 、1B 、是一个无理数C、 3D 、无法确定学习必备欢迎下载7、若 x11，则 x 22 x1 的值是（）2A 、2B 、 22C、 2D、2 18 、如果 1 a 2 ，则a 22a 1 a2 的值是（）A 、 6 aB 、

13、 6 aC、 aD 、 19 、二次根式：9 x 2；(a b)(ab) ；a22a 1 ；1 ；0.75 中最简二次根式是x（ ）A 、B、C、D、只有三、计算题：1、0.01219；252、 372122；1011。3、23 220251四、若 a 、 b 为实数，且 b a22a2，化简：2b24b 42a 。13 的小数部分是 a ， 1 的小数部分是b五、如果b ，试求 b 的值。a六、已知 A4 a b3 a 2 是 a 2 的算术平方根，B3 a 2b9 2 b 是 2b 的立方根，求A B 的 n 次方根。七、已知正数a 和b ，有下列命题：（ 1）若 a b2 ，则ab 1；（ 2）若 a b3 ，则 ab 3 ；2（ 3）若 a b6 ，则 a