山东建筑大学概率论作业纸答案

1、1二、2.设随机变量 X的概率密度为 000122xxxxf当当当当求随机变量函数 XYln 的概率密度。 解)(ln)()( yXPyYPyFYyY 的的分分布布函函数数，随随机机变变量量对对于于任任意意的的实实数数)(yeXP yedxxf0)(的的概概率率密密度度为为随随机机变变量量函函数数 Y yyYYeefyFyf )()( 122 yyeeRy 或 是是单单增增函函数数，xyln 其反函数为 .yex .yex 的概率密度为的概率密度为YyyYeefyf )()( 122 yyee 第1页/共25页2二、3.设随机变量 X 服从0，2上的均匀分布，求 在(0,4)内的概率密度函数。

2、 2XY 解,的的分分布布函函数数随随机机变变量量对对于于任任意意的的实实数数Yy yYPyFY yXP 2 ,X20的的取取值值区区间间是是因因为为 .,Y40的的取取值值区区间间是是所所以以; 0)(,0 )1( yFyY时时当当 ;)y(F,yY142 时时当当 ,y时时当当40 3 yXyPyXPyFY 2 dxxfyyX 221000-ydxdxyy 第2页/共25页3的分布函数的分布函数所以，随机变量所以，随机变量Y .y,;y,y;y,)y(FY4140200上式两边对 y 求导数，即得Y 的概率密度 .,;y,y)y(fY其它其它04041第3页/共25页4二、4 一批产品中有

3、a件合格品与b件次品，每次从这批产品中任取一件，取两次，方式为：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。设随机变量X及Y写出上述两种情况下二维随机变量(X,Y)的概率分布及边缘分布 分别表示第一次及第二次取出的次品数， 并说明X与Y是否独立。（1）放回抽样 解1122)(baa j i00XY2)(baab )(baa )(bab )(baa )(bab 2)(baab 22)(bab 11) 1)() 1( babaaa j i00XY) 1)( babaab)(baa )(bab )(baa )(bab ) 1)( babaab) 1)() 1( bababb（2）不放回抽样 X与Y相互独立.

4、X与Y不独立. 01,jipppjiij01,jipppjiij第4页/共25页5二、5.把三个球随机地投入三个盒子中，每个球投入盒子的可能性 是相同的。设随机变量X及Y分别表示投入第一个及第二个盒子球的个数，求(X,Y )的概率分布及边缘分布解)3. 3 , 2 , 1 , 0,( 3),(333 jijiCCjYiXPjii271273 j i27327127827127327327327627300000027827122712276276271271XY11220033由此得(X,Y)的二维概率分布如下：第5页/共25页6二、6.随机地掷一颗骰子两次，设随机变量 X 表示第一次出现的点

5、数,Y 表示两次出现的点数的最大值，求(X,Y)的概率分布及Y 的边缘分布。解即 jijijiijijYiXP . 6 , 2 , 1,36,361,X，Y 的所有可能的取值为1，2，6.（i i ）当ji 时， 36,12ijXiXPjYiXPij 3616161 （i）当ji 时， jXiXPjYiXP 2,)()(2jXPiXP X2 表示第二次出现的点数,第6页/共25页7YX1234561234561/360000000000000001/361/361/361/361/362/361/361/361/361/361/361/363/361/361/364/361/361/365/3

6、66/36Y 的边缘分布为：Y jyP213456361121365367413611第7页/共25页8二、7. 设二维随机变量（X,Y）在矩形域 dycbxa ,上服从均匀分布，求（X,Y）的概率密度及边缘概率密度。X与Y是 否独立？ 解（X,Y）的概率密度 其其它它dycbxacdabyxf , 0)(1),(X边缘概率密度 dyyxfxfX),()(其其它它bxaab 01Y边缘概率密度 dxyxfyfY),()(其其它它dyccd 01故X与Y是 相互独立。 ),y(f)x(fy,xfYX 因因第8页/共25页9二、8. 设二维随机变量（X,Y）在联合分布列为2132161911813

7、1 YX试问 为何值时，X,Y才能独立？ ， 911819161219121YXpp)Y,X(P解 18118191613118131YXpp)Y,X(P解得.,9192 要使X,Y独立需满足第9页/共25页10二、9：设 (X,Y）的分布函数为：)3arctan)(2arctan(),(yCxBAyxF （1）确定常数A, B, C；（2）求(X,Y）的概率密度；（3）求边缘分布函数及边缘概率密度。X、Y是否独立？解 0)2)(2arctan(),( CxBAxF0)3arctan)(2(),( yCBAyF 对任意的x与y，有,2,12 CBA（1）1)2)(2(),( CBAF)0( A

8、第10页/共25页11)3arctan2)(2arctan2(1),(2yxyxF （2）),(),(yxFyxfyx 2293)2arctan2(1yxdxd 22293421yx xFX),( xF)2arctan2(1x yFY),(yF )3arctan2(1y )(xfX xFX )4(22x )(yfY yFY )9(32y X与Y 的边缘密度函数为：X的边缘分布：（3）Y的边缘分布函数为：X与Y是相互独立的。).()(),(yfxfyxfYX 第11页/共25页12二、10.设 (X,Y）的密度函数为： .yx.;y,xAe)yx(00 000 32或或当当当当， ),(yxf求

9、：（1）常数A；（4）求(X,Y)落在区域R： （2）分布函数F(x, y)；解 dxdyyxf),(（1） 00)32(dxdyAeyx 0302dyedxeAyx13121 A6 A（2） 632 , 0, 0 yxyx内的概率。（3）边缘密度函数； 时，时，且且当当 yx00 yxvududveyxF00)32(6),()1)(1(32yxee yvxudvedue03026时，时，或或当当00 yx显然，F(x,y)=0 第12页/共25页13（3 ） dyyxfxfX),()(xyxedye20)32(26 时，时，当当 x0时，时，当当0 x;0)( xfX 0, 00,2)(2x

10、xexfxX同理： 0, 00,3)(3yyeyfyY第13页/共25页14 xyxR322030: 303220)32(6xyxdydxeP 202330)32(6yyxdxedy（4） 所求的概率为： RyxdxdyyxfP,),(yx632 yx32 20633)1(3dyeeyy 2063)(3dyeey983. 06)1(66 ee 632),(yxdxdyyxf第14页/共25页15概率论与数理统计作业7（2.12）1.一个商店每星期四进货, 以备星期五、六、日3天销售, 根据多周统计, 这3天销售件数 彼此独立, 且有如下表所示分布:321X,X,X0.10.70.2P12111

11、01X0.10.60.3P1514132X0.10.80.1P1918173X问三天销售总量 这个随机变量可以取那些值？如果进货45件，不够卖的概率是多少？如果进货40件，够卖的概率是多少？ 31iiXY第15页/共25页16解：Y可以取40,41,42,43,44,45,46.进货45件，不够卖的概率为 ;.XPXPXP0010191512321 进货40件，够卖的概率是 .XPXPXP0060171310321 2.袋中装有标上号码1，2，2的3个球，从中任取一个并且不再放回，然后再从袋中任取一球，以X,Y分别记为第一次，二次取到球上的号码数，求X+Y的概率分布律。XY1122031313

12、1YX P332314解：第16页/共25页173.(X ,Y)只取下列数组中的值 且相应的概率依次为 列出(X ,Y)的概率分布表，并求出X-Y的分布律。 023111100, ，1251213161解：3161311211250020-100010YX第17页/共25页183161311211250020-100010YXYXZ 具有可能值：显然，23510311342，,31P 2 0 -2X-Y34 12112561第18页/共25页194. 设随机变量X与Y独立，且X在区间0,1内服从均匀分布： 10, 0 10, 1xxxxfX或或Y在区间 2 , 0内服从辛普生分布： 20 ,

13、021 ,210 ,yyyyyyyfY或或 求随机变量 YXZ 的概率密度. 解 dxxzfY 10 dttfzzYxzt 1 zfZ dxxzxf , dxxzfxfyX 第19页/共25页20012z1 z 20021210yyyyyyyfY或或 dttfzzY 1(1)当 z 3 时, 0 zfZ,22z,2332 zz32 z,29322 zz0z121 z0121 z 20021210yyyyyyyfY或或第21页/共25页22的概率密度为Z, 0其它其它 zfZ;10 z21 z,22z,2332 zz32 z,29322 zz第22页/共25页23ijLL11L13L21L12L22L235. 电子仪器由六个相互独立的部件)3 , 2 , 1; 2 , 1( ji如图，设各个部件的使用寿命ijX服从相同的指数分布 e求仪器使用寿命的概率密度。组成，解各部件的使用寿命 3 , 2 , 1 , 2 , 1 , jiXij的分布函数 0 , 0 0 ,1)(xxexFxij先求三个并联