中考总复习十解直角三角形

1、优秀学习资料欢迎下载中考总复习十：解直角三角形一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：理解三角函数的定义和正弦、余弦、正切的概念，并能运用；掌握特殊角三角函数值，并能运用特殊角的三角函数值进行计算和化简；掌握互为余角和同角三角函数间关系；掌握直角三角形的边角关系和解直角三角形的概念，并能运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理和锐角三角函数解直角三角形；了解实际问题中的概念，并会用解直角三角形的有关知识解决实际问题复习策略：复习本专题应从四方面入手： （ 1）直角三角形在角方面的关系； （2）直角三角形在边方面的关系； （3）直角三角形的边角之

2、间的关系； （ 4）怎样运用直角三角形的边角关系求直角三角形的未知元素同时，解答这类题目时，应注重借助图形来解题，它能使已知条件、所求结论直观化，以便启迪思维，快捷解题二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识框图通过知识框图，先对本单元知识要点有一个总体认识。知识考点梳理认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，若有其它补充可填在右栏空白处。详细内容请参看网校资源ID ： #tbjx4#248924知识点一：锐角三角函数优秀学习资料欢迎下载（一）锐角三角函数：在 RtABC 中， C 是直角，如图（ 1）正弦： A 的与的比叫做 A 的

3、正弦，记作sinA ，即sinA =；（ 2）余弦： A 的与的比叫做 A 的余弦，记作cosA，即cosA=；（ 3）正切： A 的与的比叫做 A 的正切，记作tanA，即tanA=；锐角三角函数：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做A 的锐角三角函数（二）同角三角函数关系：（ 1）平方关系： sin2A+cos2A=；（2）商数关系： tanA=（三）互余两角的三角函数关系sinA =cos（），cosA=sin（）（四）特殊角的三角函数值（五）锐角三角函数的增减性（ 1）角度在0° 90°之间变化时，正弦值（正切值）随角度的增大（或减小）而（或）（ 2）角度在 0

4、6; 90°之间变化时，余弦值随角度的增大（或减小）而（或）要点诠释： A 在 0° 90°之间变化时， sinA ，cosA，优秀学习资料欢迎下载tanA知识点二：解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形（一）三边之间的关系：a2+b2=（勾股定理）（二）锐角之间的关系： A+ B=（三）边角之间的关系：°sinA =，cosA=，tanA=要点诠释：解直角三角形时，只要知道其中的个元素（至少有一个），就可以求出其余未知元素知识点三：解直角三角形的实际应用（一）仰角和俯角：在视线与所成的角中，视线在上方的是仰角；视线在下方

5、的是俯角（二）坡角和坡度：坡面与的夹角叫做坡角坡面的和的比叫做坡面的坡度（即坡角的值）常用i 表示（三）株距：相邻两树间的（四）方位角与方向角：从某点的方向沿时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角从方向或方向到目标方向所形成的小于°的角叫做方向角经典例题 - 自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。若有其它补充可填在右栏空白处。更多精彩请参看网校资源ID ：#jdlt0#248924优秀学习资料欢迎下载类型一：锐角三角函数例 1 在 ABC 中， C=90°若 sinA = 1 ，则 tanA=2考点： 锐角三角函数的定义与

6、特殊角三角函数值解析：例 2 已知： cos= 2 ，则锐角的取值范围是（）3A 0° <<30°B45°<<60°C 30° <<45°D 60°<<90°考点： 利用三角函数值确定角的取值范围解析：例 3 当 45°<<90°时，下列各式中正确的是（A tan>cos>sinB sin>cos>tanC tan>sin>cosD cos>sin>tan）考点： 同一锐角不同三角函数比较

7、大小解析：例 4 Rt ABC 中，如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的1 ，那么锐角 A 的5各个三角函数值（）1B 都不变C都扩大 5 倍D无法确定A 都缩小5考点： 三角函数值与角的度数有关，与边的比值有关解析：优秀学习资料欢迎下载例 51- cos234 °- cos2 56° =_考点：（ 1） sin2A +cos2A=1；（ 2）互余两角的三角函数关系 sinA =cos（90°- A ）或 cosA=sin（90°- A ）解析：例 6 方程 x2 sin2 x(sin2)sin120 有实数根，求锐角的取值范围考点： 锐角三角函数的

8、增减性及特殊角的三角函数值解析：总结升华：举一反三：【变式 1】已知（ 1） sin为锐角，下列结论正确的有（cos1（2）如果）45，那么sincos（ 3）如果cos1，那么60（ 4）(sin1)21sin2A1 个B 2 个C3 个D 4 个思路点拨： 利用三角函数的增减性和有界性即可求解解析：【变式 2】A 、B、 C 是 ABC 的三个内角，则 sin AB 等于（）2A cos CB sin CC cosCD cos AB222考点： 互余两角正余弦关系解析：优秀学习资料欢迎下载【变式3】已知ABC中， C=90 °，若A 、 B 的余弦值是关于x 的方程m6 x22m

9、3 xm7 的两个根且ABC 的周长为24试求 BC 的长度考点： 锐角三角函数概念的理解和运用解析：类型二：解直角三角形例 7在 Rt ABC 中， ACB =90°， CDAB 于 D，BC =5，BD =3，则 sinA =，cosA=， tanA=， tanB=Rt ADB 和 Rt ADC ，这样可以充分利用优秀学习资料欢迎下载ADCB考点： 解直角三角形，利用已知元素求两锐角的三角函数值解析：例 8 如图，在 ABC 中， AD 是 BC 边上的高， tanBcos DAC （ 1）求证： AC=BD ； （2）若 sin C12，BC12 ，求 AD 的长13考点： 利

10、用锐角三角函数知识和已知条件解直角三角形思路点拨： 由于 AD 是 BC 边上的高，则有锐角三角函数的概念使问题求解解析：优秀学习资料欢迎下载例 9如图，沿 AC 方向开山修路， 为了加快施工速度， 要在小山的另一边同时施工从AC 上的一点 B ，取ABD 145，BD500 米， D55 要使 A、C、E 成一直线，那么开挖点E 离点 D 的距离是（）A 500sin55米B 500cos55米C 500tan55米D 500 米cos55思路点拨： 在 RtBED 中可用三角函数求得DE 长解析：总结升华：举一反三：【变式 1】在 ABC 中， C=30°， BAC =105&#

11、176;， AD BC ，垂足为 D ，AC =2cm，求 BC 的长解析：优秀学习资料欢迎下载【变式 2】如图，已知ABC 中， ACB =90°，根据下列条件解直角三角形（ 1） A=60°， CD AB 于 D， CD=3 ；（ 2）a=2，CDAB 于 D ，BD = 3 考点： 解直角三角形中运用已知元素求未知元素，恰当选用锐角三角函数求值解析：总结升华：大胆正确应用，虽然方法很多，但要总结最优解法【变式3】某片绿地形状如图，其中AB BC ， CD AD ， A=60°，AB =200m，CD =100m， ?求 AD 、BC的长优秀学习资料欢迎下载思

12、路点拨： 设法补成含60°的直角三角形再求解解析：类型三：解直角三角形的实际应用例 10已知， 如图： AB DC， D=900，BC= 10 ，AB =4， tanC = 1 ，求梯形 ABCD3的面积ABDC考点： 解直角三角形在实际中的应用思路点拨：过 B 作 BE CD 于 E ，设 BE= k ，则结合 tanC = 1 得 CE=3 k ，又 BC =10 ，3利用勾股定理求 k ，从而可求梯形ABCD 的面积解析：例 11 如图，在湖边高出水面5m 的山顶 A 处看见一架直升机停留在湖面上空某处，观察到飞机底部标志P 处的仰角为45°，又观察到其在湖中之像的俯

13、角为65°，试求飞机距湖面的高度h（精确到0 01m）tan65° 2 145优秀学习资料欢迎下载考点： 利用三角形函数解实际问题思路点拨： 通过作点 P 至湖面的对称点P，根据方向角平面成像的知识解决问题解析： 例 12 已知：如图，山顶建有80 米高的铁塔BC，为了测量山的高度，测量人员在一个小山坡的P 处，测得塔的底部B 点的仰角为45°，塔顶C 的仰角为60°，若小山坡的坡角为30°， 坡长 MP =40 米，请问，测量人员用这种方法能测量出山的高度吗？如果能，山的高度是多少？（精确到1米，参考数据21.414,31.732 ）思路点拨

14、： 如果能由已知数据计算出山高AB ，那么该测量人员的方法可行，另外为计算方法，可将问题抽象成几何计算题解析：优秀学习资料欢迎下载 例 13 如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度已知小明的眼睛与地面的距离（ AB ）是 17m ，看旗杆顶部 M 的仰角为 45；小红的眼睛与地面的距离（ CD）是 15m，看旗杆顶部 M 的仰角为 30o 两人相距 28 米且位于旗杆两侧（点 B，N，D 在同一条直线上） 请求出旗杆 MN 的高度（参考数据：2 1.4 ，3 1.7 ，结果保留整数）解析：解法一：优秀学习资料欢迎下载解法二：总结升华：举一反三：【变式1】如图所示的燕服槽是一个等腰梯形，

15、外口AD宽 10cm，燕尾槽深10cm，AB的坡度i=1：1，求里口宽BC 及燕尾槽的截面积考点： 坡度的概念解析：优秀学习资料欢迎下载【变式 2】如图， AB 是江北岸滨江路一段，长为3 千米， C 为南岸一渡口，?为了解决两岸交通困难，拟在渡口C 处架桥经测量得A 在 C 北偏西 30°方向， B 在 C的东北方向，从C 处连接两岸的最短的桥长多少？（精确到0. 1）考点： 方向角的应用解析：【变式 3】气象台发布的卫星云图显示，代号为o偏东 45 方向的 B 点生成，测得 OBW 的台风在某海岛（设为点O ）的南1006km 台风中心从点B 以 40km/ h的速度向正北方向移

16、动，经 5h 后到达海面上的点C 处因受气旋影响， 台风中心从点 C 开始以30km/ h的速度向北偏西60o 方向继续移动 以 O 为原点建立如图所示的直角坐标系（ 1 ）台风中心生成点B 的坐标为，台风中心转折点C 的坐标为；（结果保留根号）（ 2）已知距台风中心20km 的范围内均会受到台风的侵袭如果某城市（设为点优秀学习资料欢迎下载A）位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初 侵袭该城要经过多长时间？y/km北A60o东COx/km45oB考点： 利用三角函数解决实际问题解析：三、总结与测评要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮

17、助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。总结规律和方法强化所学认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。相关内容请参看网校资源ID ： #tbjx20 #248924。（一）数形结合思想从概念的引入到关系式的推导，以及直角三角形的解法和应用，都体现了数形结合的思想方法，例如在解直角三角形时，我们总是先画出图形，再结合图形分清已知元素和未知元素，最终使问题顺利得到解决（二）方程和函数思想在解直角三角形和利用直角三角形的边角关系解决实际问题时，常利用方程和函数思想将几何问题转化为代数问题求解优秀学习资料欢迎下载（三）化归与转化思想利用三角函数的定义可以实现边与角的转化，利用互余

18、角的三角函数关系可以实现正余弦的转化，利用同角的三角形函数关系可实现“异名“三角函数之间的转化，通过添加辅助线可以将非直角三角形转化为直角三角形，此外，在实际应用时，要首先把实际问题转化为数学模型，再借助直角三角形的知识求解（四）注意观察、分析、总结在运用锐角三角函数解决问题时，应掌握定义，灵活地选择关系式，能用已知不用未知，能用乘法不用除法；在实际应用时，要首先把实际问题转化为数学模型，再借助直角三角形的知识求解，掌握各函数值之间的联系及互化成果测评现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测试。测评系统 和模拟考试系统 进行相关知识点的知识点： 解直角三角形测评系统 分数：模拟考试系统 分数：如果你的分数在80 分以下，请进入网校资源ID ： #cgcp0#248924 做基础达标部分的练习，如果你的分数在你可以进行能力提升题目的测试。也可以尝试做一下近几年各地的中考试题：#zktc0#248924 。80 分以上，自我反馈学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整理。如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流。我的收获习题整理题目或题目出处所属类型或知识点分析及注意问题好题优秀学习资料欢迎下载错题注： 本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录。网