离散型随机变量的期望课堂实录

1、离散型随机变量的期望课堂实录 中等职业教育国家规划教材数学（基础版）第二册第十一章第三节执教者： 绍兴市职教中心 陈辉一、设计理念：以学生已有的知识为教学基础， 以学生已有的认知发展水平为教学起点， 提供学生动手 实践、 合作交流的时间和空间， 倡导积极主动的学习方式， 把对话与交流贯穿于整个教学过 程的始终，让学生在平等的氛围中对话，在倾心的对话中交流，在真诚的交流中研究。二、教学内容分析：期望是概率论和数理统计的重要概念之一， 是反映随机变量取值分布的特征数， 学习期 望将为后面学习概率统计知识做铺垫。同时， 它在市场预测， 经济统计，风险与决策等领域 有着广泛的应用。三、教学目标：1.

2、知识与技能目标通过实例， 让学生理解离散型随机变量期望的概念， 了解其实际含义。 会计算简单的离 散型随机变量的期望，并解决一些实际问题。2. 过程与方法目标在对话交流中学习，经历概念的建构这一过程，培养学生的提问能力，交流能力和合 作探究能力。通过实际应用，培养学生学以致用的数学应用意识。3. 情感与态度目标通过创设情境， 激发学生学习数学的情感，让学生养成关注生活、 观察生活的习惯。让 学生认识到数学源于生活，又应用于生活，生活中处处有数学。四、教学重点与难点：重点： 本课是一节概念新授课， 而概念本身具有一定的抽象性，学生难以理解，因此把 对离散性随机变量期望的概念的教学作为本节课的教学

3、重点。难点：对教师而言，对话交流背景的设置和探究过程的预设是一个难点，对学生而言， 初次应用概念解决实际问题也较为困难，也是本节课的又一难点。五、课堂实录：1. 实例引入教师提出问题： （实物投影 ） “某商场要根据天气预报来决定节日是在商场内还是商场外 开展促销活动。 统计资料表明， 每年五一节商场内的促销活动可获得经济效益2 万元； 商场外的促销活动如果不遇到有雨天气可获得经济效益 10 万元，如果促销活动中遇到有雨天气 则带来经济损失 4 万元。 4 月 30 日气象台预报五一节当地有雨的概率是40%，商场应该选择哪种促销方式 ?”同学们，假如你现在就是该商场的总经理，你将怎样选择，为什

4、么?（ 点评：问题的生活化可激发学生的兴趣和求知欲望， 促进学生学会用数学的视野关注身边的数学。）学生1:我觉得商场外促销为好，因为商场外促销可赚钱10万元，且下雨的概率只有40%。学生2:我觉得商场内促销为好，因为即使下雨商场内促销也可赚钱2万元，比较保险。学生3:可以商场内、商场外同时促销，万一下雨的话也可减少损失，如果不下雨的话 就可赚得更多。（课堂气氛一下子活跃起来，学生情绪也特别高涨，课堂里出现了第一次矛盾冲突。）（点评：设置矛盾冲突，引起探究的兴趣与热情。）教师：同学们都能凭自己的想法和胆识作出选择，这也是一个人应该具有的思想品质。 但在选择时多少带有猜测或冒险的成份，我们还要学会

5、用数学地思考、科学的方法来作出正确的决策。现在我们就来学习如何用数学知识作出这个决策。2. 明确概念问题一：平均数的计算（板书）教师：（实物投影）我班最近一次数学测验前10名的成绩如下：97, 96, 95, 95, 92, 92,92,91, 91,91,求平均成绩是多少 ？ ”9796 95 95 9292 92 919191学生 4: x93.210学生5:老师，我们还可以用加权平均数的求法来算97 96 95 292 3 91 3x93.210教师：那这是否可以从概率的角度来解释呢？学生6:（该学生走上讲台把自己的算法写在黑板上，一边解释）X= 97 96 95 292 3 91 3冷

6、-1-96 丄 95 -92 空 91 卫10 10 10 10 10 103391就是在这10个数中任意取一个数是 91的概率为，其它依次类推。1010（点评：教师引导，让学生来解释，创设说数学的机会）教师：很好。再请同学们写出以这些成绩为离散型随机变量的概率分布。979695929111233P1010101010（点评：复习原先知识，为归纳出期望的定义作铺垫）教师：（请一位学生把分布列也写在黑板上，并请学生对照比较） 学生7:我发现，平均数恰好是每个 与相应概率乘积的和。教师：好极了，这是我们自己的发现。现在我们把它推广到一般情况（板书）：一般地，若离散型随机变量的概率分布为X1X2“X

7、n“-PPP2Pn则称E =XiR * X2P2* XnPn 为.的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望。（教师同时板书课题，学生阅读书本P219）教师：同学们是否能尝试用文字语言描述上面这个抽象的数学公式？（学生们尝试着说，大家相互补充，得出）：离散型随机变量的数学期望即为随机变量取值与相应概率分别相乘后相加。（点评：让学生用数学语言描述概念，加强数学交流）3. 加深理解问题二：请学生完成以下练习练习1已知离散型随机变量的概率分布匕1001P0.010.99 求可能取值的算术平均数。 求'的期望。1 + 1°°学生&第小题可能取值的算术平均数为 一

8、2 = 50.5学生 9:第小题 E =100X0.01+1 >0.99=1.99（学生做得较顺利，两位学生的回答也没有引起其他学生的异议）学生10：（笑着说）老师，这么简单的题你还让我们做啊，出下一题吧。教师：是吗？我可不这么认为。大家注意到了吗？ 这里有两个平均值呢。（学生中一阵骚动，相互交头结耳，小声议论）学生11：是有两个平均数，期望也是平均数呀。学生12：老师，你的意思是说要我们区分这两个平均数的意义吧。教师（会心地笑）：你能说吗？学生12 （思考片刻之后）：我想，期望是反映随机变量在随机试验中取值的平均值，它 是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数。学生13：老师，

9、我是不是可以这样理解，我摸到 100元的概率是0.01，摸到1元的概 率是0.99，平均下来，我摸到钱的可能性才1.99。教师：是的，可以这么认为，看来你已经会应用了。学生14：怪不得商场里摸奖时中大奖的机率这么低。（众学生笑）(点评：第二次设置认知冲突，在交流中辩明期望的意义)练习2根据历次比赛或训练记录，甲、乙两射手在同样的条件下进行射击，成绩分布 列如下：射手8环9环10环甲0.30.10.6乙0.20.50.3试比较甲、乙两射手射击水平的高低。(教室里片刻的沉默，一学生轻声嘀咕：是不是用期望值来比呀？)学生15：设甲、乙两射手射击一次击中的环数分别为打，2，贝yE ( )= 8 0.3

10、 9 0.1 10 0.6 = 9.3E ( 2 )= 8 0.2 9 0.5 10 0.3 = 9.1老师，这两个数值能说明什么问题吗？教师：谁能帮学生16解答他的困惑？学生16：我认为，射手甲击中环数的数学期望比射手乙击中环数的数学期望高，就说明甲的平均射击水平比乙的稍微高一点。如果两人进行比赛，甲赢的可能性较大。教师：很好！从中我们知道了数学期望的实际意义是刻划这个随机变量的平均水平。(点评：创设生生交流的环境，教师从中起到指导的作用)4. 回归应用问题三：看看数学期望能解决哪些实际问题。例1有一批数量很大的产品， 其次品率为15%。对这批产品进行抽查， 每次抽出1件, 如果抽出次品，则

11、抽查终止，否则继续抽查， 直到抽出次品，但抽查次数最多不超过 10次。 求抽查次数 的期望(结果保留三个有效数字)。学生17：老师，这题没有分布列！教师：我们一起来试试能不能把分布列出来？教师解释：一般地，在产品抽查中已说明产品数量很大，而抽查数量很小时，各次抽查结果可以认为是相互独立的。学生18：可取哪些值呢？学生19：抽查次数最多不超过 10次，我想就取110的整数。教师：不错。那么前 k-1次取到正品，而第 k次取到次品的概率是12345678910P ( =k) =0.85k4 0.15(k=1 , 2, 3,9); P ( =10) = 0.859 1(学生们用计算器计算后)得到抽查

12、次数'的分布列为P0.150.12750.10840.0920.07830.06660.05660.04810.04090.2316学生 20：期望 E# =1 0.152 0.12750 0.2316 =5.35教师：谁能归纳求离散型随机变量期望的步骤？（一阵思考和议论）学生21：我想先要确定离散型随机变量'的取值，再写出分布列，并检查分布列的正确与否，最后求出期望。教师：我们不妨把这称为“三部曲”（点评：给学生创设了较多的探究、操作和相互讨论交流的机会，同时适当点拨） 教师：那上课开始提出的商场应该选择哪种促销方式 ”这个问题又该如何解？（众学生先自行操作探求，然后相互讨论

13、交流）学生22:商场外促销经济效益'的分布列为匕10-4P0. 60. 4期望E =10 0.6 - （-4）0.4 =4.4万元，所以商场应选择商场外进行的促销活动。我解释一下，数学期望4. 4万元反映的是，选择商场外促销不论下雨与否都有4. 4万元效益。（话音刚落，学生们一片哗然，赞成的反对的几乎各占一半 ）教师：现在我们分组进行讨论，选择商场内促销还是商场外促销，是仅从一次促销来决定，还是从长远考虑根据多年促销的平均数来决定的呢？（众学生经过热烈的讨论，最后大家统一了思想，应从长远考虑，根据多年促销的平均 数来决策。明白了数学期望4. 4万元反映的是，如果某老板每年坚持在商场外进

14、行促销活动， 那么他在每年五一节平均可赚钱4. 4万元。）（点评：第三次设置矛盾冲突，提出新的问题，以期辩明期望的作用）例2目前由于各种原因，许多人选择租车代步，租车行业生意十分兴隆，但由于租车者以新手居多，车辆受损事故频频发生。据统计，一年中一辆车受损的概率为 0.03。现保险 公司拟开设一年期租车保险，一辆车一年的保费为1000元；若在一年内该车受损，则保险公司需赔偿3000元。 一年内，一辆车保险公司平均收益多少？ 一辆车一年的保险费为1000元，若在一年内该车受损，则保险公司需赔偿n元，一年中一辆车受损的概率为 0.03,则赔偿金n至少定为多少元，保险公司才不亏本？ 若一辆车一年的保险

15、费为m元，若在一年内该车受损，则保险公司需赔偿n元，一年中一辆车受损的概率为 p，则m,n，p应满足什么关系，保险公司方可盈利。（学生们开始讨论，教师在巡视中倾听学生们争论的焦点）教师：联系我们以前学过的利润，你们觉得每年保险公司的平均获利如何计算？学生23：每辆车每年保险公司平均获利=保险费-赔偿费。学生24: 1000- 3000 =- 2000，那不是亏大了嘛。学生25 :不对，这里的赔偿费应该是3000 0.03 = 90。因为一年中一辆车受损的概率为 0.03。学生24：噢，我明白了。学生26 :当平均获利0时保险公司方可盈利。所以第题中，当m n p.0即 n ：m时方可盈利。学生

16、27:还可以这样解：设表示盈利数，则随机变量的分布列为mm nP1- pp迟I I I E =m(1-p) (m-n)p =m-np . 0 即 n时方可盈利。P教师：很好，大家不仅把题给解出来了，而且用了不同的方法。我们在这节课中是不是又有了新的收获？(点评：回归概念本质，紧扣概念应用，并交具体问题数字化 )5. 师生共同小结教师：请大家带着今天的这种探究热情去预习下一课的内容“离散型随机变量的方差”，相信大家自己会有新的发现。六、学生感悟：从学生写出的课后感悟及课后交流中经分类整理摘录如下：(1) 情感价值：以前总认为数学枯燥乏味，学数学就是为了应付考试，我们是职校生，又不一定要参加高考，学数学没啥实际用途。通过这堂课，我觉得数学还是有点用处的。而且我觉得听这样的课不累。(2) 自身价值：我们这种学习基础不好的同学在老师的提示下也能发表看法，特别是当自己的观点被老师所赞许、被同学所采纳时，心里真是挺高兴的，我现在也能体会到学习是辛苦的，但也是有趣的”这句话的含义了。(3) 教学价值：在老师上这一课之前，我已做了预习，当