初四2-1-3-一元二次方程根与系数关系知识点经典例题及练习题带答案

1、环球雅思教育学科教师讲义讲义编号：_ 副校长 /组长签字：签字日期：学员编号：年级：九课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题一元二次方程根与系数的关系授课日期及时段教 学 目 的理解并掌握韦达定理及其应用重 难 点熟练应用韦达定理解决问题【考纲说明】1、掌握韦达定理及其简单的应用；2、会应用一元二次方程的韦达定理分析解决一些简单的综合性问题。【趣味链接】思维超前的数学家韦达：韦达定理说明了一元n 次方程中根和系数之间的关系。法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的， 韦达在 16 世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基

2、本定理，而代数基本定理却是在1799 年才由高斯作出第一个实质性的论证。韦达定理在方程论中有着广泛的应用。【知识梳理】1、一元二次方程的根的判别式一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根的判别式b24ac当 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 0 时，方程有两个相等的实数根，当 0 时，方程没有实数根2、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）11 如果一元二次方程 ax2bx c 0(a 0)的两个根是 x1，x2，那么， x1 x2b , x1 x2c .aa(2)如果方程 x2px q0的两个根是 x1 , x2 , 那么 x1x2P, x1 x2q?3 以x1，x2为根的一元二次方程

3、 (二次项系数为1)是x2( x1x2 )x x1 x20【经典例题】【例 1】（ 2011 河北） 设x1，x2 是方程 2x26x30的两根，则 x12x22的值是（）A、15B 、12C、 6D 、 3【例 2】（ 2012 曲阜）如果方程x 2mx1的两个实根互为相反数，那么m 的值为（）A 、 0B、 1C、 1D、±1b2【例 3】（ 2011 青岛）已知 ab 0，方程 ax 2bxc0 的系数满足ac，则方程的两根之比为（）2A 、01B、11C、12D、23【例 4】（ 2012 四川）设 x1、 x2 是方程 x24x20 的两根，则11； x1 x2；x1x2

4、( x11)( x21) .【例 5】（ 2011 江西）关于 x 的方程 2x2kx410的一个根是2，则方程的另一根是； k .k【例 6】（ 2011 辽宁）反比例函数yx根，那么点P 的坐标是的图象经过点Pa、 b ），其中a、 b 是一元二次方程x 2kx 40 的两（.【例 7】（ 2012 河南） x1 、 x2 是方程 2x 23x 50的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（ 1） x12x2 2（ 2） x1 x2（ 3） x123x2 23x2【例 8】（2012江苏）已知关于x 的方程 x22(m2)x m25 0 有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16

5、，求 m 的值。【例 9】（2010 济南）已知 x1 、 x2 是关于 x 的一元二次方程4x24(m1)xm20 的两个非零实数根，问： x1 与 x2能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。【例 10】（ 2010 天津）已知x1 、 x2 是一元二次方程4kx 24kxk10 的两个实数根。2（ 1）是否存在实数k ，使 ( 2x1 x2 )( x13k 的值；若不存在，请说明理由。2 x2 )成立？若存在，求出2（ 2）求使 x1x22 的值为整数的实数k 的整数值。x2x1【课堂练习】1、（ 2009 盐城）菱形ABCD的边长是5 ，两条对角线交于O

6、点，且AO 、BO的长分别是关于x 的方程：x2(2m 1) x m23 0的根，则 m 的值为（）A、3B、 5C、5 或 3D、5或 32、（ 2012石家庄）以方程2x 2x40 的两根的倒数为根的一元二次方程是.3、（ 2008绵阳）已知方程x23xm0 的一个根是1，则它的另一个根是， m 的值是.4、（ 2009唐山）证明：方程 x21997 x1997 0无整数根 .5、（ 2012 北京）已知关于 x 的方程 x 23xa 0 的两个实数根的倒数和等于3，关于 x 的方程 (k 1) x 23x 2a 0有实根，且 k 为正整数，求代数式k1的值.k2【课后作业】1、 如果 x

7、1，x2是两个不相等实数，且满足222x21，那么 x1x2等于（）x1 - 2x11， x2 -A 、 2B、 -2C、 1D、 -12、已知 x1 、 x2是方程 x23x1 0212x2 11的值为.的两根，则4x13、已知方程 x 2mx450 的两实根差的平方为144，则 m .34、（ 2012 安徽） 设关于 x的方程 x26xk0的两根是 m和n，且 3m2n20，求 m、 n和k值 .5、（ 2011 浙江）已知关于x 的方程 x 2(12a) xa 230 有两个不相等的实数根，且关于x 的方程x22x2a10 没有实数根，问：a 取什么整数时，方程有整数解？6、（ 201

8、1 福建）已知关于 x 的方程 x 22(m 1) x m230（ 1）当 m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？（ 2）设 x1、 x2 是方程的两根，且 ( x1x2 ) 2( x1x2 )12 0 ，求 m 的值 .7 、（ 2012重 庆） 已 知 关 于 x 的 方 程 kx2( 2k 1)x k 1 0 只 有 整 数 根 ， 且 关 于 y 的 一 元 二 次 方 程(k 1) y 23ym 0 的两个实数根为 y1 、 y2 。（ 1）当 k 为整数时，确定k 的值；（ 2）在（ 1）的条件下，若22m 2，求 y1y2 的值 .8、已知 x1 、 x2 是关于 x 的一元二

9、次方程4x 24(m1) xm20 的两个非零实根，问：x1、 x2 能否同号？若能同号，请求出相应m 的取值范围；若不能同号，请说明理由.4【课后反馈】本次 _同学课堂状态：_本次课后作业：_需要家长协助：_家长意见： _【参考答案】【经典例题】1、C 2、A3、 B4、 2； 22 ；75、5，16、（ 2， 2）2 x1 x2 7 127、（ 1） x1 2x2 2 ( x1x2 ) 24（ 2） x1x2 ( x1x2 ) 24x1 x2 3 12（ 3）原式 ( x12x22 )(2 x223x2 ) 7 1512 144x1x22(m2)x1x2m258、 x12x2 2x1 x2

10、164( m2) 24( m25)0解得： m1或 m15 ，又由可知 m 94 m15 舍去，故 m1由32m 16 0得 m 1.x1x2m 1，121m2 与x2可能同号，分两种情况讨论：9、2x x40 x1（ 1）若 x1 0， x2 0，则x1x20 m1x1 x2，解得 m 1 且 m 0 且 m 002（ 2）若 x1 0， x2 0，则x1x201x1 x20，解得 m 1 与 m 相矛盾21且m 0时，方程的两根同号。综上所述：当 m 2k1（ 1）由 k 0和 0k 0x1x2x x210、1，14k5 (2x1x2 )( x1 2x2 )2( x1x2 ) 29x1x2k 93 k9，而 k 0不存在。4k25（ 2） x1x22 (x1 x2 )24 4，x2x1x1x2k1要使4的值为整数，而k 为整数， k1只能取 ±1、 ±2、 ±4，又 k 0k1存在整数k 的值为 2、 3、 5【课堂练习】1、 A2、 4x2x 2 03、2，2x1x2 1997可得 x1、 x2 均为整数根，4、 假设原方程有整数根，由1997x1x2 x1 x21997 x1 、 x2 均为奇数但