高中人教版必修二点直线平面之间的位置关系直线与方程圆与方程知识点综合典型习题

1、 第二章 点、直线、平面之间的位置关系一、平面的基本性质：归纳（公理1）：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。符号语言：。公理1作用：判断直线是否在平面内。直线l在平面内（平面经过直线l），记作：；直线l在平面外，记作：。归纳（公理2）：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示：a、b、c三点不共线有且只有一个平面 ，使a 、b 、c 。公理2作用：确定一个平面的依据。推论1：过一条直线和直线外一点确定一个平面。推论2：两条相交直线确定一个平面。推论3：两条平行直线确定一个平面。归纳（公理3）：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直

2、线。符号表示：p = l，且p l。公理3作用：判定两个平面是否相交的依据。二、空间中直线与直线之间的位置关系1、异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线。2、空间两条直线的位置关系：共面直线 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。3异面直线的判定：（1）既不相交也不平行的两条直线是异面直线。 （2）过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。数学语言：直线ab与直线l是异面直线。 4异面直线所成角的定义已知异面直线a、b，经过空间中任一点o作直线a' a、b' b，

3、把a' 与b' 所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。范围：。例一：如图，在正方体abcda1b1c1d1中，e、f、g、h分别为aa1、ab、bb1、bc1的中点，则异面直线ef与gh所成的角等于（ ）（a）45° （b）60° （c）90°（d）120°acbsef例二：在正四面体sabc中，sabc，e、f分别为sc、ab的中点，那么异面直线ef与sa所成的角等于（ ）（a）30° （b）45° （c）60° （d）90° 5平行公理：（公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相

4、平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线，。6等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或者互补。三、直线与平面的位置关系归纳：直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 有无数个公共点，记作：；（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点，记作：；（3）直线在平面平行 没有公共点，记作：。直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用来表示。例1：下列命题中正确的个数是（ ）（1）若直线l上有无数个点不在平面内，则l / ；（2）若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行；（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；（4）若直线l

5、与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点；（5）平行于同一平面的两条直线互相平行。（a）0 （b）1 （c）2 （d）3答案：b直线与平面平行的判定（直线与平面平行的判定定理）平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。符号语言：。作用：线线平行，则线面平行。将直线与平面平行关系（空间问题）转化为直线间平行关系（平面问题）。定理的应用例：如图在正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别是棱bc、c1d1的中点，求证：ef / 平面bdd1b1。证明线面平行的一般步骤是：（1）证线线平行；（2）说明两直线一条在面内，另一条在面外；（3）由判定定理得到结论。（直线与平

6、面平行的性质定理）：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。符号语言：。长方体abcda1b1c1d1中，点（异于b、b1），求证：mn / 平面abcd。四、平面与平面平行的判定（两个平面平行的判定定理）：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。线不在多，相交就行。符号语言：。作用：线面平行，则面面平行。（两个平面平行的性质定理）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号语言：。可以由平面与平面平行得出直线与直线平行。 平面平行的传递性：如果平面 / 平面，平面 / 平面，则平面 / 平面。例1、已知正方体abcda1b

7、1c1d1，求证：平面ab1d1/平面c1bd。分析：由ab1 / dc1，得ab1 / 平面c1bd；ad1 / bc1，得ad1 /平面c1bd，例2：如图， / ，a、c，b、d，且a、b、c、d不共面，e、f分别是ab、cd的中点，求证：ef / ，ef / 。分析：欲证线面平行，可先证面面平行，再结合面面平行的定义从而得证。证明：连结ad，取ad的中点为g，连结eg，因为e为ab的中点，所以eg为abd的中位线，所以eg / bd，因为eg平面，bd平面，所以eg / 。连结gf，同理证得gf / ，又eggf = g，所以平面egf / 平面，又ef平面egf，所以ef / ，同理

8、ef / 。五、直线与平面垂直的判定与性质1、直线与平面垂直的定义：直线l与平面内的任意一条直线都垂直。记作：l 。直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面，垂线与平面的交点p叫做垂足。2、直线与平面垂直的判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。符号语言：。作用：由线线垂直得到线面垂直。（线不在多，相交就行。）强调： 定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。（直线与平面垂直的性质）：垂直于同一平面的两条直线平行。说明：可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行，性质定理揭示了“平行”与“垂

9、直”之间的内在联系。（三）课堂练习：课本p67，练习1、2。1、如图，在三棱锥vabc中，va = vc，ab = bc，求证：vbac。六、直线与平面所成的角1、直线与平面所成角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。注：l 时，所成角为90°；l / 时，所成角为0°。范围：。dcaba1b1d1c12、应用举例：例1：在正方体abcda1b1c1d1中，求：（1）直线a1b和平面a1b1cd所成的角；（2）直线db1与平面abcd所成角的正弦值。解（1）连结bc1交b1c于点o，连结oa1，因为a1b1平面bcc1b1，所以

10、a1b1bc1，因为bcc1b1为正方形，所以b1cbc1，又，所以bo平面a1b1cd，所以ba1o为直线a1b和平面a1b1cd所成的角，且boa = 90°，设正方体的棱长为a，则，所以，得ba1o = 30°，所以直线a1b和平面a1b1cd所成的角为30°。（七、二面角及其平面角1、二面角的有关概念角二面角图形 a 边 顶点 o 边 ba 梭 l b定义从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形构成射线 点（顶点）一 射线半平面 一 线（棱）一 半平面表示aob二面角 l 或 ab 3（三）求二面角的大小例1

11、：如图，在三棱锥vabc中，va = vb = ac = bc = 2，ab =，vc = 1，试画出二面角vabc的平面角，并求它的度数。八、平面与平面垂直的判定与性质（两个平面垂直的判定定理）：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。符号语言：。作用：由线面垂直得到面面垂直。（两个平面垂直的性质定理）：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。符号语言：设，则有ab 。作用：由面面垂直得到线面垂直。4、应用举例例：如图，ab是圆o的直径，pa垂直于圆o所在的平面，c是圆周上不同于a、b的任意一点，求证：平面pac平面pbc。证明：设圆o所在平面为 ，由已知条件，p

12、a ，bc在内，所以pabc，因为点c是圆周上不同于a、b的任意一点，ab是圆o的直径，所以bca是直角，即bcac。又因为pa与ac是pac所在平面内的两条相交直线，所以bc平面pac，又因为bc在平面pbc内，所以平面pac平面pbc。 第3章 直线与方程知识点1、直线的倾斜角和斜率公式：；2、直线方程的五种形式：点斜式： 两点式：过点（0，b） 过点（a，0），（0，b）斜截式： 截距式： 一般式：ax + by + c = 03、两条直线的位置关系：（1）两条直线相交：求两条直线的交点（解方程组）；两条直线垂直：。（2）两条直线平行：；点到直线的距离公式：；两条平行直线间的距离：。（二

13、）应用举例，深化巩固直线的倾斜角是 。 （1）若，则直线x cot y 3 = 0的倾斜角是 。 （2）直线y = k x + 3必经过一定点，这个定点的坐标是 。 （3）不论m取何值，直线(m 1) x y + 2m + 1 = 0恒过一定点，这个定点的坐标是 。（4）abc中，a的平分线所在的直线为x轴，若a (3 , 0) , b (1 , 2)，求ac边所在直线的方程。 （5）已知直线l 1 : y = x与，在两直线上方有一点p，p到l 1 , l 2的距离分别为和，又过点p分别作l 1 , l 2的垂线，垂足为a , b，求：（1）点p的坐标； （2）|ab|的值。第四章圆与方程（

14、一）整合知识，发展思维1、圆的方程及其特点：（1）标准方程：（2）一般方程：（）x 2和y 2的系数相同，且不等于0；没有xy这样的二次项。（3）圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显；圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。（4）圆的标准方程与一般方程可以相互转化。2、位置关系：（1）点与圆的位置关系：>，点在圆外；=，点在圆上；<，点在圆内。（2）直线与圆的位置关系方法一：直线与圆有无公共点，等价于它们的方程组成的方程组有无实数解。方程有几组解，直线与圆就有几个公共点；方程组没有实数解，直线与圆就没有公共点。方法二：判断圆c的圆心c到直线的距离与圆的

15、半径的关系：（1）当时，直线与圆相离；求圆上任意一点到直线的距离的最值；（2）当时，直线与圆相切；求圆的切线方程；（3）当时，直线与圆相交；求弦长。（2）圆与圆的位置关系方法一：圆与圆有无公共点，等价于它们的方程组成的方程组有无实数解。方程有几组解，圆与圆就有几个公共点；方程组没有实数解，圆与圆就没有公共点。方法二：依据圆心距= |c1c2|与两半径长的和或两半径的差的绝对值的大小关系，判断两圆的位置关系：（1）当时，圆与圆相离；（2）当时，圆与圆外切；（3）当时，圆与圆相交；（4）当时，圆与圆内切；（5）当时，圆与圆内含。（二）应用举例，深化巩固例1、一圆与y轴相切，圆心在直线x 3y = 0上，且直线y = x截圆所得弦长为，求此圆的方程。例3、已知直线x my + 3 = 0和圆x 2 + y 2 6x + 5 = 0，（1）求实数m，使直线