对流换热—2章1

1、第二章 层流强制对流换热2-1 2-1 层流对流换热边界层微分方程层流对流换热边界层微分方程及及物理数学性质物理数学性质 由于对流换热基本方程组的非线性与耦合性，求解异常困难，由于对流换热基本方程组的非线性与耦合性，求解异常困难，在在19世纪，对粘性流动与换热进行求解几乎是不可能的。世纪，对粘性流动与换热进行求解几乎是不可能的。 自从自从1904年德国的著名力学家年德国的著名力学家Prandtl提出边界层理论后，借提出边界层理论后，借助于该理论对助于该理论对N-S方程进行简化，在某些简单的情况下可进行理方程进行简化，在某些简单的情况下可进行理论求解，从而为现代流体力学的发展奠定了基础，同时也推

2、动论求解，从而为现代流体力学的发展奠定了基础，同时也推动了对流换热理论的发展。了对流换热理论的发展。 到目前为止，已获得了十几个层流对流换热问题的分析解。到目前为止，已获得了十几个层流对流换热问题的分析解。下面介绍边界层理论的要点及边界层微分方程的数理性质。下面介绍边界层理论的要点及边界层微分方程的数理性质。一、边界层理论要点 1.流动边界层 绕流固体壁面的流场可分为边界层、主流（势流区）边界层、主流（势流区）两个特征不同的流动区域： 边界层边界层区区：壁面附近，速度在垂直于壁面方向变化剧烈，存在很大的速度梯度、粘性应力起主要作用。速度分布速度分布、粘性粘性 主流区主流区：离壁面远处，法向速度

3、梯度很小，可忽略粘性应力、视为理想流体的流动。忽略粘性忽略粘性 边界层厚度 比流过距离L小得多，即 。尺度尺度 边界层内存在不同流态边界层内存在不同流态：层流、湍流、过渡流。流态流态L 2.热边界层 热边界层：热边界层：壁面附近、垂直于壁面方向，存在很大温度梯度， 沿壁面法向的导热起主要作用。温度梯度、导热 热主流区：离壁面稍远处、流体混合剧烈，温度梯度很小，可忽略导热。忽略导热 边界层厚度 。 尺度 与与 的关系，的关系，取取决于流体物性。决于流体物性。( Pr ( Pr 数数) ) 尺度关系尺度关系 流动状态流动状态：对换热起着决定性作用。对换热起着决定性作用。过程关系过程关系tL 从物理

4、本质上看：边界层是扩散效应(微观热运动)起主要作用的区域，或者说，边界层是扩散效应的影响区域。 层流热边界层内：沿壁面法向的热传递方式主要是导热。 湍流边界层内：粘性底层靠导热，湍流核心区的脉动对流为主。t二、层流边界层对流换热的分析求解方法 层流边界层对流换热的分析求解方法层流边界层对流换热的分析求解方法，主要有两种：主要有两种：1、建立边界层动量、能量积分方程 近似解法近似解法。2、建立边界层微分方程 相似解法。边界层积分方程：对包括整个边界层厚度的有限控制体，建立守恒关系，不能保证边界层内任意小的微元体满足守恒关系；同时，求解过程中需假定速度、温度分布函数，我们称其解为近似解。就方程本身

5、的性质而言，在数学上其解称为”弱解”。 边界层微分方程：尽管比原始方程简单，但还是针对边界层内任意小的微元体建立守恒关系，其解仍称为精确解。因为，一般情况下，体积力对强制流动速度场的影响较小，而当Eckert数 时， 很小，可忽略。21()cpwuEcTT 如空气，以速度 掠过平壁时，当温差 ，300/um s100wTTK ，时 ，而一般工业上的流速远低于声速。1 J/kg Kpck0.9cE 需要说明：对大多数层流强制对流换热，往往忽略体积力和粘性耗散效应。三、层流边界层微分方程的数理性质与边界条件 1、控制方程与、控制方程与物理性质物理性质考虑常物性、不可压缩牛顿流体考虑常物性、不可压缩

6、牛顿流体，强制绕流等温平壁的二维稳态强制绕流等温平壁的二维稳态层流对流换热，层流对流换热，不考虑不考虑粘性耗散、内热源及辐射换热粘性耗散、内热源及辐射换热( (以下均以下均如此），如此），其控制方程组为：其控制方程组为： 0uxy2222()TTTTuaxyxy22221() uupuuuxyxxy22221() puxyyxy（2.1.1）应用边界层理论，借助于数量级分析简化，可得到边界层应用边界层理论，借助于数量级分析简化，可得到边界层对流换热微分方程组：对流换热微分方程组：0uxy221()uudpuuxydxy 22TTTuaxyy0（2.1.2）物理性质分析物理性质分析a a). .

7、动量方程：动量方程：x向动量方程中，向动量方程中， 而被忽略。而被忽略。 说明说明：在边界层流动中，下流的速度变化对上游的速度分布在边界层流动中，下流的速度变化对上游的速度分布没有影响，没有影响，也就是说也就是说，边界层流动在主流方向上呈现出步进性。边界层流动在主流方向上呈现出步进性。2222uuxyy向动量方程中向动量方程中：对流项、扩散项均比对流项、扩散项均比x向动量方程中的小得多向动量方程中的小得多，可可忽略忽略，即即y向的动量变化很小向的动量变化很小。此时边界层方程简化为：此时边界层方程简化为：0py这说明这说明：边界层内边界层内，压力压力P沿沿y方向几乎无变化，而仅是方向几乎无变化，

8、而仅是x的函数，的函数，在任何在任何x处截面上，各点压力相等处截面上，各点压力相等、等于边界层外主流压力。等于边界层外主流压力。b). 能量方程：能量方程：而被忽略，说明而被忽略，说明，在热边界层内在热边界层内y向向的导热作用与对流作用的数量级相同，而的导热作用与对流作用的数量级相同，而x向导热很小，可忽略。向导热很小，可忽略。2222TTxy在主流区：在主流区： 、，又忽略粘性力，有，又忽略粘性力，有Bernoulli方程：方程：0uyuu1dudpudxdx （2.1.3）（2.1.4）由于边界层对流换热中，流体沿由于边界层对流换热中，流体沿x方向流动，下游的温度变方向流动，下游的温度变化

9、对上游的影响只能通过导热（扩散）来实现化对上游的影响只能通过导热（扩散）来实现。若若x方向导热可忽略，那么下游温度变化对上游无影响，就方向导热可忽略，那么下游温度变化对上游无影响，就象一个一维非稳态导热问题一样。象一个一维非稳态导热问题一样。 x 坐标与坐标与 坐标一样成为单向坐标坐标一样成为单向坐标 单通道坐标单通道坐标： 扰动仅沿一个方向转递，该坐标方向上任一点的物理量仅受扰动仅沿一个方向转递，该坐标方向上任一点的物理量仅受其其上游一侧的影响上游一侧的影响。c). 概括评述概括评述 由于边界层流动和换热的特点，使动量方程和能量方程由原由于边界层流动和换热的特点，使动量方程和能量方程由原来的

10、来的平衡问题平衡问题或说或说稳态问题稳态问题描述形式描述形式，转变为转变为步进问题步进问题或说是或说是非非稳态问题稳态问题描述形式描述形式，而而沿主流流动方向的坐标沿主流流动方向的坐标x成为与时间坐标成为与时间坐标 类似的单向坐标。类似的单向坐标。2. 2. 数学性质数学性质从数学上看，边界层动量方程与能量方程都从数学上看，边界层动量方程与能量方程都由原来的椭圆型由原来的椭圆型方程转化为抛物型方程方程转化为抛物型方程，所描述问题，所描述问题由边值问题转化为初值问题由边值问题转化为初值问题。二元二阶偏微分方程：二元二阶偏微分方程：( , )xxxyyyxyABCDEFG x y 其中，其中， 均

11、为均为x、y的函数。的函数。 , , , ,A B C D E F G当当时时 为椭圆为椭圆型型方程方程 (无实的特征线无实的特征线)时时 为双曲型方程为双曲型方程 (有两条实的特征线有两条实的特征线)时时 为抛物型方程为抛物型方程 (有一条实的特征线有一条实的特征线)240BAC240BAC240BAC椭圆型方程、抛物型方程、双曲型方程椭圆型方程、抛物型方程、双曲型方程各自各自代表一类物理问题。代表一类物理问题。椭圆型方程：椭圆型方程：代表物理上的代表物理上的平衡问题平衡问题，或，或稳态问题稳态问题，其物理其物理量是量是双向坐标变化双向坐标变化，数学上称为数学上称为边值问题边值问题。抛物型方

12、程：抛物型方程：代表的一类问题代表的一类问题，物理上称为物理上称为步进问题步进问题或或非稳态问题非稳态问题，其其物理量沿某个坐标单向变化，数学上称为物理量沿某个坐标单向变化，数学上称为初值问题初值问题。椭圆型方程中的自变量椭圆型方程中的自变量是双向坐标，是双向坐标，因变量的求解需在一个闭区域内进因变量的求解需在一个闭区域内进行，并依赖于包围求解区域的封闭边界，称为行，并依赖于包围求解区域的封闭边界，称为依赖区依赖区。椭圆型方程求解域内椭圆型方程求解域内，每点的物理量变化对整个求解区域都有影响，即每点的物理量变化对整个求解区域都有影响，即任一点的影响区是整个求解域任一点的影响区是整个求解域。这样

13、，这样，求解域内的各点是相互影响的，必须求解域内的各点是相互影响的，必须对所有的点联立求解，对所有的点联立求解，所以椭圆型方程的求解较难。所以椭圆型方程的求解较难。抛物型方程的求解域抛物型方程的求解域，是从初值出发的是从初值出发的开区间开区间，求解域内任一点，求解域内任一点P P的的依依赖域赖域是该点上游的区域边界是该点上游的区域边界，影响区影响区是该点的下游区域，二者以特征线为界是该点的下游区域，二者以特征线为界截然分开，截然分开，求解域内每点仅受其上游物理量变化的影响，可采用逐步向前推求解域内每点仅受其上游物理量变化的影响，可采用逐步向前推进的解法。进的解法。抛物型方程抛物型方程初值问题椭

14、圆型型方程椭圆型型方程边值问题边值问题3、边界条件边界条件描述一般二维稳态层流对流换热的微分方程是椭圆型方程描述一般二维稳态层流对流换热的微分方程是椭圆型方程，其，其解的依赖域是整个求解域的封闭边界，这意味着解的依赖域是整个求解域的封闭边界，这意味着边界条件须给出边界条件须给出求解域四条边界线上所有因变量的值、或分布函数、或导数。求解域四条边界线上所有因变量的值、或分布函数、或导数。而描述二维层流边界层稳态对流换热的微分方程是抛物型方而描述二维层流边界层稳态对流换热的微分方程是抛物型方程程，不需给出下游边界上的条件。不需给出下游边界上的条件。如对绕流等温平壁的二稳态层流边界层对流换热：如对绕流等温平壁的二稳态层流边界层对流换热：0uxy22()uuuuxyy22TTTuaxyy相应的边界条件为：相应的边界条件为：00,0,( ),( )0,0,wyuu yTT yyxxuvTTyxxuuTT 0入口处：壁面处：主流：x=x（2.1.6）速度分量速度分量u （对照方程）（对照方程）：其对x的最高阶导数为一阶，所以x方向