现代控制理论第二章2010(修改)

1、2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述第二章第二章 控制系统的状态空间描述控制系统的状态空间描述 2.1 2.1 基本概念基本概念2 2.2 .2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立2.3 2.3 传递函数传递函数( (矩阵矩阵) ) 2.4 2.4 组合系统组合系统 2.5 (2.5 (非奇异非奇异) )线性变换线性变换2.2.6 6 离散时间系统状态空间表达式离散时间系统状态空间表达式2.72.7用用MATLABMATLAB分析状态空间模型分析状态空间模型2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述引言n一个复杂系统可能有多个输入多个输入和，并且以某种方式。为了

2、分析这样的系统，必须其，转而进行各种大量而乏味的分析与计算。从这个观点来看，状态空间法对于系统分析是最适宜的。 2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述n经典控制理论是建立在系统的或传递函数的基础之上的，而现代控制理论以来描述系统，这些微分方程又组合成一个。应用向量-矩阵表示方法，可极大地简化系统的数学表达式。n状态变量、输入或输出数目的增多并不增加方程的复杂性。事实上，分析复杂的多输入-多输出系统，仅比分析用一阶纯量微分方程描述的系统在方法上稍复杂一些。2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述控制系统的数学描述控制系统的数学描述 : : y1, y2, , ye: 2

3、021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述两种控制理论的区别两种控制理论的区别 条目研究的系统 SISOSISO线性定常系统、定常、定常、线性线性或系统传递函数传递函数（输入-输出之间的关系）（外部模型外部模型）（输入变量、状态变量和输出变量间关系）（内部模型内部模型）主要分析和综合方法频率域时域拉普拉斯变换拉普拉斯变换线性代数线性代数2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述系统的数学描述系统的数学描述外部外部（输入输入-输出输出）描述）描述内部内部描述描述2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述 这种描述是把系统视为一个“黑箱黑箱”，系统的内部结构和内部变量内

4、部结构和内部变量，只是反映外部变量组间的因果外部变量组间的因果关系即指输出和输入间的因果关系。1、外部、外部（输入输入-输出输出）描述）描述2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述在经典控制理论中所学的就是一种。)(sH)(sGRBEC1011111( )( )( )1( )( )nnnnnnnnb sb sbsbC sG sR sG s H ssa sasa1）SISO系统系统2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述1111( )( )( )( )peepe pgsgsgsgs传递函数矩阵传递函数矩阵111111( )( )( )( )peeeppygsgsuygsg

5、su2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述1u1upu2u1xnx2x1yey2y 动力动力学部件学部件 输出部件输出部件用微分（差分）方程组来描述用微分（差分）方程组来描述代数方程组来描述代数方程组来描述动态系统结构示意图动态系统结构示意图2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述输入变量输入变量输出变量输出变量状态状态变量变量状态空间描述状态空间描述2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述2.1 基本概念n2.1.1 几个定义几个定义n2.1.2 状态空间表达式的一般形式状态空间表达式的一般形式n2.1.3 状态空间表达式的系统方框图状态空间表达式的系统

6、方框图n2.1.4 状态空间表达式的状态变量图状态空间表达式的状态变量图2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述2.1.1几个定义（几个定义（重点掌握的基本概念重点掌握的基本概念）设有一个质量为设有一个质量为m m的的质点质点vxF(t)mxm: 质量质量;a(t) : t时刻质点的时刻质点的加速度加速度; ; F(t) : 时间时间 t0,t上加在质点上的上加在质点上的外力（外力（输入输入）;v(t) : t时刻质点的时刻质点的速度速度;x(t): t时刻质点的时刻质点的加速度加速度.2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述n其运动方程由其运动方程由据据牛顿第二定律牛

7、顿第二定律描述为描述为: :001( )( )ttv tFdvm( )( )dv tmF tdtx(t0)和和 v(t0) 分别为分别为位移位移和和速度速度的的初始值初始值.22( )( )dx tmF tdt000001( )( )( )()( )tttx tx tv tttF T dTm 2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述(1)(1)状态状态：系统系统过去过去、现在现在和和将来将来的的状况状况x(t0)和和 v(t0) 可以表示质点的可以表示质点的过去的初始状过去的初始状况况；x(t)和和 v(t) 可以表示质点的可以表示质点的t 时刻的当前状时刻的当前状况况；几个定义几

8、个定义2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述(2)(2)状态变量状态变量： 能够完全表征系统能够完全表征系统运动状态运动状态的的： 00( ).t ttta xx表示系统表示系统 时刻的状态时刻的状态 0t. b0tt tu0tt 当当时的输入时的输入给定，且上述给定，且上述时的时的 状态确定时，状态确定时，系统系统初始初始在在2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述哪组哪组最小的变量最小的变量能完整地完整地描述系统的？vxF(t)mxx(t)能够能够完全完全表征系统表征系统运动状态运动状态吗？吗？ v(t)呢呢？ 000001( )( )( )()( )tttx t

9、x tv tttF T dTm 2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述取取 x(t) 和和 v(t)为两状态变量，则为两状态变量，则 和 ()确定确定x(t) 和和 v(t)能为能为能能完整地完整地描述系统的描述系统的动力学动力学行行为的为的最小最小一组一组变量（变量（状态变量状态变量）. 00( ), ( )x tv t0( ), ( )x t v ttt2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述 11,.nTnxtxtx txtxt 作为分量的作为分量的向量向量，即，即(3) (3) 状态向量状态向量：以系统的：以系统的 个个独立状态变量独立状态变量n为质量系统的为

10、质量系统的。12 ( )( ); ( )( )x tx t x tv t例如：例如：12( ) ( )( )( )( )TTx tv tx tx tx t令2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述010020( )( )( )( )x tx tv tx t则有：则有：12( )( )( )( )x tx tx tv t表达系统任意表达系统任意t时刻的状态时刻的状态。表示系统的系统的表示系统的系统的 。2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述0 xv)()(00tvtx)()(tvtxExample:两维状态空间两维状态空间 1,nxtxt (4) (4) 状态空间状态空

11、间: : 以状态变量以状态变量 n维空间。维空间。标轴构成的标轴构成的为坐为坐例如：例如：考虑到状态向量的每个分量只能取实数值，因此状态空间是建立在的向量空间，其维数为n，记为R n。状态空间中的都代表了状态变量状态变量唯唯一的、特定的一的、特定的一组值一组值，而，则构成了状态空间中的一条，称为。2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述(5)(5)状态方程状态方程：描述系统状态与输入之间关系：描述系统状态与输入之间关系的的一阶一阶微分（微分（差分差分）方程（）方程（组组）：( )( )( )tttxAxBu111211111121121222222122221212pnpnnnnp

12、pnnnnnnaaauxaaaxaaauxaaaxaaauxaaax状态方程有何特点？状态方程有何特点？你如何建立状态方程？你如何建立状态方程？思考：思考：:n nA:n PB控制阵控制阵向量-矩阵形式：nxRpuR状态向量：输入向量：2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述( )( )( )( )dx tv tdtdv tmF tdt( )( )1( )( )x tv tv tF tm11220101( )(10)( )( )( )( )mx tx tx tux tx tv t 例如质量系统的例如质量系统的状态方程状态方程为：为：2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描

13、述( )( )( )tttyCxDu(6)：描述系统输出与状态、输入之间关：描述系统输出与状态、输入之间关系的数学表达式：系的数学表达式：1111111111( )( )( )( )( )( )( )( ) nqpqqnqnqqppctctdtdtctctdyxuyxutdt向量-矩阵形式：.qyR:q nC:q pD输出阵输出阵直接传递直接传递(转移转移)矩阵矩阵输出向量：2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述例如：对于质量系统：例如：对于质量系统：12( )()01)xtxty t若若测量测量速度速度：2( )( )( )y tv tx t向量-矩阵形式：2021年10月31

14、日第二章 控制系统的状态空间描述(7)(7)：( )( )( )( )( )( )ttttttxAxBuyCxDu对于质量系统：对于质量系统：112212( )( )( )( )( )( )(01011)( )0( )01x tx tx tux tx tvmytttx tx ( )( )( )x tAx tBu t输入变量输入变量u u状态变量状态变量x输出变量输出变量y y( )( )( )y tCx tDu t2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述2.1.2 2.1.2 状态空间表达式的一般形式：状态空间表达式的一般形式：1u1upu2u1xnx2x1yey2y状态方程状态方

15、程 输出方程输出方程动态系统结构示意图动态系统结构示意图1、状态空间的描述、状态空间的描述2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述(1)(1)非线性系统非线性系统, , ,ttxf x uyg x u111111111111(, )(, )(, )(, )npnnnpnpqqnpxf xx uxtxfxx uxtyg xx uxtygxx uxt2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述(2)(2)线性系统线性系统nxRpuR.qyR1111( )( )( )( )( )nn nnnnatattatatA系统系统( (状态矩阵状态矩阵) )1111( )( )( )( )

16、( )pn pnnpbtbttatatB控制矩阵控制矩阵111( )( )( )( )( )qpq pqqpdtdttdtdtD直接传递直接传递( (转移转移) )矩阵矩阵1111( )( )( )( )( )nq nqqnctcttctctC输出矩阵输出矩阵 ttttttttttxAxBuyCxDu2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述（3）线性）线性时变时变系统系统 ttttttttttxAxBuyCxDu线性系统是实际非线性对象的非线性对象的线性化近似线性化近似；线性系统的处理方法可以为为非线性非线性系统问题的解决系统问题的解决提供思路。提供思路。2021年10月31日第二

17、章 控制系统的状态空间描述 ttu ttttxAxByCxDu主要研究以下状态方程描述的线性时不变线性时不变（LTI）系系统统的分析和综合问题分析和综合问题： ttu tttxAxByCx惯性系统：惯性系统：（4）线性时不变（）线性时不变（LTI）系统（）系统（重点重点）2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述(1)( ) ( )( ) ( ) (0,1,2,)( )( ) ( )( ) ( )kkkkkkkkkkkxGxHuyCxDu（5）离散系统的状态空间描述）离散系统的状态空间描述(1)( ), ( ), (0,1,2,)( )( ), ( ),kkk kkkkk kxf x

18、uyg xu2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述2、系统状态空间描述列写举例、系统状态空间描述列写举例ucuRL ccdiLRiuudtduCidt例例2.1.1 2.1.1 系统如图所示系统如图所示解：根据电路原理，得解：根据电路原理，得2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述1yx1122121001110 xxCuxxRLLLxyx12212111xxCRxxxuLLL ccdiLRiuudtduCidt12,ccxuxi yu(1)令令得其得其状态空间表达式状态空间表达式状态变量具有明确的物理意义状态变量具有明确的物理意义2021年10月31日第二章 控制系

19、统的状态空间描述,ccqCu qCui根据电路原理，得根据电路原理，得另一另一状态空间表达式状态空间表达式12212111CxLqRquuquxuCCRxqxxLL 21110CyuqxCCC12,xLqRq xq(1)令令该状态变量没有直观的物理意义2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述1122121010110 xxCuxRxLLxyxC 其向量矩阵向量矩阵形式2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述1122xxPxx1122121010110 xxCuxRxLLxyxC 1122121001110 xxCuxxRLLLxyx非奇异变换阵非奇异变换阵2021年10

20、月31日第二章 控制系统的状态空间描述(1)(1)独立性独立性：状态变量之间：状态变量之间线性独立线性独立. .(3)(3)等价性等价性：两个：两个状态向量之间状态向量之间只差一个只差一个非奇异非奇异变换变换. .(4)(4)现实性现实性：状态变量通常取为：状态变量通常取为涵义明确的物理量涵义明确的物理量. .(5(5) )抽象性抽象性：状态变量可以：状态变量可以没有没有直观的物理意义直观的物理意义. .(2)多样性多样性：状态变量的选取：状态变量的选取非唯一性非唯一性，状态方程状态方程的的多样性多样性，但，但状态变量的状态变量的个数不变个数不变.2021年10月31日第二章 控制系统的状态空

21、间描述列写状态方程的步骤（列写状态方程的步骤（p12）n1、确定输入输出变量输入输出变量；n2、将系统划分为若干子系统，列写各子系统子系统的微分方程的微分方程；n3、根据各子系统微分方程的阶次微分方程的阶次，选择状态选择状态变量变量写成写成向量微分方程向量微分方程的形式（状态方程）:n4、按照输出变量是状态变量的线性组合输出变量是状态变量的线性组合，写成向量代数方程向量代数方程的形式（输出方程输出方程）xAxBuyCxDu2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述2.1.3状态空间表达式的系统方框图状态空间表达式的系统方框图 DuCxyBuAxx 线性系统的方框图线性系统的方框图20

22、21年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述2.1.4 2.1.4 状态空间表达式的状态变量图（状态空间表达式的状态变量图（重点重点）1x2x21xx +加法器加法器积分器积分器)(tx)(tx )(tx)(txkkxxkkxx放大器放大器2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述例例2.1.1 2.1.1 设一阶系统状态方程为设一阶系统状态方程为xaxbu则其状态图为则其状态图为bax+ux绘制步骤绘制步骤：（：（1 1）绘制绘制积分器积分器 （2 2）画出画出加法器加法器和和放大器放大器 （3 3）用用线线连接连接各元件各元件，并用，并用箭头箭头 示出示出信号传递的方向信号传

23、递的方向。2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述1223312313632xxxxxxxxuyxx 例例2.1.2 2.1.2 设三阶系统状态空间表达式为设三阶系统状态空间表达式为的是什么？2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述则其则其状态图状态图为为质量系统的状态变量图质量系统的状态变量图如何绘制？如何绘制？2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述2.22.2传递函数与传递函数阵传递函数与传递函数阵n2.2.1 SISO2.2.1 SISO系统系统n2.2.2 MIMO2.2.2 MIMO系统系统2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述xA

24、xbuycxdu(0)0,(0)0 xx:,:1,:1,: 1 1A nnb ncqd2.2.1 SISO2.2.1 SISO系统系统取取L氏变换得：氏变换得：A A的的即为即为。( )(0)( )( )sssbu sxxAx1( )()( )()( )y sadj sg sc sbdbdu ssIAIACIA() ( )( )ssbu sIA x1( )()( )ssbu sxIA1( )()( )( )y sc sbu sdu sIA2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述2.2.2 MIMO2.2.2 MIMO系统系统其中：其中：:,:,:,:A nnB npC qnD qp

25、xAxBuyCxDu1()( )()adj ssssIAGCIABDCBDIA111111( )( )( )( )peeeppygsgsuygsgsu1111( )( )( )( )( )peepgsgssgsgsG2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述（重点重点）n2.3.1.2.3.1.由物理机理直接建立状态空间表由物理机理直接建立状态空间表达式达式n2.2.3.2 3.2 根据高阶微分方程求状态空间表根据高阶微分方程求状态空间表达式达式 2.3.3. 2.3.3. 根据传递函数求状态空间表达式：根据传递函数求状态空间表达式：2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描

26、述n 建立状态空间表达式，首要问题是选取状选取状态变量态变量。在保证状态变量的独立性状态变量的独立性的前提下，通常选取状态变量采取以下三种途径三种途径：n（1）物理变量：物理变量：选择系统中贮能元件贮能元件的输出输出物理量物理量作为状态变量。n（2）相变量：相变量：选择系统的输出输出及其各阶导数及其各阶导数作为状态变量。n（3）标准型变量：标准型变量：选择能使状态方程成为某某种标准形式种标准形式的变量变量作为状态变量。2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述2.3.1.2.3.1.由物理机理直接建立状态空间表达式由物理机理直接建立状态空间表达式：对于实际的物理系统，一般情况下，储能

27、元件对于实际的物理系统，一般情况下，储能元件的的个数决定个数决定系统的阶次即系统的阶次即（状态变量的个数状态变量的个数）。）。由物理机理建立状态空间表达式时，以由物理机理建立状态空间表达式时，以为状态变量时，一般取为状态变量时，一般取为为状态变量的状态变量的现实性现实性2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述表表2-1 :2-1 :常见的主要贮能元件及其能量方程常见的主要贮能元件及其能量方程贮能元件质量 (m)转动惯量 (J)电容 ( C )电感 ( )弹簧 ( k )能量方程储能元件储能元件的输出量的输出量速度 (v)位移 (x)角速度角速度：角度角度：电压：u电流：i位移：x能

28、量形式动能 动能电能磁能势能22mv22J22cu22Li22kxL2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述例例2.3.1 2.3.1 系统如图所示系统如图所示12, ,LCxixu解：选择状态变量：解：选择状态变量：2CLCdudiLuCRudtdt11()CLLdudiiuLCdtRdt根据基尔霍夫电流电压定律得：整理得：整理得：1211212()CLLudiiR RRudtLL RRL RR112121CLcduRiudtC RRC RR2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述12, ,LCxixu状态方程状态方程：11212112121()CudxR RRxxd

29、tL RRRRLL 211212121dxRxxdtC RRC RR输出方程输出方程：2Cyux由得1211212()CLLudiiR RRudtLL RRL RR112121CLcduRiudtC RRC RR2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述 写成矩阵形式写成矩阵形式1211112122212121110()()R RRxxL RRL RRLuRxxC RRC RR1201xyx还可以取别的还可以取别的状态变量吗？状态变量吗？2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述, , , , ,TTTTRcRcccLCuiuuu iiiuLcu2R1RLiCiRu1 LL

30、Riuu1i,TRLui不可以选择状态变量不可以选择状态变量体现了状态变体现了状态变量的量的多样性多样性和和状态变量状态变量个数个数的的不变性不变性状态变量的状态变量的独立性独立性还可以选状态变量为：2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述例例2.3.2 2.3.2 系统如图系统如图uLRJRfuf输入输入输出输出J f mC eC 2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述LRLRediduuuui RLCdtdt机22mddC iJfdtdt123, , xxxi取取状态变量状态变量: : mdC iJfdtddt如何选择状如何选择状态变量？态变量？有哪些储能元件？其

31、输出有哪些储能元件？其输出变量分别是什么？变量分别是什么？2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述122233231;mexxfCxxxJJCRxxxuLLL 输出方程：输出方程：1yx状态方程：状态方程：2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述11223312301000010100Tmexxxf JCJxLuxCLR Lxxyxx写成写成矩阵形式矩阵形式的的状态空间表达式状态空间表达式为：为：2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述例例2.3.32.3.3：倒立摆装置：倒立摆装置sinyl用小车的位移位移和速度速度及摆杆偏离垂线的角度角度和角速度角速度来

32、描述系统的动态特性小球中心位置中心位置:水平方向水平方向:垂直方向垂直方向:g：重力加速度小车的水平位移水平位移：y2()cossinMm ymlmlucossinmymlmg2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述考虑在垂直位置附近垂直位置附近的线性化线性化模型sin,cos12()cossincossin Mm ymlmlumymlmg()Mm ymlumymlmg1()1mgyuMMMm guMlMl2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述1234, , xy xy xx 1mgyuMMmymlmg1122334412340100000010001000()01

33、1000 xxxxmg MMuxxxxMm g M lMlxxxxy线性模型只线性模型只在在局部有效局部有效2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述n以上三例是结构和参数结构和参数已知已知的系统建立状态空间表达式空间模型的方法，对的系统，通常通过辨识的辨识的途径确定其数学模型途径确定其数学模型，可参考系统辨识系统辨识及其及其MATLAB仿真仿真或相关相关系统辨识与参系统辨识与参数估计数估计的书籍。2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述 12121.nnnnnya ya yaya yu (1) 0iut 的情形（的情形（不含输入的导数项不含输入的导数项）：）： 化为化为

34、112,nnxy xyxy取取状态变量状态变量(相变量相变量)：a). 2.2.3.2 3.2 根据高阶微分方程求状态空间表达式根据高阶微分方程求状态空间表达式2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述则有：则有：1223111211 nnnnnnxxxxxxxa xaxa xuyx 1 iix tyt即即112,nnxy xyxy2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述 .x tAx tbu ty tcx t写成矩阵形式：写成矩阵形式：其中：其中：11010,001nnAaaa称为称为友矩阵友矩阵。0, 10001bc 2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描

35、述12113212321323431311nnnnnnnnnnnnnnxya yayayayxya yayayxya yayxya yxy取状态变量：取状态变量：b). 化为化为2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述121112211nnnnnnnnnnxa xuxxaxxxa xxxa x 整理得：整理得：nyx11 2211 001100010nnnnxxaxxauxxa 12001Tnyxxx能观标准型能观标准型2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述 12121120121 . nnnnnnnnnnya ya yaya yb ubub ub ub u (2)

36、0iut 的情形：的情形：001100221120111101. nnnnnbbastepbaabaaa计算：计算：算法算法2（算法（算法1 1见见传递函数转换成状态方程）传递函数转换成状态方程）2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述1020130121120121.nnnnnnxyuxyuuxyuuuxyuuuu2 step定义状态变量定义状态变量: :2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述11122211010001nnnnnxxxxuxaaax12100100nxxyxuux写成矩阵形式的状态空间表达式写成矩阵形式的状态空间表达式3step2021年10月31

37、日第二章 控制系统的状态空间描述2.3.3. 2.3.3. 根据传递函数求状态空间表达式根据传递函数求状态空间表达式(1) (1) 直接分解法直接分解法单输入单输出单输入单输出线性定常系统线性定常系统传递函数传递函数： 1011111( )( )mmmmnnnnb sbsbsbY sg sU ssa sasa.mn 1110111nnnnnnnb sbsbg sbg sdsa sasa2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述 111111nnnnnnnY sb sbsbg sU ssa sasa 1(1)111(1)111nnnnnnnnY sbsbsb sg sU sa sasa

38、 s分子分母同时除以ns2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述 1(1)111(1)111nnnnnnnnY sbsbsb sg sU sa sasa s 1(1)1111nnnnasa sassEU s 1(1)11()nnnnbsb sb sY sE s 1(1)11nnnnasa sa sE sU sE sE sE s对于令则有2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述 111()nnnnU sE ssasasa 121113122111(1)1111221121( )( ) ( ) ()nnnnnnnnnnnnnnnnnna sasa sUa XaXas Xs

39、E sXxxs Xs E sXxxs Xs E sXxxsXE sU sE sE sExXs反L氏变换反L氏变换反L氏变换反L氏变换11 21() nnnua xaxa x对于对于12( ),( ),( )ns E ss E ssE s令：令：分别表示分别表示11,nnx xx2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述nxue1a1nx1x2ananb2b1by2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述112211010000101nnnnxxxxuxaaax 121100nnnxxybbbb uyb ux状态空间表达式为：状态空间表达式为：2021年10月31日第二章 控

40、制系统的状态空间描述例例2.2.3 2.2.3 考虑系统考虑系统586yyyyu试写出其试写出其能控标准型能控标准型状态空间表达式状态空间表达式。122331231685xxxxxxxxuyx 则状态空间表达式为：则状态空间表达式为：选择选择：123,xy xy xy112233123010000106581100Txxxxuxxyxxx 2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述 112112()()()()()()nnY sb szszszg sU sspspsp 11112()()() ()()nnY sszbszg sU sspspsp111()11szpzspzspspps

41、 2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述111()11szpzspzspspps 思路思路：将每个串联环节写成积分积分环节的表达式，每个积分环节环节的表达式，每个积分环节的输出为一的输出为一状态变量。状态变量。1xp zp1x 2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述 12nN sg sN sD sspspsp1212nncccspspsp其中：其中： limiiispcsp g s令：令： 1iix su ssp iiisx sp x su s2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述 11nniiiiiiicy su sc x ssp则有：则有： 1ni

42、iiy tc x t 1iix su ssp iiisx sp x su s则有：则有： iiix tp x tu t2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述系统的矩阵式表达：系统的矩阵式表达：111222001001001nnnxpxxpxuxpx 1212nnxxycccx2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述11112221000000nnnnnxpxcxpxucxpxc12111nxxyx2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述nrrrrnccc

43、ccy sg su ssrssss11121111111( )( ).( )()()()()() 111111lim( )() (1)!iriissdcG ssids 11121111( )( )( ) .( )()()()rnncccy su su su ssss 2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述rrrrrnnrrrrnnu sXssu sXssu sXssu sXssu sxssY sc Xsc Xsc XscXsc Xs11211111111122111( )( )()( )( )().( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) rrrr

44、u sXsXsssu sXsXsssu sXsXsss1211231111211( )1( )( )()()( )1( )( )()() ( )1( )( )()() 2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述rrrxxxxxxxxx1112212311 rrrnnxsxu sxsxu s111( )( ) ( )( )对上面方程的L氏变换后得到1111201010111rrrnXXu 2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述23241716( )71612ssG ssss2112212233lim(2)( )2(2)(

45、 )lim3lim(3) ( )1sssksG sdsG skdsksG s 例1,232,3ss 解311122( )23(2)kkkG ssss2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述 132110,300020012matrixJordan CBA2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述2.4 组合系统n2.4.1 2.4.1 并联并联n2.4.2 2.4.2 反馈反馈2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述2.4.1 2.4.1 并联并联系统如图，二子系统并联连接系统如图，二子系统并联连接系统1G1(s)系统2G2(s)Uy+11 11 1111 1

46、1 1:xAxBuyC xDu22222222222:xA xB uyC xD u特点：特点：1212,uuu yyy2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述1111222200 xAxBuxAxB 1 12212121212 TyC xC xDuD uCCxxDD u 1212y sy sysG sGsu s 12G sG sGs2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述2.4.2 2.4.2 反馈反馈系统1G1(s)系统2G2(s)Uyy1u2y2U1_11 11 1111 1:xAxBuyC x222222222:xA xB uyC x：1212,yyu uuy 2

47、021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述111211221220 xABCxBuxB CAx1120TyCxx 11112112 y sysG s usG su sysG s u sG s Gs y s 1121.G sIG s GsG s传递矩阵：传递矩阵：2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述ueyHxACBx 闭环闭环系统系统状态空间描述状态空间描述为：为：()()xAxB uHyABHC xBuyCx 1121G sIG s GsG s闭环闭环系统系统传递矩阵传递矩阵为：为： 111G S IHG s2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述2.5 线

48、性变换n2.5.1系统状态的线性变换n2.5.2把变换为对角标准型n2.5.3若当标准型n2.5.4系统经状态变换后特征值及传递函数矩阵的不变性2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述2.5.1 2.5.1 状态向量的线性变换状态向量的线性变换xAxBuyCxDuxPx考虑系统：考虑系统：取线性取线性：, ,矩阵矩阵 非奇异非奇异PxAPxBuyCPxDu2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述11.xP APxP BuyCPxDuxAxBuyCxDu11, , .AP APDDCCPBP B整理得：整理得：其中：其中：PxAPxBuyCPxDu2021年10月31日第

49、二章 控制系统的状态空间描述例例2.5.1 2.5.1 考虑系统考虑系统1122010231xxuxx 1260 xyx1231220,xPxP取变换：取变换：16220P2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述状态空间表达式变为：状态空间表达式变为：11xP APxP Bu12312206 0yx022130 xu 0 3 x2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述2.5.2 2.5.2 把把变换为变换为对角标准型对角标准型（ ）)0iiiiiiiinAIA特征值维非零满即(称为应义对:若和向量足,的定特征向量。xAxBudet()0(1,2)iIAin给定系统状态方

50、程2）特征向量：1）特征值：， 为矩阵A的特征值。i则定义2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述112,nnxAxBnux = PxPx = Ax+ BuA将统为对标对统阵个两两则线其中变换阵变换由特征向量构成定理:于系， 若矩具有相异的特征根，存在性非奇异系化角准型。nA P AP121. 对角标准型：对角标准型：xPx xAxBu xPAP xPBuAxBu11 1）特征值两两互异）特征值两两互异2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述证明：11221100000000,0000nnnnPA1AP AP11 12,nnn1nAPAA ,A12nPnnnAAA111

51、222. 2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述2）存在重特征值）存在重特征值1212mmmnP x = Ax+ Bun n 阶系统矩阵阶系统矩阵 存在存在m互异互异的特征值的特征值 12,m 和和1m对应的对应的特征向量特征向量线性无关线性无关，则存在，则存在非奇异非奇异变换阵变换阵 使使。mmmAPAP1111. 2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述2）A阵为友矩阵阵为友矩阵11.10.10aaaAnnx = Ax+ Bun n 阶系统矩阵阶系统矩阵 若若A阵为阵为即即 且且特征值两两互异特征值两两互异，则此时化状态方程为，则此时化状态方程为对角标准形对角标准

52、形的的可选为可选为：2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述nnnnnnP12222121111211.1. 2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述充要条件充要条件：n n 阶系统矩阵阶系统矩阵 A A 有有n n 个线性无关的个线性无关的特征向量。特征向量。化对角标准型的步骤：化对角标准型的步骤：113:.nstepA= P AP1: step求取系统矩阵求取系统矩阵A的的 n个个1,n和对应的和对应的1,.n1,nP2:step令令 2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述例例2.5.2 2.5.2 将下系统化为对角标准型将下系统化为对角标准型2111

53、01020213xxu 2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述解：解：1)1) 求系统特征根求系统特征根211010(2 (1)(1)0021IA）1232,1,1 2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述2)2)求特征向量求特征向量112131011003000210vvv 213121213103020vvvvv1100v 对对12，由由得得11()0IA v2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述2101v 122232111002000200vvv 1222322222000vvvvv对对21，由由得得22()0IA v2021年10月31日第二章

54、 控制系统的状态空间描述132333311000000220vvv 1323332333300vvvvv3011v对对31， 由由得得33()0IA v2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述123110 ,001011Pv v v，1111011010P3) 3) 新的状态方程为：新的状态方程为：11200201050012xP APxP Buxu P ：构成状态转移矩阵构成状态转移矩阵 2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述21/s251/s21/s-1UY)1)(2(1271522)( ssssssG2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述 讨论（对

55、角标准形的优越性）讨论（对角标准形的优越性）, ,P A B2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述2.5.3 2.5.3 若当标准型（若当标准型（ Jordan canonical form ）12PJJJJ 100010001000iiiiJ 000100010001iiiiJ 上若当块下若当块2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述1）对角标准形对角标准形是的特殊形式mnAPAP111111.1. 2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述1()2,jjiiiiIA vvjn ，11111A1()0nIA重特征根重特征根A设矩阵设矩阵具有具有n变换化为约

56、当标准型。变换化为约当标准型。可通过可通过ji则则称为广义特征向量。矩阵称为广义特征向量。矩阵A线性线性满足满足是是11v1所对应的特征向量。若所对应的特征向量。若ji2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述 113:.1kstepAP APJ 求求的的：11:.1=0,=-,2iistepIAIAik 求解求解 122:,.，kstepP 令令 2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述2.5.42.5.4系统经状态变换后特征值及传递函数矩系统经状态变换后特征值及传递函数矩阵的不变性阵的不变性11xP APxP BuyCPxDu1、特征值的不变性、特征值的不变性xAxB

57、uyCxDuxPx11111()()()P APP PP APPIA PPIA PIA2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述G sC sIAB1( )() G sCP sIPAPP BCP P sIPPAPP BCPPsIAPP BC sIAB11111111111( )()()()() xAxBuyCxDuxPx11xP APxP BuyCPxDu1、传递函数的不变性、传递函数的不变性2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述2.6 离散时间系统状态空间表达式 11011()(1)(1)( )()(1)(1)nnnny kna y knay ka y kb u knb

58、u knbu kb u k离散时间系统差分方程表示：离散时间系统差分方程表示：其对应脉冲传函为：其对应脉冲传函为：1011111121210111( )( )( )nnnnnnnnnnnnnnnb zb zbzby zg zu zza zazazzzbza zaza2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述 11()(1)(1)( )nnny kna y knay ka y kb u k123( )( )( )(1)( )(2) ( )(1)nx ky kx ky kx ky kx ky kn2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述 122311121(1)(1)( )(

59、1)(2)( ) (1)(1)( )(1)()( )( )( )nnnnnnnx ky kx kx ky kx kxky knx kx ky kna x kax ka x kb u k 12( )( )( )(1) ( )(1)nx ky kx ky kx ky kn 11()(1)(1)( )nnny kna y knay ka y kb u k2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述(1)( )( )( )( )kku kkkxGxHyCx控制矩阵控制矩阵系统矩阵系统矩阵输出矩阵输出矩阵11010010001nnaaaG 0001 H100C 2021年10月31日第二章 控制

60、系统的状态空间描述 1122111110100101001001011nnnnnnx kx kxkxku kxkxkxkaaaxk 12100nxkxky kxk2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述 11011()(1)(1)( )()(1)(1)nnnny kna y knay ka y kb u knbu knbu kb u k其对应脉冲传函为：其对应脉冲传函为：1011111121210111( )( )( )nnnnnnnnnnnnnnnb zb zbzby zg zu zza zazazzzbza zaza2021年10月31日第二章 控制系统的状态空间描述定义：定义