动力计算习题课11

1、一、动力计算中体系的自由度 确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为体系的振动自由度。几点注意：1）对于具有集中质量的体系，其自由度数并不一定等于集中质量数，可能比它多，也可能比它少。2）体系的自由度与其超静定次数无关。3）在几何构造分析中所说的自由度是刚体系的运动自由度，动力计算中讨论的自由度是变形体系中质量的运动自由度。也可以运用附加支杆法确定。二、单自由度体系的自由振动自由振动(固有振动)：振动过程中没有干扰力作用，振动是由 初始位移或初始速度(瞬时冲量)或两者共同影响下所引起的。（刚度法）（柔度法）振动微分方程)sin(aw+t=asincos)(00www+=tvtyty质点位移

2、001vytgwa-=振幅:初始相位角:无阻尼自由振动是简谐振动).(0akymy=+.).()(bmyfyI-=.w2020vya+= 质体动位移y(t)是以静力平衡位置为位移零点来确定的，质体的重力对y(t)没有影响, 但在确定质体的最大竖向位移是,则应包含位移幅值和自重下的静位移st=W两部分在内.T =wp2mk=wm=1其中是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。 k使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力。 结构的自振频率 (自振周期T )圆频率工程频率Tf1=使用于各质点惯性力使用于各质点惯性力共线的单自

3、由度体系共线的单自由度体系单位:T秒； 弧度/每秒，即2秒内振动次数； fHZ（赫芝）即每秒振动次数。 自振周期（频率）与 且只与结构的质量和结构的刚度有关，与荷载和初始干扰因素无关。是结构的固有特性。 要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度。增大质量或降低刚度可降低频率或提高周期，反之亦然。周期三、 单自由度体系的强迫振动结构在荷载作用下的振动。无阻尼有阻尼运动微分方程稳态解tyyPsin=)sin(a-=tyyP动位移幅值stPyy =stPyy =动力系数2211w-=2122222241-+-=ww共振时=21=阻尼作用很大f对于简谐荷载下的无阻尼受迫振动，其质点位移（加速度

4、和惯 性力）与干扰力作同步简谐振动；f对于简谐荷载下的有阻尼受迫振动其质点位移（加速度和惯性 力）与干扰力之间存在一个相位差，两者总是不同时达到最 大值。tyymPwsin2=+.tyyymPwwsin22=+.f当荷载作用在单自由度体系的质点上时，不论是否考虑阻尼，各 截面的动内力和动位移可采用统一的动力系数，只需将干扰力 幅值乘以动力系数，按静力方法来计算即可。 f阻尼对振动的影响 1、考虑阻尼时体系的自振频率减小，周期增大。221,1ww-=-=TTrr当0.2, 可近似取.TTrr= ,ww2、自由振动的振幅 ae-t 随时间单调衰减，最后停止。3、试验测定阻尼比nkkyyn+=ln2

5、1pyk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅。 l/2l/2l/2EImmk例1：建立图示体系的运动 微分方程，并求自振 频率和周期。EImm kl解：用刚度法： 作受力图kmTmk102,102pwpw=ll/2EIEIm1l解：用柔度法作单位弯矩图EIlEIlEIl263333=+=EImlTmlEIm222,2133pwpw=23lm.2lm.0232322=+=lkllmllmlMA.0410=+km.02=+w.例2:已知m=300kg，EI=90105Nm2，l=4m，k=48EI/l3，F=20kN，=80s-1。求：(1)无阻尼时梁中点的动位移幅值；(2)当=0.05时，梁中点的

6、动位移幅值和最大动力弯矩。 FsintEIl/2l/2mk解 ：1、求自振频率 1EIk1/2f11k2121EIl19253=EIl483+f11=13531116.13443005109019251921-=smlEImfw2、求无阻尼时的跨中动位移幅值552. 1=1122-=w16.134801122-=cmmEIlFFfyP575. 01075. 5552. 1109019245102019253533311=-mkNFFlMd.04.31552. 120444max=3、求有阻尼时的跨中动位移幅值.2122222241-+-=ww546.116.1348005.0416.13480

7、121222222=+-=-cmmEIlFFfyP573. 01073. 5546. 1109019245102019253533311=-4、求有阻尼时的跨中动弯矩幅值一般方法：当位移y=ypsin(t)达幅值时otg3 . 52221=-=-wwat=90 ot=1.19 s此时惯性力幅值:NymIp1100200573. 08030022=此时荷载值:NtFtF19918)19. 180sin(20000sin)(=产生动位移和动内力幅值的外力:NtFIP309201991811002)(=+=+=mkNPlMc=92.304492.304max 30.92kNEIk30.92kN.m动

8、力弯矩幅值图注意:1、由于干扰力作用在质点上且沿振动方向，故位移和弯 矩动力系数相同,可按比例算法计算。 2、考虑与不考虑阻尼的动位移幅值相差不大。这是因为 频率比/=80/134.16=0.596,在共振区之外的缘故。比例算法: 本例动荷载与惯性力共线, 故可用比例算法P=F=1.54620000=30920N运动方程：m tFyywsin2=+.2wmFFyst=荷载幅值引起的静位移2211w-=动力系数位移稳态反应为与动荷载同频率的简谐振动。两者同时达到幅值。ymtmyymIst22sin:=-= 惯性力惯性力与位移同方向同时达到幅值。stymI2max=动内力计算：当动荷载作用在单自由

9、度体系的质点上时，各截面的动内力和动位移可采用统一的动力系数。先求动荷载幅值引起的静位移、静内力及动力系数，将静位移、静内力乘以即得动位移和动内力的幅值。当动荷载不作用在质点或与质点运动方向不一致时，内力动力 系数与位移动力系数不相同。可用以下三种方法计算。稳态反应：ststyAtAtyy=sinsin振幅A：2、单自由度体系简谐荷载下的动力反应计算l/2l/2EImMsintABC例：建立图示梁运动微分方程 ，求B点的最大动位移和最大动弯矩。解：1、采用柔度法列运动微分方程 MsintABCI(t)(tyABC1)(tI111ABCP1MsinttMtItyPsin)()(111+=163l

10、325l10.5l/2111EIlllllEIl7687)325216322(613211=-=C11CP1EIlllEIlP32)25. 025 . 022(61221=-=0.25tmMtytyPwsin)()(1112=+.tlmMsin724=31177681mlEIm=w2、求B点位移幅值yP：MmyyPpp1211)(+=22111w-=MyPpsty=EIlm768732221111w-=-=tMtmytyPsin)()(111+-=.EIlllEIlP32)25. 025 . 022(61221=-=l/2l/2EImMsintABC例：建立图示梁运动微分方程 ，求B点的最大动

11、位移和最大动弯矩。解：3、求动弯矩幅值:IMABCpyABC1I111ABCP1M)(32525. 02maxpbmylMM+=163l325l10.50.25C11CMmlMMPb12max32525. 0+=MstPMmlM=+=)851 (412EImlM2565123+=将荷载化成作用在质点且与质点运动方向一致的荷载mtMsintRsin(b)mtRsin()ty(c)=+(b)中质点无位移，无 惯性力，按静力法 计算反力。lMR23=(c) 所示是力 作用于 质点上的情况。tRsinEIMlEIRlyst2323=EIMlyAst22=内力及其它处位移为(b) (c)之和mltMsi

12、nEI()ty(a)A+-=-=-=-=222121232322wMMMMRlMMAD2211w-=+=-=2221,wMstMM内力动力系数与位移动力系数不相同1=m11lEIlEIlP2,321311=利用幅值方程求解位移稳态反应为与动荷载同频率的简谐振动。两者同时达到幅值。ymtmyymIst22sin:=-= 惯性力惯性力与位移同方向同时达到幅值。线弹性体系，位移达幅值时内力也达幅值稳态反应：ststyAtAtyy=sinsin振幅A：MmlEIAAm2振幅方程为：stPPPyEIMlMmMAMAmA=-=+=21)(2111211112+-=+-=+-=-=-=22222211111

13、2122212311wwwMMlmMlMmMAlmMMpPA直接建立运动方程求解。mltMsinEIym ()tyPtMymy111sin+-= 宜列柔度方程：tmPyywsin*2=+ 或：111*1121wPMPm=，其中：mtPsin*EIym ()tyEIMlEIlPylMPEIlEIlstP23,23,2,323*21311=2211w-=EIMlyAst22=1=m11l动内力计算例6. 测图示刚架动力特性。加力20kN时顶部侧移 2cm，振动一周 T=1.4s后，回摆1.6cm，求系统的阻尼比、大梁的重量W及 6周后的振幅。k2k2W=mg解：(1)求W：kNgkW6 .4869

14、812200496. 024 . 12=p由skgWT4 . 122=pwp(2)求sT148. 42=pw(3)求,0355. 06 . 12ln21=pwwww=-=212)999. 0(1r(4)6周后的振幅TTtteeeyywww=+-)(10006106)6(6000=+-yyeeeyyTTttwwwcmy524. 0226 . 166=多自由度体系的自由振动 （以两个自由度为例）主要目的：1）求自振频率；2）确定振型。（由于阻尼对 频率和振型的影响很小，不考虑阻尼。）1、频率方程和频率a）刚度法导出的频率方程：0222221121211=-=mkkkmkDww21211222112

15、2221112221112122121mmkkkkmkmkmkmk-+=、w或：b）柔度法导出的频率方程：0222211122111=-=mmmmD2)(4)()(2121122211222211122211112mmmmmm-+=22111,1ww=或：2、振型： 振型是指体系按某一频率发生振动的形式。注意： 1）振型是在特定的初始条件下才能出现的一种振动形式。任一瞬时各质点位移的比值不变，即结构的变形形式不变。 2）对于每一自振频率，体系有一个确定的相应振型。a）刚度法导出的振型公式：b）柔度法导出的振型公式：212211122212w=-=mkkYY112111122111w=-=mkk

16、YY111112122111=-=mmYY221112122212=-=mmYY振型常数 12 必具有相反的正负号。3）振型正交性：12212221212111:; 0mmYYmYYm-=+或可用来检查所求振型是否正确。例：计算体系的自振频率和振型llmEIEIP1=1P2=12Ml1MlEIlllEI343133311=+=EIlllEI221322112=EIl3322=1）求柔度系数2)(4)()(2121122211222211122211112mmmmmm-+=()()()EImlEImlEIml32312232, 11262. 0,5404.-+=2）代公

17、式（15.45）求频率3223118147. 21,8057. 01mlEImlEI=ww3）代公式（15.49）求振型414. 211262. 03/45 . 02212-=-=YY4141. 015404. 13/45 . 011112122111=-=-=mmYY10.414第一振型第一振型12.414llEI=常数mml 求图示体系的频率、振型，并演算正交性。1ll/81M2M13l/85l/81l1MEIlllllEI48318313223132311=-+=EIlllEI16833121322112=1l2MEIllllEI48783318532213222=-=2)(4)()(2

18、121122211222211122211112mmmmmm-+=()()()EImlEImlEIml332232, 11381. 0 ,6535. 03731473173196=-+=322311691. 21,237. 11mlEImlEI=ww1227. 0111112122111=-=mmYY1237. 8121112122212-=-=mmYY01237. 81001227. 01=-Tmm例: 试求图示结构的自振频率；如初始条件为 Y10=0.02m, Y20=0.00473m,初速为零，体系作何种振动。llm2=mm1=m EI1=EIEI2EI333113023212lEIlEIlEIk=+=3321623lEIlEIk-=-=llm2=mm1=m EI1=EIEI2EI331222623lEIlEIkk=-=2121122211222211122211122, 12121mmkkkkmkmkmkmk-+=w322321 , 258. 442.3166302