一种适用于微机保护的新的递推DFT算法

1、首页- > 学术论文中心一种适用于微机保护的新的递推dft算法张立华徐文立常成冯大为摘要：为减少离散傅里叶变换(dft)算法的计算量，人们利用一种很自然的增减数据项的方法提出了递推傅里叶变换算法，但在某些情况下，该传统递推算法并不太适用。文中基于三角函数的和差公式以及线性方程组的求解，提出了一种新的递推离散傅里叶变换算法，它的计算量与传统递推算法接近，但可以解决传统递推算法不易解决的许多问题，如适用于人们提出的克服电力系统中衰减直流分量对dft影响的一些方法中，因而具有广阔的应用前景。关键词：离散傅里叶变换(dft)； 递推dft； 继电保护； 衰减直流分量0引言傅里叶变换1有着严密完整

2、的数学体系和明确的物理意义，即使在小波变换倍受重视的今天，仍然是广泛使用的进行信号频谱分析的重要数学工具。但它的计算量较大，特别是当电力系统中需要测量的信号种类较多或每周期需要采样的点数较多时计算量更大，因此不适合在目前运算速度相对较低的单片机中使用。为此，人们利用一种很自然的方法提出了递推傅里叶变换算法，大大减少了计算量。值得注意的是，在某些情况下，完整傅氏算法可以适用，而递推算法却并不适用。比如，在电力系统发生故障时，由于衰减直流分量的影响，直接使用傅里叶变换算法无法求得系统中真实的基频信号（或其他倍频信号）的幅值。为此，人们提出了多种算法来克服衰减直流分量的影响24。但这些算法的基础仍是

3、傅氏算法，显然计算量很大。一个直观的想法就是使用递推傅氏算法。但遗憾的是，传统的递推算法并不适用于此问题。本文基于三角函数的和差公式以及线性方程组的求解，提出了一种新的递推离散傅里叶变换算法。1传统递推离散傅里叶变换算法应用傅里叶分析方法可直接计算出信号的频谱和频谱密度，如今，它已成为信号分析与系统设计领域不可缺少的重要工具。当连续时间信号x(t)为周期信号时（设周期为t），其傅里叶变换与傅里叶级数在形式上具有统一性。以傅里叶级数为例，它的基本形式如下：(1)一旦固定了表达信号x(t)的坐标轴的坐标原点，由于x(t)及三角函数的周期性，无论t0取何值，ak，bk都将始终保持不变，因而计算出的信

4、号的相位（等价于ak，bk的比值）也是恒定的。由于信号的相位都是相对于某一坐标原点定义的，因此，对于具有相同坐标原点的不同信号，在不同时刻t0应用式（1）计算出的相量表达式的相位具有绝对可比性。当傅里叶分析方法应用于数字计算机时需采用离散化的形式，即离散傅里叶变换（dft），它可由式（1）离散化得到。设信号x(t)每周期的采样点数为n，即采样间隔ts=t/n，而当前采样(计算)时刻t0=mts，则dft的公式可表达为：(2)(3)从式（2）、式（3）不难看出，使用dft算法计算信号的一个谐波分量，共需2n次乘法和2（n1）次加法，计算量相当大，而且全部数字信号处理的运算量随所需计算的信号种类数

5、、谐波数目和每周期采样点数n的增加而显著增加。因此，人们考虑了多种手段以减少dft的运算量或提高其响应速度：尽可能地减少采样点数n，一般认为n取12即可满足继电保护精度要求；选取合适的n以使正余弦序列尽可能取易于计算的值，从而将乘法运算减少或转化为移位操作；对信号模型适当简化，如忽略信号中的偶次谐波分量，可导出计算量减半的半波傅氏算法5；使用瞬时值突变量启动元件来开始dft的计算，以此提高系统的响应能力；提出运算量比dft小的其他滤波算法等。上述办法虽然能在一定程度上减少计算量，加快系统的响应速度，但它们都对问题进行了或多或少的简化，因此适用范围窄，也不能从根本上大幅度减少dft算法的计算量。

6、为此，人们针对式（2）、式（3）的dft采用了递推算法。其想法十分简单直观，根据式（2）、式(3)，第m次采样与第m-1次采样的dft公式的差别只在第m次采样值和第m次采样值的前一周期的同相位点即第m-n次采样值，而其他n-1项相同。据此，可有下列递推公式：(4)显然，计算式(4)只需2次乘法和4次加、减法，且与n选取无关，极大地减少了dft的运算量，而且不需任何简化，因此具有广泛的使用价值。2克服衰减直流分量的算法傅里叶级数和dft算法的基础是假定输入信号是周期函数，此时该信号可分解为整数倍频率的分量之和，其中包括恒定的直流分量。但在电力系统中，实际输入信号中包含非周期分量衰减的直流分量，因

7、此，按dft计算的基频（或其他倍频）分量的结果必然带来误差。下面简要回顾文献2介绍的一种克服衰减直流分量对dft影响的算法。设输入信号为：(5)其中ce-t/为衰减直流分量。设每周期的采样点数为n，即采样间隔ts=t/n，则第m次采样值为：(6)其中imd为衰减直流分量;ima为交流分量;r=e-mts/。考虑到交流分量在一个周期积分时值为零，以矩形积分近似，有(7)故(8)根据式(8)，易得衰减直流分量的初始值为：(9)经过一个采样间隔后变为：(10)用式（10）除以式（9），可得：(11)至此，仅根据采样值可利用式（9）、式（11）求出衰减直流分量的初值和时间常数。我们注意到，当按式（2）

8、、式（3）进行dft运算时，所使用的三角函数的自变量值的顺序是不断变化的。而为了便于推导，文献6中采用了另外一种三角函数固定排列的计算dft的公式：(12)(13)按式（12）对输入信号进行dft，则有：(14)其中故信号中真正的k次谐波实部应为：(15)同理，可求出真正的k次谐波虚部修正公式为：(16)其中显然，当衰减直流分量的时间常数已知时，修正系数ka，kb可事先离线算出。值得注意的是，式（15）、式（16）是以形如式（12）、式（13）的三角函数自变量固定的dft公式计算出来的。因此，如果希望使用递推算法来简化计算，则基于式（4）的传统递推dft并不适用，而应针对式（12）、式（13）

9、提出新的递推算法。3新的递推dft算法首先将式（12）中的求和公式的第1项单独提出来，并对剩余项的三角函数的自变量进行分解，分别提取出，结果如下：对其进一步使用三角函数的求和公式，并整理得：再由式（12）、式（13），上式可改写为：(17)按照同样方法，可由式（13）得到：(18)显然，式（17）、式（18）组成二元线性方程组，据此，可求出如下结果：(19)将式（19）所定义的新的递推dft算法与传统递推dft算法相比较，易见，新算法的计算量只比式（4）定义的传统算法多一次乘法，因此同样具有计算量小的特点，并且，由于它是按照克服衰减直流分量的算法中所采用的dft计算公式所推导出来的，因此更适合

10、实现克服衰减直流分量的递推算法。4克服衰减直流分量对dft影响的递推法首先考虑衰减直流分量的时间常数已知的情况，不难给出基于新的递推dft的克服衰减直流分量的递推算法。4.1时间常数已知的克服衰减直流分量的递推法a.采样当前时刻m的信号数据x(m)，根据前一采样时刻计算出来的信号实部ak(m-1)与虚部bk(m-1)，按照式（19）计算当前时刻的实部ak(m)与bk(m)；b.采用事先离线算好的修正系数ka,kb，根据修正公式（15）、式（16）计算信号的真实实部ak与虚部bk。先考虑修正系数ka的计算公式的化简。根据cos =(ej+e-j)/2，不难得到如下表达式：(20)易见它由3个级数

11、的和构成，利用等比级数的求和公式，经过进一步化简和推导，可得：(21)显然，按式（21）计算ka的计算量远小于原计算公式的计算量。同理，根据sin =(ej-e-j)/(2j)，可得到修正系数kb的简化计算公式为：(22)显然，上述公式之所以有如此简单的计算形式，是因为推导过程中采用了形如式（12）、式(13)的dft公式，进一步说明了新的递推算法的意义。有了以上简化公式，不难给出衰减时间常数未知的克服衰减直流分量对dft影响的递推算法。4.2时间常数未知的克服衰减直流分量的递推法a.采样当前时刻m的信号数据x(m)，根据式(11)计算与时间常数有关的r；b.采用式（21）、式（22）计算当前

12、时刻的修正系数ka，kb；c.根据前一采样时刻所计算出的信号实部ak(m-1)、虚部bk(m-1),按照式（19）计算当前时刻的实部ak(m)与虚部bk(m)；d.采用当前的修正系数ka，kb，根据修正公式（15）、式（16）计算信号的真实实部ak与虚部bk。5结语本文基于三角函数的和差公式以及线性方程组的求解，提出了一种新的递推离散傅里叶变换算法。它的计算量与传统递推算法接近，并且能够解决传统递推算法不便解决的一些问题，比如，它适用于克服电力系统中衰减直流分量对dft影响的许多算法。由此可见，新的递推dft为很多计算量较大的算法应用于计算能力相对较低的嵌入式系统创造了条件，因而具有广阔的应用前景。基金项目：河南省“九五”科技攻关项目(9611201