对数函数的概念

1、1xy02 设设A、B是非空的数集，如果按照某是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系个确定的对应关系f，使对于集合，使对于集合A中的中的任意一个数任意一个数x，在集合，在集合B中都有唯一确定中都有唯一确定的数的数 f(x)和它对应，那么就称和它对应，那么就称f：AB为为从集合从集合A到集合到集合B的一个函数，记作：的一个函数，记作： yf (x)，x A1. 函数定义函数定义复习回顾复习回顾3 定义域定义域A；对应法则对应法则f. 值域值域f(x)|xR；2. 函数的三要素函数的三要素:(2) f 表示对应法则，不同函数中表示对应法则，不同函数中f 的具的具 体含义不一样；体含义不一样； 函

2、数符号函数符号yf (x) 表示表示y是是x的函数，的函数， f (x)不是表示不是表示 f 与与x的乘积；的乘积；4几类函数： 一次函数一次函数 反比例函数反比例函数 二次函数二次函数 幂函数幂函数y = ax+b(ay = ax+b(a0)0)k ky y = =( (k k0 0) )x x2 2y y= =a ax x + +b bx x+ +c c( (a a0 0) )( 为常数xy 567x=log2y某种细胞某种细胞分裂时分裂时,1,1个分裂成个分裂成2 2个个,2,2个分裂成个分裂成4 4个个,，那么，那么分裂次，得到的细胞的个数分裂次，得到的细胞的个数与的函数关系式是：与的

3、函数关系式是：引例1如果知道了细胞的个数如果知道了细胞的个数y,y,如何确定分裂的次数如何确定分裂的次数x x呢呢? ?由对数与指数的互化可知由对数与指数的互化可知: :y=2x8 某种放射性物质不断变化为其他物质，且每经过一年，某种放射性物质不断变化为其他物质，且每经过一年， 这种物质剩这种物质剩余余的质量是原来的的质量是原来的84%.84%.写出这种物质的剩写出这种物质的剩 余量余量y y与年数与年数x x 的函数关系式的函数关系式.(设初始质量为设初始质量为1)xy84. 0已知经过的已知经过的年数年数 x x , ,就能求出该物质的剩就能求出该物质的剩余余量量 y y . .已知该物质

4、的剩已知该物质的剩余余量量 y y ，如何求经过的时间，如何求经过的时间 x x 呢？呢？yx84. 0log引例29yx0 x1x2x3y1y2y3y=ay=ax x（a a 1 1）x0yy=ay=ax x（0 0a a0y|y0之间之间是一一对应的关系。是一一对应的关系。xay yxalog 10我们把我们把 就叫作就叫作对数函数对数函数， 其中其中值域是值域是 , ,a a 叫作对数函数叫作对数函数 的的底数底数. . 把把y=ay=ax x化为对数式化为对数式 , ,在在 这个这个关系关系，对于任意的对于任意的 都有唯一确定的都有唯一确定的 x x 值与之对应值与之对应, ,若把若把

5、 y y 当作自变量当作自变量, ,则则 x x 就是就是 y y 的函的函数数. .把函数把函数 叫叫对数函数对数函数 ), 0, 10(Rxyaa 且且 而而习惯上习惯上自变量用自变量用x x表示，表示，y y表示函数，所以表示函数，所以这个函数就写成这个函数就写成) 10(logaaxya且yxalogyxalog), 0( y) 10(logaaxya且0,yxalogR R11y=ay=ax x、 x=log x=loga ay y与与 y=logy=loga ax x 有什么关系？有什么关系？axy yxalog xyalog 指对互化指对互化字母互换字母互换12a0,a1（-，+

6、）（0，+）a0,a1a0,a1（-，+）（-，+）（0，+）（0，+）1314例例1 计算：计算：（1）计算对数函数）计算对数函数y=2x对应于对应于x取取1，2，4时的函数值；时的函数值；（2）计算对数函数）计算对数函数y= l g x对应对应x取取1，10，100，0.1时的函数值时的函数值.解（解（1）当）当x=1时时,y= 2x =21=0, 当当x=2时时,y= 2x =22=1, 当当x=4时时,y= 2x =24=2； （2）当）当x=1时时,y= l g x = l g 1=0, 当当x=10时时,y= l g x = l g 10=1 当当x=100时时,y= l g x

7、= l g 100=2 当当x=0.1时时,y= l g x = l g 0.1=-1.15 在指数函数在指数函数y=ay=ax x中中, ,x x是自变量是自变量, ,定义域是定义域是x xR R, ,y y是是x x的函数的函数, ,且值域且值域y y(0,+).(0,+).根据指数与对数的根据指数与对数的关系关系, ,由指数式由指数式y=ay=ax x可得到对数式可得到对数式x=x=logloga ay y, ,这样这样, ,对对于任意一个于任意一个y y(0,+),(0,+),通过式子通过式子x=x=logloga ay y, ,x x在在R R中中都有唯一确定的值和它对应都有唯一确定

8、的值和它对应. .我们可以把我们可以把y y作为自变作为自变量量, ,x x作为作为y y的函数的函数, ,这时，这时，x=x=logloga ay y( (y y(0,+)(0,+)就就为指数函数为指数函数y=ay=ax x的反函数的反函数. . 把自变量用把自变量用x x表示表示, ,因变量用因变量用y y表示表示, ,则对数函数则对数函数y=y=logloga ax x就是指数函数就是指数函数y=ay=ax x的反函数的反函数( (aa0 0且且a a1).1). 反之反之, ,也可类似说明对数函数也可类似说明对数函数y=y=logloga ax x( (aa0 0且且a a1)1)是指

9、数函数是指数函数y=ay=ax x( (aa0 0且且a a1)1)的反函数的反函数. .16y=ay=ax x、 x=log x=loga ay y与与 y=logy=loga ax x 有什么关系？有什么关系？axy yxalog xyalog 指对互化指对互化字母互换字母互换互为反函数互为反函数17xy31log(2) xy)31(1) ylgx xy10解解 对数函数对数函数 底数是底数是 ， 它的反函数它的反函数就是指数函数就是指数函数解解 对数函数对数函数 ylgx 底数是底数是 10， 它的反它的反数就是指数函数数就是指数函数xy31log31例例2 2 求下列函数的反函数求下列

10、函数的反函数18解解 指数函数指数函数 y5x 底数是底数是5，它的反函，它的反函就是对数函数就是对数函数解解 指数函数指数函数 底数是底数是 2/3 ，它的反函，它的反函就是对数函数就是对数函数(2) (1) y5x 例例3 3 求下列函数的反函数求下列函数的反函数xy5logxy32logxy）（321920用描点式法画出用描点式法画出y=log2x的图像的图像列列表表描描点点连连线线321-1-2x2481-2-1012321字母互换字母互换y=2y=2x x20log yx2x1x0 xy=logy=log2 2x xy1y2yy0y=logy=log2 2x xy=logy=log2

11、 2x x用水平轴表示用水平轴表示x x轴轴上下翻转上下翻转0 x2x1x0yx=logx=log2 2y yy1y2xy020 x22yy=2X41-221-110123248-2-10123请填写下列表格请填写下列表格:你能发现什么规律吗你能发现什么规律吗? ?互为反函数的两个函数互为反函数的两个函数y=ay=ax x与与y=logy=loga ax x的两个函数中的两个函数中, ,如果如果(m,n)(m,n)是是y=axy=ax图像上的一点图像上的一点, ,那么那么(n,m)(n,m)必是必是y=logy=loga ax x图像上的一点图像上的一点. .反过来反过来, ,如果如果(m,n

12、)(m,n)是是y=logy=loga ax x图上的一点图上的一点, ,那么那么y=ay=ax x图像必过点图像必过点(n,m),(n,m),如何证明如何证明?23证明:因为(m,n)是y=ax图像上的一点 所以n=am, m=logan 即y=logax经过点(n,m)24 例例1 1 下列那几个函数是对数函数下列那几个函数是对数函数（ ） (1)y=log (1)y=log3232x x (2)y=log (2)y=log(-4)(-4)x x (3)y=lgx (3)y=lgx ( (4 4)y=log)y=log(2a-1)(2a-1)x x （其中（其中a0.5a0.5且且a1)a

13、1) (1)(3)(1)(3)(4 4) )25 例例3 3、已知对数函数已知对数函数 y=log2x y=log2x ， 设定义域为设定义域为 0.50.5，0.250.25，1 1，2 2，4 4, , 求值域求值域. .当当x=0.5,y=logx=0.5,y=log2 20.5=log0.5=log2 22 2-1-1=-1=-1当当x=0.25,y=logx=0.25,y=log2 20.25=log0.25=log2 22 2-2-2=-2=-2当当x=1,y=logx=1,y=log2 21=01=0当当x=2,y=logx=2,y=log2 22=12=1当当x=4,y=log

14、x=4,y=log2 24=log4=log2 22 22 2=2=2所以，值域为所以，值域为-1-1，-2-2，0 0，1 1，2 226解解 指数函数指数函数 y5x 底数是底数是5，它的反函，它的反函就是对数函数就是对数函数解解 指数函数指数函数 底数是底数是 2/3 ，它的反函，它的反函就是对数函数就是对数函数(2) (1) y5x 例例4 4 求下列函数的反函数求下列函数的反函数xy5logxy32logxy）（32例例4 4 求下列函数的反函数求下列函数的反函数27xy31log(3) xy)31(4) ylgx xy10解解 对数函数对数函数 底数是底数是 ， 它的反函数它的反函数就是指数函数就是指数函数解解 对数函数对数函数 ylgx 底数是底数是 10， 它的反它的反数就是指数函数数就是指数函数xy31log3128).4(log)2(;log)1(:.2xyxyaa 求下列函数的定义域求下列函数的定义域例5;131log)2();9(log) 1 (:2xyxyxa的定义域课堂练习：求下列函数;131|)2(;33|)1( xxxxx且且课堂练习：课堂练习：;4|)2(;0|)1 ( :1xxxx答案例29例例6 6、对数函数、对数函