导数及其应用(数学教案,知识点完整归纳)

1、课题名称导数及其应用1，导数的定义及其几何意义；2，求导基本公式；3，四则运算求导法则，复合求导法则；同步教学知识内容教学目标4，导数在求函数求单调性、极值、最值中的应用；5，定积分的定义、几何意义、应用；6，微积分基本定律重视对基本定义、概念的理解，掌握基本的运算公式，掌教学重点个性化学习问题解决握中等难度的常规题目的解题思路与方法。做题时注意细节，注重解题方法、思路的归纳总结。1，求导的四则运算法则、复合求导法则；2，导数的应用；3，定积分概念、几何意义及应用；4，微积分基本定律；导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用教学难点定积分的应用教务部主办审批- 1 -一、基本知识点f

2、(x0x)f ( x0 )1，导数：当x 趋近于零时，x趋近于常数 C。可用符号 “ ”记作：当f ( x0x)f (x0 )limf ( x0x)f ( x0 )cx 0 时，xc 或记作 x0x，符号“ ”读作 “趋近于 ”。函数在x0的瞬时变化率，通常称作f ( x)在xx0处的导数，并记作f ( x0 ) 。即f ' (x0 )l i mf ( x0x)f ( x0 )x0x2，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。即若点P(x0 , y0 ) 为曲线上一点，则过点 P(x0 , y0 ) 的切线的斜率k切 f 

3、9; ( x0 )l i mf (x0x)f (x0 )x0x由于函数 yf ( x) 在 xx0 处的导数，表示曲线在点 P(x0 , f ( x0 ) 处切线的斜率，因此，曲线y f ( x)在点P(x0 , f ( x0 )处的切线方程可如下求得：（1）求出函数 yf ( x) 在点 xx0 处的导数，即曲线 yf (x)在点 P(x0 , f ( x0 ) 处切线的斜率。（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下， 求得切线方程为： y y0f ' ( x0 )( x x0 ) ，如果曲线 yf (x)在点 P( x0 , f ( x0 ) 的切线平行于 y 轴（此时导数不存在）时

4、，由切线定义可知，切线方程为xx0 ，故过点 P(x0 , y0 ) 的切线的方程为：y y0 f ' ( x0 )( x x0 )3，导数的四则运算法则：（1） ( f ( x) g (x)f (x)g (x)（2） f (x) g( x)f ( x) g(x) f (x)g ( x)（3）f ( x)g( x) f ( x)f (x) g (x)g( x)g 2 ( x)- 2 -4，几种常见函数的导数：(1) C0(C为常数 )（n）nxn1(n Q )(3) (sin x)cos x(2) x(4) (cos x)sin x(5) (ln x)1(6) (log a x)1 l

5、og a exx(7) (ex )ex(8) ( a x )a x ln a5，函数的单调性：在某个区间 (a,b) 内，如果 f ' ( x)0，那么函数 yf (x) 在这个区间内单调递增；如果f ' ( x)0 ，那么函数 yf ( x) 在这个区间内单调递减。6，函数的极值求函数 y fx 的极值的方法是：解方程f x0 当 f x00 时：1如果在 x0 附近的左侧 fx0 ，右侧 fx0 ，那么 fx0是极大值；2如果在 x0 附近的左侧 fx0 ，右侧 fx0 ，那么 fx0是极小值7，函数的最大值和最小值（ 1）设 yf ( x) 是定义在区间a,b 上的函数，

6、 yf ( x)在 (a,b)内有导数，求函数yf ( x) 在 a, b 上的最大值与最小值，可分两步进行：1 求 yf ( x) 在 (a, b) 内的极值；2 将 yf ( x) 在各极值点的极值与f ( a) 、 f (b) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值；（ 2）若函数 f (x) 在 a,b 上单调增加，则 f (a) 为函数的最小值， f (b) 为函数的最大值；若函数 f (x) 在 a, b 上单调递减，则 f (a) 为函数的最大值， f (b) 为函数的最小值 .注意：（1）在求函数的极值时，应注意：使导函数f (x) 取值为 0 的点可能是它的极值点，

7、也可能不是极值点。例如函数f (x)x3 的导数 f ( x)3x2 ，在点 x0 处有f (0)0 ，即点 x0 是 f (x)x3 的驻点，但从f ( x) 在,上为增函数可知，点 x0 不是 f ( x) 的极值点 .（ 2）在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域 .如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可- 3 -导（其实只要是初等函数， 它在自己的定义域内必然可导） ，并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值，然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个点使得导函数为0，那么立即可以断定在这个点处的函数值就是最大（小）值

8、。（ 3）极大（小）值与最大（小）值的区别与联系。8，定积分的定义如果函数f(x) 在区间 a， b 上连续，用分点a x0<x1< xi 1<xi < xn b，将区间a，b等分成 n个小区间，在每个小区间 ，x上任取一点 ， ， ， ，作和xi 1 i i(i 1 2n)nn ba式 f ( i ) xf ( i ) ，当 n时，上述和式无i 1i 1n限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间 a， bbn上的定积分， 记作 bf(x)dx。即 f ( x) dx = limanai 1b af ( i ) 。n注：在bf(x)dx 中中 f(x) 叫做被积函

9、数， x 叫做积分变量，f(x) dx 叫做被积式， b，aa分别叫做积分上限和下限，区间a,b 叫做积分区间。9，曲边梯形：曲线与平行于y 轴的直线和 x 轴所围成的图形，通常称为曲边梯形。根据定积分的定义，曲边梯形的面积 S 等于其曲边所对应的函数y f (x) 在区间 a ，b 上的定积分，即 Sbf ( x)dx 。求曲边梯形面积的四个步骤：a第一步：分割在区间a ，b 中插入 n1 各分点，将它们等分成 n 个小区间 xi 1 ，xii1 ，2 ， ，n ，区间 xi 1 xi的长度 xi xi xi 1；，第二步：近似代替， “以直代曲 ”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求

10、出每个小曲边梯形面积的近似值；第三步：求和；第四步：取极限。10，定积分的几何意义：bf ( x) dx 表示介于 x 轴 ,曲线 y=f(x) ，与直线 x=a,x=b 之间部分a的曲边梯形面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号。如下图（ 1）（2）：- 4 -11，微积分基本定理 (牛顿 -莱布尼兹公式 )：如果F ( x) f (x)，且f ( x)在 a , bbdx F b)F a，其中F ( x)叫做f (x)的上可积，则 f x( )( )a一个原函数。由于 F ( x)cf (x) ， F ( x)c 也是 f ( x) 的原函数，其中 c 为常数一般

11、地，原函数在 a , b 上的改变量 F (b)F (a ) 简记作 F ( x) ab ，因此，微积分基本定理可以写成形式：bF (x) baF (b)F ( a) f ( x)dxa12，定积分的性质 :bbkf (x )dxk f (x )dxaa,(其中 k 为常数 )；bg(x ) dxbb f ( x)f ( x) dxg(x )dx ；aaabcb f (x ) dxf ( x)dxf (x )dx (其中 a<b<c)。aac13，利用函数的奇偶性求定积分 :若 f(x) 是 -a,a上的奇函数 ,则af (x )dx 0 ;若 f(x) 是-a,aaaa上的偶函数

12、 ,则 f (x )dx 2f (x )dx .a014，定积分的求法：定义法(用微分思想求曲边梯形的面积，分割、近似代替、求和、取极限 )；牛顿 -莱布尼兹公式法；几何意义法:若 y=f(x) 、x 轴与直线 x=a,x=b 之间的各部分区域是可求面积的规则图形，则可直接求其面积；利用奇、偶函数的性质求。二、经典例题练习1，若函数 yf ( x) 在区间 ( a, b) 内可导，且 x0(a,b) 则 limf (x0 h) f (x0h) 的值为（ ）h 0hA f ' (x0 )B 2 f ' (x0 )C 2 f ' ( x0 )D 02，若 f ( x0 )2

13、 ，则 limf ( x0k)f ( x0 ) 等于。k02k，已知曲线13的一条切线方程是y4x4，则 m 的值为（）3yxmA. 4328C.4或28D.2或 13B.3333334，若曲线的一条切线 与直线垂直，则 的方程为A BCD5，已知函数 f (x)ax3(2a1)x 22 ，若 x1 是 yf ( x) 的一个极值点，则 a 值为（）A 2B.-2C.2D.4x3ax2a 2 在 x76，已知函数 f (x)bx1处有极值为 10，则 f (2) =- 5 -7，已知直线 l1 为曲线 f ( x)x 3x2 在点（ 1，0）处的切线，直线 l 2 为该曲线的另一条切线，且 l

14、 2 的斜率为 1.1 求直线 l 1 、 l 2 的方程；2 求由直线 l1 、 l 2 和 x 轴所围成的三角形面积。8，已知函数f (x)ax3bx23x 在 x1处取得极值 .1 讨论 f (1)和 f ( 1) 函数的 f ( x) 的极大值还是极小值；2 过点 A(0,16) 作曲线 y f ( x) 的切线，求此切线方程 .9，已知函数f (x)ax33x2x1 在 R 上是减函数，求 a 的取值范围；10，已知函数 f（ x） x3ax2bxc 在 x - 2 与 x1 时都取得极值3（1）求 a、 b 的值与函数 f（x）的单调区间（2）若对 x 1， 2，不等式 f （x

15、） c2 恒成立，求 c 的取值范围。11，甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸 40 km 的 B 处，乙厂到河岸的垂足D 与 A 相距 50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3 a 元和 5 a 元，问供水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省？三、专题测试一、选择题（每小题4分, 共48分）ACD1设函数 yf ( x) 可导，则 limf (1x)f (1) 等于（）x03xA f '(1)B 3 f'(1)C1f '(1)D 以上都不对32一个物体的运动方程为 s1

16、tt 2 其中 s 的单位是米， t 的单位是秒，B那么物体在 3 秒末的瞬时速度是（）A 7 米/秒B 6 米/秒C 5 米/秒D 8米/秒3若曲线3A yx2 1与 y 1x3 在 xx0 处的切线互相垂直，则x0 等于（）36B 3 36C 2D2或066334y f (x)在一点的导数值为0是函数yf ( x)在这点取极值的（）函数A 充分条件B必要条件C充要条件D必要非充分条件- 6 -5设 f'(x) 是函数 f ( x) 的导数， yf '( x) 的图像如图所示，则y f (x) 的图像最有可yf '(x)能的是（）y1x02yyyy12 x1200AB

17、x201Cx201Dx6函数 f (x)x3ax2 在区间 1,) 内是增函数，则实数a 的取值范围是（）A 3,)B 3,)C (3,)D (,3)7函数 yln x的最大值为（）xA e 1B eC e2D 1038x1， x2，曲线y1 及x轴所围图形的面积是（）由直线2xA.15B.17C.1 ln 2D.2 ln 24429函数 f (x)x33bx3b在(0,1)内有极小值，则（）A 0 b 1B b 1C b 01D b210 yax21的图像与直线yx 相切，则 a 的值为（）111D 1A B C8421p2 p3p.n p0) 表示成定积分11将和式的极限 limnP 1(

18、 p（）n1 11pdx11pdx1xpdxA dxB xC()D()0x00x0n12下列等于 1 的积分是（）1xdxB11)dx1D 1 1A ( xC 1dxdx0000 2二、填空题（每小题4 分，共16 分）1| x24 | dx =13014由定积分的几何意义可知24x2 dx =_ 2- 7 -15. 如图，一矩形铁皮的长为 8cm，宽为 5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为时，盒子容积最大 .16. 函数 f ( x)x 44x3ax21在区间 0,1 上单调递增，在区间1,2 上单调递减，则 a =.三、解答题17（ 12 分）

19、计算下列定积分的值3(4x x 2 )dx ；（ 2）25 dx ；（ 1）(x 1)112 ( xsin x)dx ；（ 4）2 cos2 xdx ；（3） 0218（本题 10 分）已知 x 1，求证： xln(1x) 19. （本题 10 分）已知 f ( x)ax4bx 2c 的图象经过点(0,1) ，且在 x 1 处的切线方程是 y x 2（ 1）求 yf (x) 的解析式；（2）求 yf ( x) 的极值。20（ 12 分）求曲线 yx3x22x 与 x 轴所围成的封闭图形的面积21（本题 12 分）某商品每件成本9 元，售价 30 元，每星期卖出 432 件 . 如果降低价格。销

20、售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销x （单位：元，0 x 30 ）的平方成正比 . 已知商品单价降低 2 元时，一星期多卖出24 件.x 的函数 ;( ) 将一个星期的商品销售利润表示成( ) 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？四、解题思路总结1，对考查导数定义的题型，一定要记住，把已知等式化为和导数定义式同等形式，再利用导数的定义求解；2，一定要记住教材中所给的8 个常见函数的导数及导数的四则运算、复合函数求导法则，这是求导基础；3，连续的闭区间内必有最大值和最小值，比较各极值点和端点的函数值的大小即可求出；4，导数的几何意义是过曲线上一点的切线的斜率，这在综合题型中考查的比较多，一般是联合函数求导、直线方程、定积分的知识，因此要掌握这三个方面的知识点；5，求解定积分时，要注意灵活应用奇函数、偶函数的定积分性质和定积分的几何意义。- 8 -11201214. 21 (4)CCADCBADABBC13.315. 1cm16.417 (1)3(2)(3)82618证明： 设 f ( x)xln(1x)（ x1 ）， f'( x)11x（x1），f '