理论力学-第三章刚体力学3

1、u 平动的特点：平动的特点：各质点的运动情况完全相同各质点的运动情况完全相同（位移、速度、加速度、轨迹等）（位移、速度、加速度、轨迹等）可以用一个点的运动来代表整个刚体可以用一个点的运动来代表整个刚体（一般取质心）（一般取质心）u 运动学方程：运动学方程： trrCCu 动力学方程：动力学方程：FrmC 注意：0M例如：讨论平动汽车在刹车时受到的地面支持力。例如：讨论平动汽车在刹车时受到的地面支持力。hllv假设刹车后前后轮都停止转动，受力如图假设刹车后前后轮都停止转动，受力如图f1f2N1N2GmgNNmaff21212211NfNf还缺少一个方程！还缺少一个方程！02121lNlNhff联

2、立可解：联立可解：ag12mg lhNl22mg lhNlu 定轴转动的特点：定轴转动的特点：各质点在垂直于转轴的平面内作圆周运动，各质点在垂直于转轴的平面内作圆周运动，其角量相同其角量相同 （角位移、角速度、角加速度等）（角位移、角速度、角加速度等）u 运动学方程：运动学方程： t角量和线量的关系角量和线量的关系22,dtddtddtdiirvriRiisiniiiivrR222iiiiiiiiniiiidRdvaRRdtdtRvaRvRRu 动力学方程：动力学方程： 取转动轴为取转动轴为z轴轴MdtJdkzzMdtdJzzzMIdtdzzzMdtdIu 定轴转动动能：定轴转动动能：2222

3、2221212121zziiiiiiiiiIRmRmvmT平动动能：平动动能：222221212121CCiiiCiiiiMvvmvmvmTmgxyRxRy【例】一根质量为【例】一根质量为m，长为，长为 l的匀质细杆，一端用铰链固定在的匀质细杆，一端用铰链固定在桌角桌角O点。求此杆自点。求此杆自=30o处由静止转动到水平位置时的角速处由静止转动到水平位置时的角速度、角加速度、质心加速度及约束力。度、角加速度、质心加速度及约束力。（1 1）由转动方程求运动规律）由转动方程求运动规律213zzImlzzzdIMdt213sinsin322lgmlmgl32singl32sindgddtldt32s

4、ingddl 23cosgddl 23cosgCl 2两边同乘两边同乘 : :0利用初始条件利用初始条件=30=30o o，3 32gCl可得：可得：233 3cos2ggll /2/2/23 33, 22ggll 332cos2gl即：即：所以当杆转到水平时所以当杆转到水平时233 3cos2ggll 2,iiiniaR aR3 /4CCaRg23 34CnCaRg160CnCtgaa（2）求质心加速度：）求质心加速度：对于水平时的质心对于水平时的质心2232CCnCaaag总加速度：总加速度：cacnaca（3）求未知约束力：质心运动定理）求未知约束力：质心运动定理CnxCymaRmaRm

5、g3 344xyRmgRmg 221.32xyRRRmg111yxtgRR与与x x轴负向夹角轴负向夹角作业：作业：P174 （3.7） （3.8）（）（3.11）平面平行运动平面平行运动 刚体任一点始终在平行于某固定平面的平面刚体任一点始终在平行于某固定平面的平面 内运动内运动一、平面平行运动运动学一、平面平行运动运动学平面平行运动平面平行运动 = = 随基点平动随基点平动 + + 绕基点的转动绕基点的转动运动特点运动特点 垂直于固定平面的直线上各点的运动状态相同垂直于固定平面的直线上各点的运动状态相同刚体刚体薄片（一般含质心的薄片）薄片（一般含质心的薄片） 基点的选取是任意的，选择不同的基

6、点有不同的平动位移，基点的选取是任意的，选择不同的基点有不同的平动位移，常取质心为基点。常取质心为基点。基点的选取对角量无影响。基点的选取对角量无影响。运动学方程运动学方程 ttyytxxyx,刚体上任一点的速度、加速度刚体上任一点的速度、加速度 rrr0vvvArvvA即：0rrvvA或者：00 xAxyAyvvyyvvxxxAxyAyvvyvvx定系：定系：动系：动系：相对速度相对速度牵连速度牵连速度dtvdarvdtdAdtrdrdtddtvdAvrdtdaArrdtdaA2rrdtdaaA（利用（利用 ： ） 22rrrr绝对加速度绝对加速度牵连加速度牵连加速度相对切向相对切向加速度加

7、速度相对向心相对向心加速度加速度牵连牵连相对相对 1 1、定义：、定义：平面平行运动的刚体在角速度不为零时，在任一时刻平面平行运动的刚体在角速度不为零时，在任一时刻薄片上恒有一点的瞬时速度为零，该点称为薄片上恒有一点的瞬时速度为零，该点称为转动瞬心转动瞬心，记为，记为C二、转动瞬心二、转动瞬心Note：(1)瞬心是转动瞬时轴在薄片上的投影点瞬心是转动瞬时轴在薄片上的投影点C(2)瞬心的速度为零，加速度一般不为零瞬心的速度为零，加速度一般不为零 如果加速度为零，则刚体做定轴转动。如果加速度为零，则刚体做定轴转动。(3)瞬心不一定在刚体上，但一定在薄片所在的平面上瞬心不一定在刚体上，但一定在薄片所

8、在的平面上(4)确定时刻有确定瞬心，不同时刻瞬心不同确定时刻有确定瞬心，不同时刻瞬心不同(5)若取瞬心为基点（瞬心法）刚体上任意一点速度为：若取瞬心为基点（瞬心法）刚体上任意一点速度为：rvvArv对实验室坐标系对实验室坐标系0 xAxvvyy0yAyvvxx2 2、瞬心的确定、瞬心的确定（1）解析法：）解析法：rvvA根据：xyACAvr0rrvvAr0r设C ( x , y )0v瞬心：AxAyvyyvxx00 xAyAvyvx对固着刚体坐标系对固着刚体坐标系设C ( x , y )xAxyAyvvyvvx（2）几何法：）几何法：取瞬心为基点（瞬心法）刚体上任意一点速度为：取瞬心为基点（瞬

9、心法）刚体上任意一点速度为：rvCPrv已知薄片上任意两点的速度方向，就可求瞬心已知薄片上任意两点的速度方向，就可求瞬心vAvBCrvBCBACArvrvvAvBvAvBBCACBArrvvCCvAvB无瞬心，刚体平面平动无瞬心，刚体平面平动BAvv （3）观察法：）观察法：凡滚而不滑的刚体与另一物体的接触点就是瞬心凡滚而不滑的刚体与另一物体的接触点就是瞬心C3 3、瞬心的轨迹、瞬心的轨迹（1）空间极迹（空间瞬心迹）：）空间极迹（空间瞬心迹）： 瞬心在定系中（固定平面上）形成的轨迹瞬心在定系中（固定平面上）形成的轨迹（2）本体极迹（本体瞬心迹）：）本体极迹（本体瞬心迹）： 瞬心在固定在刚体的动

10、系中（截面上瞬心在固定在刚体的动系中（截面上/薄片上）形成的轨迹薄片上）形成的轨迹：如果本体极迹和空间极迹都是连续曲线，则刚体在如果本体极迹和空间极迹都是连续曲线，则刚体在平面运动时，本体极迹将沿着空间极迹作无滑滚动，两轨迹平面运动时，本体极迹将沿着空间极迹作无滑滚动，两轨迹的公共切点就是此时的转动瞬心。的公共切点就是此时的转动瞬心。ab【例】用瞬心法求椭圆规尺【例】用瞬心法求椭圆规尺M点的速度、加速度，并求本体极迹和空间极迹点的速度、加速度，并求本体极迹和空间极迹方程。已知方程。已知B点速度为点速度为c，并设，并设,MAa MBbOBA解：用瞬心法求解，即利用瞬心速度为零的特解：用瞬心法求解

11、，即利用瞬心速度为零的特点，取瞬心速度为基点来求任意点速度。如图点，取瞬心速度为基点来求任意点速度。如图所示，在空间建立一个定系所示，在空间建立一个定系O-xyz,和一个固定和一个固定在刚体上的动系在刚体上的动系Axyz，设，设k（1）找瞬心的位置：）找瞬心的位置： 取取C为基点，则有为基点，则有sincossinMcvCMkaibjab cossinsincbiajab（2）求）求M点速度点速度CBvBibaksinjbasinj csin bac（3）求空间极迹和本体极迹）求空间极迹和本体极迹u 设在定系中，设在定系中，C点的坐标为（点的坐标为（x，y），满足：），满足： sincosxa

12、byab222xyab（空间极迹是以（空间极迹是以O为圆心，为圆心，ab为半径的圆）为半径的圆） abu 设在固定在刚体上动系中，设在固定在刚体上动系中，C C点的坐标为点的坐标为（x ，y）满足：）满足：cos sinsin22cos cos1 cos22xababyabab22222ababxy，半径为，半径为 的圆）的圆） 0,2ab2ab（本体极迹是圆心在（本体极迹是圆心在 （4 4）求）求M点的加速度：点的加速度： 2rrdtdaa基取取B点为基点（点为基点（B点匀速，加速度为零）点匀速，加速度为零） 2rrdtdaa基sincosBMbibj sinckab223sinbciab

13、222232cossincossincossinsinMccakbibjbibjabab 222232coscossinsincossinsinbcbcijijabab ab【例【例2】P176习题（习题（3.15）一轮的半径为）一轮的半径为r，以匀速，以匀速v0无滑动的沿一直线滚动。无滑动的沿一直线滚动。求轮缘上任一点的速度及加速度。又最高点和最低点的速度各等于多少？哪求轮缘上任一点的速度及加速度。又最高点和最低点的速度各等于多少？哪一点是转动瞬心？一点是转动瞬心？解：建立如图固定地面上的坐标系解：建立如图固定地面上的坐标系（1）用瞬心法求任意）用瞬心法求任意P点速度点速度。取瞬心。取瞬心A

14、为基点为基点yx0ovAOkrjriv i AO取轮缘上任意一点取轮缘上任意一点P，OP与与竖直方向夹角竖直方向夹角为为 Pk 设：设：rv002 cossincos222PvvAPkrijr 02coscossin222vij02topvv0bottomv（2）求轮上任意点的加速度）求轮上任意点的加速度 取质心为基点取质心为基点 三、平面平行运动动力学三、平面平行运动动力学u 取含质心的薄片，并取质心为基点取含质心的薄片，并取质心为基点u 刚体位置由刚体位置由 确定确定,CCyxO xMdtJdFrmC 刚体：u 动力学方程动力学方程 CxCymxFmyF zzzIM,CCxy,xyF Fz

15、zIzM：质心在定系中的加速度分量：质心在定系中的加速度分量：主矢在定系：主矢在定系x，y方向的分量方向的分量：刚体绕过质心垂直于薄片的：刚体绕过质心垂直于薄片的z轴的转动惯量轴的转动惯量：刚体对质心主矩的：刚体对质心主矩的z分量分量Note：(1) 各量的含义各量的含义u 动能：动能：u 动能定理与机械能守恒：动能定理与机械能守恒：222121iiCvmMvT柯尼希定理：柯尼希定理：221122CzzTmvI平面平行运动：平面平行运动：动能定理：动能定理： iieierdFdWdT)(机械能守恒：机械能守恒：保守力作功保守力作功EUImvzzC222121(2) 平面平行运动平面平行运动=质

16、心二维平动质心二维平动+绕质心定轴转动绕质心定轴转动(3) 做平面平行运动的刚体，必然受到约束力。做平面平行运动的刚体，必然受到约束力。 3个方程求个方程求3个自由度的运动，还需要补充约束条件个自由度的运动，还需要补充约束条件【例题】【例题】P178习题（习题（3.26）棒的一端放置在光滑水平面上，另外一端靠在光滑）棒的一端放置在光滑水平面上，另外一端靠在光滑墙上，棒与地面的夹角为墙上，棒与地面的夹角为，如任其自此位置开始下滑，则当棒与地面的夹角，如任其自此位置开始下滑，则当棒与地面的夹角变为何值时棒与墙分离。变为何值时棒与墙分离。 解：建立图示坐标系，取棒含质心薄片为研究对象。解：建立图示坐

17、标系，取棒含质心薄片为研究对象。 设棒长设棒长2a，棒受力如图。，棒受力如图。 2211123CImlma21212 (1) (2)1cossin (3)3CCmxRmyRmgmaRaR a（5个未知量）cossinsincosCCCCxaxayaya 22cossinsincosCCxaayaa 代入（1）（2） 2122cossincossinRmaRmamg （4）(4) 代入(3)可得 2221cossincoscossinsin 3mamaamamg a 整理可得：整理可得： 3cos2ga （5） 积分并考虑初始条件积分并考虑初始条件 可得：可得： ,0 23sinsinga（6）

18、 (5)(6)代入代入(4) 2233coscossinsinsin9sin6sin22ggmgRmamgaa棒脱离强面的时候棒脱离强面的时候2cos9sin6sin02mgR129sin6cossinsin3cos0不可能不可能两边同乘两边同乘，然后积分：，然后积分：2dagdcos32四、滚动摩擦四、滚动摩擦1、纯滚动（无滑滚动）、纯滚动（无滑滚动）是指刚体与地面无滑动，接地点与地面之间保持相对静止的滚动。是指刚体与地面无滑动，接地点与地面之间保持相对静止的滚动。 特征：特征：Cvr 刚体与轨道接触点速度为零刚体与轨道接触点速度为零 摩擦力为静摩擦力摩擦力为静摩擦力 fNcvr f例例试分析右图刚体的动力学方程试分析右图刚体的动力学方程 21,2ccmvfmrfr vr NG刚体保持匀角速度，匀质心速度运动下去，永不停息刚体保持匀角速度，匀质心速