三限等差数列

1、6.26.2 等差数列等差数列一、知识梳理一、知识梳理1.1.等差数列等差数列的概念： 2.2.通项公式通项公式： 推广推广： an=am+（nm）d.变式：变式：a1=an（n1）d，d =，d =，由此联想点列（n，an）所在直线的斜率.11naanmnaamn3.3.等差中项：等差中项：若 a、b、c 成等差数列，则 b 称 a 与 c 的 ，即有 ； a、b、c 成等差数列是 2b=a+c 的 条件.4.4.前前 n n 项和：项和：s sn n= = = nan（n1）nd.21 变式：=a1+（n1）=an+（n1）（）.21naa nsnnaaan 212d2d二、双基训练二、双

2、基训练1.（09 安徽文）已知为等差数列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,，则 a20等于 naa. -1 b. 1 c. 3 d.72.（09 湖南文）设ns是等差数列 na的前 n 项和，已知23a ，611a ，则7s等于 a13 b35 c49 d63 3.（09 辽文）已知 na为等差数列，且7a24a1, 3a0,则公差 d a.2 b.12 c.12 d.24.(2009 山东卷文)在等差数列na中,6, 7253aaa, 则_6a.三、典例剖析三、典例剖析例例 1:1:数列an的前 n 项和为 sn=npan（nn+）且 a1a2，（1）求常数 p 的值；（2

3、）证明：数列an是等差数列.例例 2 2：已知数列an的前 n 项和 sn=12nn2，（1）求 an（2）求数列|an|的前 n 项和 tn.变式：变式：若此题的 sn=n212n，那又该怎么求 tn呢？四、闯关训练与拓展练习四、闯关训练与拓展练习1.（03 年全国）等差数列an中，已知 a1=，a2+a5=4，an=33，则 n 是31 a.48 b.49 c.50 d.512.（09 四川文）等差数列na的公差不为零，首项1a1，2a是1a和5a的等比中项，则数列的前 10 项之和是 a. 90 b. 100 c. 145 d. 1903.（09 宁海文）等差数列 na的前 n 项和为n

4、s，已知2110mmmaaa，2138ms,则m a.38 b.20 c.10 d.9 4.(09 陕西卷文）设等差数列 na的前 n 项和为ns ,若6312as,则na 。5.（2009 江苏卷）9.设 na是公差不为零的等差数列，ns为其前n项和，满足222223457,7aaaas。 （1）求数列 na的通项公式及前n项和ns；（2）试求所有的正整数m，使得12mmma aa为数列 na中的项。 6.（04 年上海）在数列an中，a1=3，且对任意大于 1 的正整数 n，点（，）在na1na直线 xy=0 上，则 an=_.37.（03 年上海）设 f（x）=，利用课本中推导等差数列前

5、 n 项和的公式的方法，可221x求得 f(-5)+f(-4)+f(0)+f(5)+f(6)的值为_.8.已知数列an的前 n 项和为 sn，且满足 an+2snsn1=0（n2） ，a1=.21（1）求证：是等差数列；ns1（2）求 an的表达式.五、思悟小结五、思悟小结1.深刻理解等差数列的定义，紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这两点.2.等差数列中，已知五个元素 a1，an，n，d，sn中的任意三个，便可求出其余两个.3.证明数列an是等差数列的两种基本方法是：（1）利用定义，证明 anan1（n2）为常数；（2）利用等差中项，即证明 2an=an1+an+1（n2）.4.等差数列a

6、n中，当 a10，d0 时，数列an为递增数列，sn有最小值；当 a10，d0 时，数列an为递减数列，sn有最大值；当 d=0 时，an为常数列.5.已知三个或四个数成等差数列这类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设 a，a+d，a+2d 外，还可设 ad，a，a+d；四个数成等差数列时，可设为a3d，ad，a+d，a+3d.6.复习时，要注意以下几点：（1）深刻理解等差数列的定义及等价形式，灵活运用等差数列的性质.（2）注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.剖析：（1）注意讨论 p 的所有可能值.（2）运用公式 an= 求 an.11nn

7、sss. 2, 1nn解：（1）当 n=1 时，a1=pa1，若 p=1 时，a1+a2 = 2pa2 = 2a2，a1=a2，与已知矛盾，故 p1.则 a1=0.当 n=2 时，a1+a2=2pa2，（2p1）a2 =0.a1a2，故 p=.21（2）由已知 sn=nan，a1=0.21n2 时，an=snsn1=nan（n1）an1.2121=.则=，=.1nnaa21nn21nnaa32nn23aa12=n1. an=（n1）a2，anan1=a2.2aan故an是以 a2为公差，以 a1为首项的等差数列.评述：本题为“snan”的问题，体现了运动变化的思想.例例 2 2：已知an为等差

8、数列，前 10 项的和 s10=100，前 100 项的和 s100=10，求前 110 项的和 s110.剖析：方程的思想，将题目条件运用前 n 项和公式，表示成关于首项 a1和公差 d 的两个方程.解：设an的首项为 a1，公差为 d，则,109910021100,100910211011dada解得.1001099,50111das110=110a1+110109d=110.21解：当 n=1 时，a1=s1=1212=11；当 n2 时，an=snsn1=12nn212（n1）（n1）2=132n.n=1 时适合上式，an的通项公式为 an=132n.由 an=132n0，得 n，21

9、3即当 1n6（nn*）时，an0；当 n7 时，an0.（1）当 1n6（nn*）时，tn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+an=12nn2.（2）当 n7（nn*）时，tn=|a1|+|a2|+|an|=（a1+a2+a6）（a7+a8+an）=（a1+a2+an）+2（a1+a6）=sn+2s6=n212n+72.tn= 72121222nnnn)., 7(), 61 (*n nn nnnnn深化拓展答案：tn=. 72, 66nssnsnn夯实基础1.等差数列an中，a100，a110 且 a11|a10|，sn 为其前 n 项和，则a.s1，s2，s10都小于 0，s11，

10、s12，都大于 0b.s1，s2，s19都小于 0，s20，s21，都大于 0c.s1，s2，s5都小于 0，s6，s7，都大于 0d.s1，s2，s20都小于 0，s21，s22，都大于 03.在等差数列an中，公差为，且 a1+a3+a5+a99=60，则 a2+a4+a6+a100=_.21答案：854.将正偶数按下表排成 5 列：第 1 列第 2 列第 3 列第 4 列第 5 列第 1 行2468第 2 行16141210第 3 行182022242826那么 2004 应该在第_行第_列.答案：251 35.（04 年全国）等差数列an的前 n 项和为 sn，已知 a10=30，a2

11、0=50.（1）求通项an；（2）若 sn=242，求 n.an=2n+10 n=11 或 n=22（舍）6.设等差数列an的前 n 项和为 sn，已知 a3=12，s120，s130.（1）求公差 d 的取值范围；d3724（2）指出 s1，s2，s3，s12中哪一个最大，并说明理由.s6最大7.（1）证明：an=2snsn1，sn+sn1=2snsn1（n2） ，sn0（n=1，2，3）.=2.ns111ns又=2，是以 2 为首项，2 为公差的等差数列.11s11ans1（2）解：由（1） ，=2+（n1）2=2n，sn=.当 n2 时，an=snsn1=ns1n21n21=或 n2 时

12、，an=2snsn1= ；) 1(21n) 1(21nn) 1(21nn当 n=1 时，s1=a1=.21an= ) 1(2121nn).2(),1(nn1、 设an为等差数列，sn为数列an的前 n 项和，已知 s7=7，s15=75，tn为数列的nsn前 n 项和，求 tn.tn=n2n4149（2009 江苏卷） 【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分 14 分。（1）设公差为d，则22222543aaaa，由性质得43433 ()()d aad aa，因为0d ，所以430aa，即1250ad，又由77s 得176772ad，解得15a ，2d ,(2) （方法一）12mmma aa=(27)(25)23mmm,设23mt， 则12mmma aa=(4)(2)86ttttt , 所以t为 8 的约数（方法二）因为1222222(4)(2)86mmmmmmmma aaaaaaa为数列 na中的项，故m+28 a为整数，又由（1）知：2ma为奇数，所以2231,1,2mamm 即经检验，符合题意的正整数只有2m 。. 10.（09 福建文）等比数列na中，已知142,16aa . （i）求数列na的