概率与统计12

1、第五章第五章 极极 限限 定定 理理极限定理包含的内容很广泛极限定理包含的内容很广泛,只有在相同的条件下进行大量重复试验时只有在相同的条件下进行大量重复试验时, 随机现象的规律性随机现象的规律性才会呈现出来才会呈现出来. 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 研究大量的随机现象研究大量的随机现象, 极限工具无疑极限工具无疑是最有效的方法是最有效的方法.大数定律大数定律 与与 中心极限定理中心极限定理我们先介绍我们先介绍 也就是说也就是说, ,要从随机现象中要从随机现象中寻求必然的法则寻求必然的法则, 应该研究大量随机现象应该研究大量随机

2、现象. 这导致了对极限定理的这导致了对极限定理的研究研究. 其中最重要的有两类其中最重要的有两类: 大数定律以严格的数学形式表达了大数定律以严格的数学形式表达了算术平均值及频率稳定性的算术平均值及频率稳定性的确切含义确切含义. 表达方式表达方式: 研究一些概率接近以研究一些概率接近以 1( (或或 0 ) )的事件的规律的事件的规律. 致使大量随机现致使大量随机现象的共同作用的总平均结果趋于稳定象的共同作用的总平均结果趋于稳定 由于大量的随机现象中由于大量的随机现象中, 个别随机现象所引起的偏差会相互抵消和补偿个别随机现象所引起的偏差会相互抵消和补偿, 大量抛掷硬币大量抛掷硬币 正面出现频率正

3、面出现频率 字母使用频率字母使用频率生产中的废品率生产中的废品率 1 大大 数数 定定 律律大量随机现象中平均结果的稳定性：大量随机现象中平均结果的稳定性：先介绍两个基本概念先介绍两个基本概念niinXnX11n 次重复测量的结果的平均值次重复测量的结果的平均值 n 越大越大, 对真值对真值 a 的偏差就越小的偏差就越小 X即对独立随机序列极限理论中的必然事件的一种概率描述即对独立随机序列极限理论中的必然事件的一种概率描述. 大数定律的客观背景大数定律的客观背景 若存在常数若存在常数 C, 将有关以概率收敛的结论统称为将有关以概率收敛的结论统称为大数定律大数定律 若存在常数列若存在常数列 an

4、, 使得对任意的使得对任意的 0,总有总有 ,1)| (lim CXPnn则称随机变量序列则称随机变量序列 Xn 以概率收敛于以概率收敛于 C , ,CXPn记为记为. )(limPCXnn当当 n 足够大时足够大时, Xn 几乎总取几乎总取接近接近 C 的值的值, 定义定义2 设设 X1, ,X2, , 是随机变量序列是随机变量序列,11 niinXnX令令 总有总有 ,1)| (lim nnnaXP则称随机变量序列则称随机变量序列 Xn 服从大数定律服从大数定律 . 常取为常取为nXE Xn 服从大数定律服从大数定律 0 PnnaX是对同一客观事物的不同表述是对同一客观事物的不同表述 即即

5、 若若,bYaXPnPn且函数且函数 g( (x, ,y) )在点在点( (a, ,b) )连续连续, ),(),(bagYXgPnn则则 n =1, 2, 连续保持以概连续保持以概率收敛性率收敛性P P165165 Th1定义定义1 0, 设设 X1, ,X2, , 是一随机变量序列是一随机变量序列, 1/4例例1 设设 Xn 是一个相互独立的随机变量序列是一个相互独立的随机变量序列, ),10()1( nnnppXP且且 证明证明 Xn 服从大数定律服从大数定律. 证证 Xn B( (1, pn) ), ,11niinXnX令令 由由Chebyschev不等式不等式知知, 对任意的对任意的

6、 0, 总有总有 2)| ( nnnXDXEXP 221 nXDini222414 nnn,0 n, 1)| (lim nnnXEXP221 nqpinii所以所以 Xn 服从大数定律服从大数定律. 我们关心的是我们关心的是: 随机变量序列随机变量序列 Xn 具有什么特性时具有什么特性时, 它就服从它就服从大数定律大数定律. 我们只介绍三个最著名的大数定律我们只介绍三个最著名的大数定律. 相应于这些不同的特性相应于这些不同的特性, 大数定律也有其不同的表现形式大数定律也有其不同的表现形式. , 2, 1, )1(,)0( npqqXPnnnn 应用中经常应用中经常 将将 取为取为 nXEna1

7、)(42nnnnqpqp 它们的方差它们的方差都存在都存在,设设 Xn 是相互独立的随机变量序列是相互独立的随机变量序列, 则则 Xn 服从大数定律服从大数定律. 定理定理1( (Chebyschev切比雪夫切比雪夫大数定律大数定律) ).1)| )1(1| (lim11niniiinXnEXnP 且有共公上界且有共公上界, 即对任意的即对任意的 0, 有有 证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式切比雪夫不等式证证 由由Chebyschev不等式不等式, 2111)1(1)| )1(1| ( niininiiiXnDXnEXnP2211 nDXn

8、ii21 nC,1n1由极限夹逼准则知结论成立由极限夹逼准则知结论成立. 任意事件的概率任意事件的概率 1 1特别地特别地, 改方差的限定条件为改方差的限定条件为: 设设Xn 独立且有相同的期望独立且有相同的期望 和方差和方差 2 , 则则 0, 有有 .1)|1| (lim1 niinXnP 在独立和同期望、方差的条件下在独立和同期望、方差的条件下, n 个随机变量的算术个随机变量的算术平均值当平均值当 n 时时, 以概率收敛于它的期望以概率收敛于它的期望 . 即存在常数即存在常数 C , 使得使得 DX i C , i =1, 2, ,当当n 充分大时几乎充分大时几乎不再是随机的了不再是随

9、机的了 Chebyschev 大数定律给出了大数定律给出了算术平均值稳定性的科学描述算术平均值稳定性的科学描述 Y Y P P166推论推论 在在 n 重重Bernoulli独立试验中独立试验中, 当试验次数当试验次数 n 时时, 事件事件 A 的的频率依概率收敛于频率依概率收敛于事件事件 A 的的概率概率. Bernoulli大数定律提供了通过大数定律提供了通过试验来确定事件概率方法的理论依据试验来确定事件概率方法的理论依据, 设设 n 是是n 重贝努利试验中事件重贝努利试验中事件A 发生的次数发生的次数, p ( 0 p 0, 有有 是事件是事件 A 发生的频率发生的频率,41则则 0,

10、有有nn Bernoulli大数定律表明大数定律表明, 当重复试验次数当重复试验次数 n 充分大时充分大时, .1)| (lim pnPnn显然显然,21nnXXX 事件事件 A 发生的发生的频率频率 n /n 与事件与事件 A 的的概率概率 p 有有较大偏差的概率较大偏差的概率 很小很小. 即用频率估计概率是合理的即用频率估计概率是合理的. 这为在不知分布的情形下这为在不知分布的情形下, 取多次重复观测的算术平均值取多次重复观测的算术平均值 作为作为 EX 的较为精确的估计提供的较为精确的估计提供了了理论保证理论保证. X 为评价其质量为评价其质量, 需确需确定其平均寿命定其平均寿命 X ,

11、 具有有限具有有限的数学期望的数学期望 EXi =, i =1, 2, ， 则对则对 0, 设随机变量序列设随机变量序列X1, X2, 独立且同分布独立且同分布, 定理定理3( (辛钦大数定律辛钦大数定律) ). 1)|1(|lim1 niinXnP辛钦辛钦 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值, 提供了提供了一条实际可行的途径一条实际可行的途径: 独立同分布条件下大数定律的表现形式独立同分布条件下大数定律的表现形式:伯努利大数律是辛钦大数律的特例伯努利大数律是辛钦大数律的特例 若视若视 X i 为重复试验中对随机变量为重复试验中对随机变量 X 的的第第 i 次

12、观察次观察, 则当则当 n 时时, 对对X 的的 n 次观察结果的算术平均值次观察结果的算术平均值 以概率收敛于以概率收敛于 X 的期望值的期望值 EX = .X例如例如, 有一批产品有一批产品, 不知其寿命不知其寿命X 的分布的分布, 随机地从中抽取随机地从中抽取 n 件产品并测得其寿命分别为件产品并测得其寿命分别为 ,21nxxx则可用则可用 作为作为EX 的一个估计值的一个估计值, niixn11且且 n 越大越大, 越精确越精确. 可收割某些有代表可收割某些有代表性的地块，例如性的地块，例如 n 块块. 计算其平均亩产量，计算其平均亩产量，下面我们再举一例说明下面我们再举一例说明大数定

13、律的应用大数定律的应用定积分的概率计算法定积分的概率计算法例如要估计某地区的平均亩产量，例如要估计某地区的平均亩产量， 当当 n 较大时，较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计. 我们介绍我们介绍均值法，均值法，步骤是：步骤是：1) 产生在产生在( (0, 1) )上均匀分布的随机数上均匀分布的随机数 rn,2) 计算计算 g(rn)， n =1, 2, , N ;n = 1, 2, , N ;即即.)(11IrgNINnn3) 用平均值近似积分值用平均值近似积分值, 的值的值.10)(dxxgI 原理是什么呢？原理是什么呢？设设X U( (0,

14、1) ), 其它其它,010, 1)(xxfXdxxfxgXgE)()()(10)(dxxg由大数定律知由大数定律知, , 0 1)|)()(1| (lim101 dxxgrgNPNnnn因此，当因此，当 N 充分大时，充分大时， .)()(1101dxxgrgNNnn应如何近似计算？应如何近似计算？ 例例2 求定积分求定积分例例3 设设 Xn 是相互独立的随机变量序列是相互独立的随机变量序列, , 2, 1,321)0(,3)3()3(22)22(nXPXPXPnnnnnnn且且 问问 Xn 是否服从大数定律是否服从大数定律? 解解 因为因为nXE则则 Xn 满足切比雪夫大数律推论的全部条件

15、满足切比雪夫大数律推论的全部条件, )22(2)22(223333nnnnnXE.92)(22EXXEDXn Xn 服从大数定律服从大数定律. 验证它满足上面某大数定律的条件验证它满足上面某大数定律的条件 例例4 设设 X1, X2, 独立独立, 且服从且服从 P( ( ), ), 令令 , 2 , 1,1nXnYnn证明：证明： Yn 服从大数定律服从大数定律. 证证 由条件知由条件知 EXn = DXn = , n = 1,2, 再由连续保持独立的性质知再由连续保持独立的性质知 ,21,2211XYXY仍独立仍独立, 且且 nnXEnYE1， n1n = 1,2, nnXDnYD21 21

16、n, 1 Yn 满足切比雪夫大数定律条件满足切比雪夫大数定律条件, Yn 服从切比雪夫大数定律服从切比雪夫大数定律 , 03333)22()22(nnnn,92991101)11(2 n 还可以利用还可以利用样样本距本距作为作为总体距总体距的近似来获得参数估计的距方法的近似来获得参数估计的距方法, 等等等等. 相应的就分相应的就分别有弱大数定律、强大数定律、均方大数律别有弱大数定律、强大数定律、均方大数律. 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：性质之一：它是随机现象统计规律的具体表现它是随机现象统计规律的具体表现. 大数律在理论

17、和实际中都有广泛的应用大数律在理论和实际中都有广泛的应用.平均结果的稳定性平均结果的稳定性 还可以利用还可以利用频率频率的稳的稳定性来对事件的定性来对事件的概率概率和和随机变量的分布随机变量的分布进行估计进行估计; 由于随机变量序列向常数的收敛可以有多种不同的形式由于随机变量序列向常数的收敛可以有多种不同的形式, 如如: 以概率收敛、以概率以概率收敛、以概率 1 收敛、收敛、 或均方收敛或均方收敛, 大数律中最重要的一类无疑就是讨论独立试验序列的大数律中最重要的一类无疑就是讨论独立试验序列的, 以概率收敛以概率收敛弱大数定律弱大数定律 例如例如, 如在数理统计中如在数理统计中, 就依据这一点而

18、取多次重复观测的就依据这一点而取多次重复观测的算术平均值算术平均值 作为作为 EX 的较为精确的估计的较为精确的估计; X Chebyschev大数定律大数定律 Bernoulli大数定律大数定律 辛钦大数定律辛钦大数定律 小结小结Xn 以概率收敛以概率收敛于于C )(CXPn. 1)| (lim CXPnnXn 服从大数定律服从大数定律 ,1)| (lim nnnaXPX n 服从大数定律服从大数定律 a n 以概率收敛于以概率收敛于0nX.1| )1(1| lim11niniiinXnEXnP Xn 是相互独立的它们的方差都存在是相互独立的它们的方差都存在, 且这些方差有共同的上界且这些方

19、差有共同的上界, 则则 Xn 服从大数定律服从大数定律, 即即 同期望方差时同期望方差时, 算术平均值以概率收敛于期望算术平均值以概率收敛于期望 . n 重贝努利试验中事件重贝努利试验中事件A 发生的次数为发生的次数为 n, p ( 0 p 20500 ), ), )20500(1)20500(XPXP)21002000020500(12001iiXP n = 200200002010)2001500(1 = 0. 0002 . 由独立同分布中心极限定理知由独立同分布中心极限定理知 其平均使其平均使用寿命为用寿命为 20 小时小时. 使用中使用中, 当一个器件损坏后立即更换另一个新的当一个器件

20、损坏后立即更换另一个新的.)20202000202020200()20000(11nnnnXnnPXPnkknkk 由于每个器件的由于每个器件的寿命寿命 Xi ( (i=1,2, ) )为随机变量为随机变量, 则预算应为则预算应为 na 元，元，,95. 0)2000(1nkkXP解解 设年计划进设年计划进 n 个这种器件个这种器件, E( (Xi) ) = 1/ 依题意即求依题意即求 n 使得使得 例例2) ) 某种器件的寿命某种器件的寿命( (单位单位: :小时小时) )服从服从 E( ( ),), 试求在年计划中为此器件做多少试求在年计划中为此器件做多少预算预算, 才可有才可有95 %

21、% 以上的把握保证一年够用以上的把握保证一年够用. 已知每个这种器件的进价为已知每个这种器件的进价为 a 元元 , 按按2000工作小时计算工作小时计算查表可知查表可知且相互独立地服从且相互独立地服从 E( ( ), ), D( (Xi) )= 1/ 2 = 20 = 1/20 , = 400 , ,05. 0)20000(1nkkXP即即由独立同分布中心极限定理知由独立同分布中心极限定理知,)()100(nnn )100(nn 0. 05 , n 较大时较大时, 近似于近似于0,64. 1100nn解得解得 n 118 ,故年计划预算不应少于故年计划预算不应少于 118a 元元. 事件事件

22、A 发生的次数发生的次数 n 设随机变量序列设随机变量序列Xn 相互独立相互独立, 且都且都服从参数为服从参数为 p( (0p1) )的的二二点分布点分布, , 则对任意的则对任意的 x, , 有有=n 2=n )1(lim1xpnppnXPniintdext2221 即即 n 很大很大, 0p1是一定值时是一定值时, 二项分布近似于正态分布二项分布近似于正态分布 N( (np, np(1-p) ).定理定理( (De Moivre- -Laplas( (棣莫佛拉普拉斯棣莫佛拉普拉斯) ) ).(x )1(pnppnn 或或 近似服从近似服从 N( (0,1) ), 20个个0- -1分布的和

23、的分布分布的和的分布正态分布是正态分布是二项分布的极限二项分布的极限下面举例说明中心极限定理的应用下面举例说明中心极限定理的应用独立同分布中心极限定理的特例独立同分布中心极限定理的特例 knkbakknnppCbaP)1 ()(1 )1()1()1(pnppnbpnppnpnppnaPn )1()1(pnppnapnppnb 几个几个(0,1)上均匀分布的和的分布上均匀分布的和的分布0 1 2 3xf g h X1 f (x) X1+X2 g(x) X1+X2+X3 h(x) 记住记住 求夜晚同时开着的求夜晚同时开着的灯数在灯数在 6800 到到 7200 之间的概率之间的概率. 夜晚每盏灯夜

24、晚每盏灯开着的概率为开着的概率为0.7 , 解解 设设 X 为夜晚同时开着的灯数为夜晚同时开着的灯数, 例例3 一供电网共有一供电网共有 10000 盏功率相同的灯盏功率相同的灯, ,假设各盏灯开、关彼此独立假设各盏灯开、关彼此独立,由由DL定理重要公式定理重要公式知知( (n = 10000, p = 0.7) ), )3 . 07 . 010007 . 0100006800(3 . 07 . 010007 . 0100007200()72006800( ）XP1)36. 4(2 9999. 0应用中的概率解释：应用中的概率解释： )36. 4()36. 4( 尽管该电网负责供应一万盏灯所需

25、的电力尽管该电网负责供应一万盏灯所需的电力, , 则则 X B( (n, ,p) ) 以题意知所求概率为以题意知所求概率为 P( (6800 X 7200) ), 但提供但提供 7200 盏灯所需的电力就能以盏灯所需的电力就能以 99.99 % % 的概率保证需求的概率保证需求. . = 1 - - P( (X 120) )499. 006. 01000006. 010000120499. 006. 01000006. 010000(1XP( (1) ) 只有死亡人数多于只有死亡人数多于120人时人时, 公司才会赔本公司才会赔本. 每个参保人在年初交每个参保人在年初交12元保费元保费, 例例4

26、 某保险公司有某保险公司有 10000 同龄且同阶层的人参加人寿保险同龄且同阶层的人参加人寿保险, , 问在该活动中问在该活动中 ( (1) )保险公司亏本的概率是多少？保险公司亏本的概率是多少？ 被保人死亡时被保人死亡时, 其家属可从公司获赔其家属可从公司获赔 1000 元元,已知该类人在一年内死亡的概率为已知该类人在一年内死亡的概率为 0.006，解解 设设 X 为一年内总死亡人数，为一年内总死亡人数，)120(XP)7694. 7(1 )80(XP( (2) )保险公司保险公司获得利润获得利润( (不计管理费不计管理费) )不少于不少于40000元的概率是多少元的概率是多少? 则则 X

27、B( (n, ,p) ) ( (n = 10000, p = 0.006) ), = 0 ; 故所求概率为故所求概率为 该活动中保险公司每年总收入为该活动中保险公司每年总收入为 10000 12 = 120000, ( (2) ) 仅当每年死亡人数不超过仅当每年死亡人数不超过 80 人时人时, , 公司获利不少于公司获利不少于40000元元. .故所求概率为故所求概率为 )64.59608064.5960(XP.9960.0)5886.2( 由由DL定理定理重要公式重要公式 试以试以99% % 的把握断定的把握断定: 从这批电子元件中任取从这批电子元件中任取6000 只只, 其中其中次品所占比例与次品所占比例与 1/6 的差的差不超过多少？不超过多少？ 例例5 已知一批同型号的电子元件的次品率为已知一批同型号的电子元件的次品率为1/6,这时这时 6000 只电子元件中次品数的范围是什么只电子元件中次品数的范围是什么? 解解 设设6000之中次品数为之中次品数为X , 则则 X B(n, p), n = 6000, p = 1/6, 6000只元件中次品所占的比例为只元件中次品所占的比例为 ,nX由题意知要求由题意知要求 , 使得使得,99. 0)| ( pnXP)1(|)1 (| ()| (ppnppnpnXPpnXP ,99. 01)1(2)1(