二次函数平行四边形存在性问题例题

1、学习必备欢迎下载二次函数平行四边形存在性问题例题一解答题（共9 小题）1如图，抛物线经过A（ 1，0），B（5，0）， C（ 0，）三点（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC的值最小，求点 P 的坐标；（ 3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C， M，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由2如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，C 两点，且与 x 轴交于另一点 B（点 B 在点 A 右侧）（ 1）

2、求抛物线的解析式及点 B 坐标；（ 2）若点 M 是线段 BC上一动点，过点 M 的直线 EF平行 y 轴交 x 轴于点 F，交抛物线于点 E求 ME 长的最大值；（ 3）试探究当 ME 取最大值时， 在 x 轴下方抛物线上是否存在点 P，使以 M ，F，B，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由学习必备欢迎下载3已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线与 x 轴、 y 轴的交点分别为 A、 B 两点，将 OBA 对折，使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上，折痕交x 轴于点 C（ 1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的

3、解析式；（ 2）若（ 1）中抛物线的顶点为 D，在直线 BC上是否存在点 P，使得四边形 ODAP为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（ 3）若把（ 1）中的抛物线向左平移 3.5 个单位，则图象与 x 轴交于 F、N（点 F 在点 N 的左侧）两点，交 y 轴于 E 点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点 Q，使点 Q 到 E、N 两点的距离之差最大？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由4已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线与 x 轴、 y 轴的交点分别为 A、 B，将 OBA 对折，使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上，折痕交 x 轴于点

4、 C（ 1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（ 2）若抛物线的顶点为 D，在直线 BC上是否存在点 P，使得四边形 ODAP为平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由；（ 3）设抛物线的对称轴与直线BC 的交点为 T，Q 为线段 BT 上一点，直接写出| QAQO| 的取值范围学习必备欢迎下载5如图， Rt OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA 与 x 轴重合， OAB=90°，OA=4，AB=2，把 RtOAB绕点 O 逆时针旋转 90°，点 B 旋转到点 C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A 三点（ 1

5、）求该抛物线的解析式；（ 2）在 x 轴上方的抛物线上有一动点 P，过点 P 作 x 轴的平行线交抛物线于点M，分别过点 P，点 M 作 x 轴的垂线，交 x 轴于 E，F 两点，问：四边形 PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由（ 3）如果 x 轴上有一动点 H，在抛物线上是否存在点 N，使 O（原点）、 C、 H、 N 四点构成以 OC为一边的平行四边形？若存在，求出 N 点的坐标；若不存在，请说明理由6如图，直线 y=x+3 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，抛物线 y=ax2+x+c经过 B、C 两点（ 1）求抛物线的解析式；（

6、2）如图，点 E 是直线 BC上方抛物线上的一动点，当 BEC面积最大时，请求学习必备欢迎下载出点 E 的坐标和 BEC面积的最大值？（ 3）在（ 2）的结论下，过点 E 作 y 轴的平行线交直线点 Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在， 请直接写出点请说明理由BC于点 M，连接 AM，P，使得以 P、Q、A、MP 的坐标；如果不存在，7如图，抛物线 y=ax2+bx+2 与坐标轴交于 A、B、C 三点，其中 B（4，0）、C（2，0），连接 AB、 AC，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过 D 作 DE x 轴，垂足为 E，交 AB 于点 F

7、（ 1）求此抛物线的解析式；（ 2）在 DE 上作点 G，使 G 点与 D 点关于 F 点对称，以 G 为圆心， GD 为半径作圆，当 G 与其中一条坐标轴相切时，求 G 点的横坐标；（ 3）过 D 点作直线 DH AC交 AB 于 H，当 DHF的面积最大时，在抛物线和直线 AB 上分别取 M 、N 两点，并使 D、H、M、N 四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的 M 、N 两点的横坐标8已知直线y=kx+b（k0）过点 F（0，1），与抛物线y=x2 相交于B、C 两学习必备欢迎下载点（ 1）如图 1，当点 C 的横坐标为 1 时，求直线 BC的解析式；（ 2）在（ 1）的条件下，点

8、 M 是直线 BC 上一动点，过点 M 作 y 轴的平行线，与抛物线交于点 D，是否存在这样的点 M ，使得以 M、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；（ 3）如图 2，设 B（ mn）（ m0），过点 E（ 0 1）的直线 lx 轴， BRl于 R，CS l 于 S，连接 FR、FS试判断 RFS的形状，并说明理由9抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（0，2），B（3，2）两点，若两动点D、E 同时从原点 O 分别沿着 x 轴、y 轴正方向运动，点 E 的速度是每秒 1 个单位长度，点 D 的速度是每秒 2 个单位长度（ 1）求抛物线与

9、 x 轴的交点坐标；（ 2）若点 C 为抛物线与 x 轴的交点，是否存在点 D，使 A、B、C、D 四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点 D 的坐标；若不存在，说明理由；（ 3）问几秒钟时， B、D、 E 在同一条直线上？学习必备欢迎下载20XX 年 05 月 03 日 1587830199 的初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共9 小题）1（2016?安顺）如图，抛物线经过A（ 1，0）， B（ 5， 0），C（0，）三点（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC的值最小，求点 P 的坐标；（ 3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在

10、一点N，使以 A，C， M，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由【解答】 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0）， A（ 1，0）， B（ 5， 0），C（0， ）三点在抛物线上，解得抛物线的解析式为： y=x22x；学习必备欢迎下载（ 2）抛物线的解析式为：y= x22x其对称轴为直线x=2，连接 BC，如图 1 所示， B（ 5， 0），C（0，），设直线 BC的解析式为 y=kx+b（ k0），解得，直线 BC的解析式为 y= x，当 x=2 时， y=1 = ， P（ 2， ）；（ 3）存在如图 2 所示，当点 N 在 x 轴

11、下方时，抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，）， N1（4， ）；当点 N 在 x 轴上方时，学习必备欢迎下载如图，过点 N2 作 N2D x 轴于点 D，在 AN2D 与 M 2CO中， AN2 2（），DM COASA N2D=OC= ，即 N2点的纵坐标为 x22x = ，解得 x=2+或 x=2，N2（2+， ），N3（2， ）综上所述，符合条件的点 N 的坐标为（4，），（2+， ）或（2， ）2（2016?十堰一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，C 两点，且与 x 轴交于另一点B（点 B 在

12、点 A 右侧）（ 1）求抛物线的解析式及点 B 坐标；（ 2）若点 M 是线段 BC上一动点，过点 M 的直线 EF平行 y 轴交 x 轴于点 F，交抛物线于点 E求 ME 长的最大值；（ 3）试探究当 ME 取最大值时， 在 x 轴下方抛物线上是否存在点 P，使以 M ，F，B，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由学习必备欢迎下载【解答】 解：（1）当 y=0 时， 3x3=0，x=1 A（ 1，0）当 x=0 时， y=3， C（0， 3）， ，抛物线的解析式是： y=x2 2x3当 y=0 时， x22x 3=0，解得： x1=1，x2=3B（

13、3，0）（ 2）由（ 1）知 B（3， 0），C（0， 3）直线 BC的解析式是： y=x3，设 M （x，x3）（ 0 x 3），则 E（x， x22x 3） ME=（x3）（ x22x 3） = x2+3x=（ x ）2+ ；当 x= 时， ME 的最大值为（ 3）答：不存在由（ 2）知 ME 取最大值时 ME=，E（，），M（，） MF= ，BF=OBOF= 设在抛物线 x 轴下方存在点 P，使以 P、M、F、B 为顶点的四边形是平行四边形，则 BP MF， BFPMP1（0，）或 P2（3，）学习必备欢迎下载2当 P1（0，）时，由（ 1）知 y=x 2x3= 3当 P2（3，）时，由

14、（ 1）知 y=x22x3=0 P2 不在抛物线上综上所述：在 x 轴下方抛物线上不存在点 P，使以 P、M、 F、B 为顶点的四边形是平行四边形3（2016?义乌市模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线与 x 轴、 y 轴的交点分别为 A、B 两点，将 OBA对折，使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上，折痕交 x 轴于点 C（ 1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（ 2）若（ 1）中抛物线的顶点为 D，在直线 BC上是否存在点 P，使得四边形 ODAP为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（ 3）若把（ 1）中的抛物线

15、向左平移 3.5 个单位，则图象与 x 轴交于 F、N（点 F 在点 N 的左侧）两点，交 y 轴于 E 点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点 Q，使点 Q 到 E、N 两点的距离之差最大？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由【解答】 解：（1）连接 CH由轴对称得 CHAB， BH=BO，CH=CO在 CHA中由勾股定理，得AC2=CH2+AH2直线与 x 轴、 y 轴的交点分别为A、B 两点当 x=0 时， y=6，当 y=0 时， x=8学习必备欢迎下载 B（0，6），A（8，0） OB=6， OA=8，在 RtAOB中，由勾股定理，得AB=10设 C（a，0）， OC=

16、a CH=a， AH=4，AC=8a，在 RtAHC中，由勾股定理，得（ 8 a）2=a2+42 解得a=3C（3，0）设抛物线的解析式为： y=ax2+bx+c，由题意，得解得：抛物线的解析式为：（ 2）由（ 1）的结论，得D（） DF=设 BC的解析式为： y=kx+b，则有解得直线 BC的解析式为： y=2x+6设存在点 P 使四边形 ODAP是平行四边形， P（m，n）作 PEOA 于 E，HD 交 OA 于 F学习必备欢迎下载 PEO=AFD=90°，PO=DA，PODA POE=DAF OPE ADF PE=DF=n=× =P（）当 x= 时，y=2×

17、+6=1点 P 不再直线 BC上，即直线 BC上不存在满足条件的点P（ 3）由题意得，平移后的解析式为：对称轴为： x=2，当 x=0 时， y=当 y=0 时， 0=解得：F在 N 的左边F（，0），E（0，），N（， 0）连接 EF交 x=2 于 Q，设 EF的解析式为： y=kx+b，则有解得：学习必备欢迎下载 EF的解析式为： y= x解得：Q（2，）4（2016?深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线与x 轴、 y 轴的交点分别为 A、B，将 OBA 对折，使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上，折痕交 x 轴于点 C学习必备欢迎下载（ 1）直接写出点 C 的坐标

18、，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（ 2）若抛物线的顶点为 D，在直线 BC上是否存在点 P，使得四边形 ODAP为平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由；（ 3）设抛物线的对称轴与直线BC 的交点为 T，Q 为线段 BT 上一点，直接写出| QAQO| 的取值范围【解答】 解：（1）点 C 的坐标为（ 3，0）（1 分）点 A、B 的坐标分别为 A（ 8， 0），B（0，6），可设过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为y=a（x 3）（x8）将 x=0，y=6 代入抛物线的解析式，得（2 分）过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为（3 分）（ 2）可得抛物线的对

19、称轴为直线，顶点D 的坐标为，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为 G直线 BC的解析式为 y=2x+6.4 分）设点 P 的坐标为（ x， 2x+6）解法一：如图，作OPAD 交直线 BC于点 P，连接 AP，作 PM x 轴于点 M OPAD， POM= GAD，tanPOM=tan GAD，学习必备欢迎下载即解得经检验是原方程的解此时点 P 的坐标为（5 分）但此时，OMGA， OPAD，即四边形的对边 OP与 AD 平行但不相等，直线 BC上不存在符合条件的点 P（ 6 分）解法二：如图，取OA 的中点 E，作点 D 关于点 E 的对称点 P，作 PN x 轴于点 N则 PEO=DEA，P

20、E=DE可得 PEN DEG由，可得 E 点的坐标为（ 4，0）NE=EG= ，ON=OENE= ， NP=DG=点P 的坐标为（5 分） x=时，点 P 不在直线 BC上直线 BC上不存在符合条件的点P（6 分）学习必备欢迎下载（ 3） | QAQO|的取值范围是（8 分）当 Q 在OA 的垂直平分线上与直线BC的交点时，（如点K 处），此时OK=AK，则| QAQO| =0，当 Q 在 AH 的延长线与直线 BC交点时，此时 | QAQO| 最大，直线 AH 的解析式为： y= x+6，直线 BC的解析式为： y=2x+6，联立可得：交点为（ 0，6）， OQ=6，AQ=10， | QAQ

21、O| =4， | QAQO| 的取值范围是： 0| QAQO| 45（2016?山西模拟）如图， RtOAB 如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边 OA 与 x 轴重合， OAB=90°，OA=4， AB=2，把 RtOAB 绕点 O 逆时针旋转90°，点 B 旋转到点 C 的位置，一条抛物线正好经过点O， C，A 三点（ 1）求该抛物线的解析式；（ 2）在 x 轴上方的抛物线上有一动点 P，过点 P 作 x 轴的平行线交抛物线于点M，分别过点 P，点 M 作 x 轴的垂线，交 x 轴于 E，F 两点，问：四边形 PEFM的学习必备欢迎下载周长是否有最大值？如果有，请求出

22、最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由（ 3）如果 x 轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使 O（原点）、 C、 H、N 四点构成以 OC为一边的平行四边形？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由【解答】 解：（1）因为 OA=4，AB=2，把 AOB绕点 O 逆时针旋转 90°，可以确定点 C 的坐标为（ 2， 4）；由图可知点 A 的坐标为（ 4，0），又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx 把（ 2，4），（ 4， 0）代入，得，解得所以抛物线的解析式为y=x2+4x；（ 2）四边形 PEFM的周长有最大值，理由如下：由题意，如图所示，设点 P 的坐标为

23、P（ a，a2+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF， EF=PM=42a， PE=MF=a2+4a，则矩形 PEFM的周长 L=2 4 2a+（ a2+4a） =2（a1）2+10，（ 3）在抛物线上存在点 N，使 O（原点）、C、H、N 四点构成以 OC为一边的平行四边形，理由如下： y=x2+4x=（ x2）2+4 可知顶点坐标（ 2，4），学习必备欢迎下载知道 C 点正好是顶点坐标，知道C 点到 x 轴的距离为 4 个单位长度，过点 C 作 x 轴的平行线，与 x 轴没有其它交点，过 y= 4 作 x 轴的平行线，与抛物线有两个交点，这两个交点为所求的N 点坐标为 N1（2+N 点坐标

24、所以有 x2+4x= 4 解得 x1=2+， 4），N2（ 2， 4）， x2=26（2015?葫芦岛）如图，直线y=x+3 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，抛物线 y=ax2+x+c 经过 B、C 两点（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）如图，点 E 是直线 BC上方抛物线上的一动点，当 BEC面积最大时，请求出点 E 的坐标和 BEC面积的最大值？（ 3）在（ 2）的结论下，过点 E 作 y 轴的平行线交直线 BC于点 M ，连接 AM，点 Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 P，使得以 P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在， 请直接写出点 P 的坐标

25、；如果不存在，请说明理由学习必备欢迎下载【解答】 解：（1）直线 y=x+3 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，点 B 的坐标是（ 0， 3），点 C 的坐标是（ 4， 0），抛物线 y=ax2+x+c 经过 B、 C 两点，解得 y= x2+ x+3（ 2）如图 1，过点 E 作 y 轴的平行线 EF交直线 BC 于点 M，EF交 x 轴于点 F，点 E 是直线 BC上方抛物线上的一动点，2则点 M 的坐标是（ x，x+3），学习必备欢迎下载 EM= x2+ x+3（ x+3）= x2+ x， S BEC=S BEM+S MEC= ×（ x2+ x）× 4 =

26、x2+3x= （ x 2）2+3，当 x=2 时，即点 E 的坐标是（ 2，3）时， BEC的面积最大，最大面积是 3（ 3）在抛物线上存在点P，使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形如图 2，由（ 2），可得点 M 的横坐标是点 M 在直线 y=x+3 上，点 M 的坐标是（ 2，），又点 A 的坐标是（ 2，0），AM=，2， AM 所在的直线的斜率是：； y= x2+ x+3 的对称轴是 x=1，设点 Q 的坐标是（ 1，m），点 P 的坐标是（ x，x2+ x+3），学习必备欢迎下载则解得或， x0，点 P 的坐标是（ 3，）如图 3，由（ 2），可得点 M 的横坐标是点

27、M 在直线 y=x+3 上，点 M 的坐标是（ 2，），又点 A 的坐标是（ 2，0），AM=，2， AM 所在的直线的斜率是：； y= x2+ x+3 的对称轴是 x=1，设点 Q 的坐标是（ 1，m），点 P 的坐标是（ x，x2+ x+3），学习必备欢迎下载则解得或， x0，点 P 的坐标是（ 5，）如图 4，由（ 2），可得点 M 的横坐标是 2，点 M 在直线 y=x+3 上，点 M 的坐标是（ 2，），又点 A 的坐标是（ 2，0），AM=， y= x2+ x+3 的对称轴是 x=1，设点 Q 的坐标是（ 1，m），点 P 的坐标是（ x，x2+ x+3），则学习必备欢迎下载解得，

28、点 P 的坐标是（ 1，）综上，可得在抛物线上存在点 P，使得以 P、Q、 A、 M 为顶点的四边形是平行四边形，点 P 的坐标是（ 3， ）、（5， ）、（ 1， ）7（2015?梧州）如图，抛物线 y=ax2+bx+2 与坐标轴交于 A、B、C 三点，其中 B （ 4，0）、C（ 2，0），连接 AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点 D，过 D 作 DEx 轴，垂足为 E，交 AB 于点 F（ 1）求此抛物线的解析式；（ 2）在 DE 上作点 G，使 G 点与 D 点关于 F 点对称，以 G 为圆心， GD 为半径作圆，当 G 与其中一条坐标轴相切时，求 G 点的横坐标；（ 3）过

29、D 点作直线 DH AC交 AB 于 H，当 DHF的面积最大时，在抛物线和直线 AB 上分别取 M 、N 两点，并使 D、H、M、N 四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的 M 、N 两点的横坐标【解答】 解：（1） B，C 两点在抛物线 y=ax2+bx+2 上，解得：所求的抛物线为： y=学习必备欢迎下载（ 2）抛物线 y=，则点 A 的坐标为（ 0，2），设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，解得：直线 AB 的解析式为 y= x+2，设 F 点的坐标为（ x，x+2），则 D 点的坐标为（ x，），G点与 D 点关于 F 点对称， G 点的坐标为（ x，），若以 G 为圆心，

30、GD 为半径作圆，使得 G 与其中一条坐标轴相切，若 G 与 x 轴相切则必须由 DG=GE，即 x2+x+2（）=，解得： x=，x=4（舍去）；若 G 与 y 轴相切则必须由DG=OE，即解得： x=2，x=0（舍去）综上，以 G 为圆心， GD 为半径作圆，当 G 与其中一条坐标轴相切时， G 点的横坐标为 2或 （ 3） M 点的横坐标为 2±2，N 点的横坐标为±2学习必备欢迎下载8（2015?资阳）已知直线y=kx+b（ k 0）过点 F（0，1），与抛物线 y=x2 相交于 B、C两点（ 1）如图 1，当点 C 的横坐标为 1 时，求直线 BC的解析式；（ 2

31、）在（ 1）的条件下，点 M 是直线 BC 上一动点，过点 M 作 y 轴的平行线，与抛物线交于点 D，是否存在这样的点 M ，使得以 M、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；（ 3）如图 2，设 B（ mn）（ m0），过点 E（ 0 1）的直线 lx 轴， BRl于 R，CS l 于 S，连接 FR、FS试判断 RFS的形状，并说明理由【解答】 解：（1）因为点 C 在抛物线上，所以 C（1， ），又直线 BC过 C、F 两点，故得方程组：解之，得，所以直线BC的解析式为：y=x+1；（ 2）要使以 M 、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形，则 MD=OF，如图 1 所示，设 M （x，x+1），则 D（x，x2）， MDy 轴， MD= x+1 x2，由 MD