立体几何证明方法总结教师致远书屋

1、一、线线平行的证明方法：1、利用平行四边形。2、利用三角形或梯形的中位线。3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。 （线面平行的性质定理）4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行的性质定理） 5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线 平行。（线面垂直的性质定理）6、平行于同一条直线的两条直线平行。7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。 （需证明）二、线面平行的证明方法：1、定义法：直线与平面没有公共点。2、如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（线面平行的判定定理）

2、3、两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。三、面面平行的证明方法：1、定义法：两平面没有公共点。2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（面面平行的判定定理）3、平行于同一平面的两个平面平行。4、经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。5、垂直于同一直线的两个平面平行。四、线线垂直的证明方法：1、勾股定理。2、等腰三角形。 3、菱形对角线。4、圆所对的圆周角是直角。5、点在线上的射影。6、如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个平面内任意的直线都垂直。7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条

3、斜线垂直。（三垂线定理，需证明）8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。（三垂线逆定理，需证明）9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线。五、线面垂直的证明方法：1、定义法：直线与平面内任意直线都垂直。2、点在面内的射影。3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么 这条直线垂直于这个平面。（线面垂直的判定定理）4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们 交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直的性质定理）5、两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面。6、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则

4、必垂直于另一个平面。7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面。8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。9、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。六、面面垂直的证明方法：1、定义法：两个平面的二面角是直二面角。2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（面面垂直的判定定理）3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直。一选择题（共27小题）1（2010浙江）设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）a若lm，m，则lb若l，lm，则mc若l，

5、m，则lmd若l，m，则lm2（2006湖南）过平行六面体abcda1b1c1d1任意两条棱的中点作直线，其中与平面dbb1d1平行的直线共有（）a4条b6条c8条d12条3“直线l与平面无公共点”是“l”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件4已知m，n表示两条直线，表示一个平面，给出下列四个命题：n；其中正确命题的序号是（）abcd5正方体abcda1b1c1d1中，e，f，g分别是a1b1、cd、b1c1的中点，则下列中与直线ae有关的正确命题是（）aae丄cgbae与cg是异面直线c四边形abc1f是正方形dae平面bc1f6直线与平面平行的充要条件是这

6、条直线与平面内的（）a一条直线不相交b两条直线不相交c任意一条直线都不相交d无数条直线不相交7、表示平面，a、b表示直线，则a的一个充分条件是（）a，且ab=b，且abcab，且bd，且a8已知两条直线a，b，两个平面，则下列结论中正确的是（）a若a，且，则ab若b，ab，则ac若a，则ad若b，ab，则a9下列四个正方体图形中，a、b为正方体的两个顶点，m、n、p分别为其所在棱的中点，能得出ab平面mnp的图形的序号是（）a、b、c、d、10设、是三个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列4个命题：若a，b，则ab；若a，b，ab，则；若a，b，ab，则；若a、b在平面内的射影互相垂直

7、，则ab其中正确命题是（）abcd11已知两条直线a，b和平面，若b，则ab是a的（）a充分但不必要条件b必要但不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件12已知直线a和平面，那么a的一个充分条件是（）a存在一条直线b，ab，bb存在一条直线b，ab，bc存在一个平面，a，d存在一个平面，a，a13已知，表示平面，a，b表示直线，则a的一个充分条件是（）aa，ba=b，abcab，bd，a14a，b，c为三条不重合的直线，为三个不重合平面，现给出六个命题ab ab a a其中正确的命题是（）abcd15下列说法正确的是（）a垂直于同一平面的两平面也平行b与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面

8、直线c过一点有且只有一条直线与已知直线垂直d垂直于同一直线的两平面平行16已知两条直线m、n与两个平面、，下列命题正确的是（）a若m，n，则mnb若m，m，则c若m，m，则d若mn，m，则n17已知直线a，b，平面，则a的一个充分条件是（）aab，bba，cb，abdab，b，a18a是平面bcd外一点，e，f，g分别是bd，dc，ca的中点，设过这三点的平面为，则在直线ab，ac，ad，bc，bd，dc中，与平面平行的直线有（）a0b1条c2条d3条19（2010山东）在空间，下列命题正确的是（）a平行直线的平行投影重合b平行于同一直线的两个平面平行c垂直于同一平面的两个平面平行d垂直于同一

9、平面的两条直线平行20（2008湖南）设有直线m、n和平面、，下列四个命题中，正确的是（）a若m，n，则mnb若m，n，m，n，则c若，m，则md若，m，m，则m21（2008福建）如图，在长方体abcda1b1c1d1中，ab=bc=2，aa1=1，则ac1与平面a1b1c1d1所成角的正弦值为（）abcd22（2008安徽）两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）a若m，n，则mnb若，则c若m，m，则d若m，n，则mn23（2007辽宁）若m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）a若m，则mb若=m，=n，mn，则c若，则d若m，m，则24（20

10、07江苏）已知两条直线m，n，两个平面，给出下面四个命题：mn，mn，m，nmnmn，mn，mn，mn其中正确命题的序号是（）abcd25（2002北京）已知三条直线m、n、l，三个平面a、b、g，下列四个命题中，正确的是（）abcd26已知直线m平面，直线n平面，“直线cm，直线cn”是“直线c平面”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件27若直线a直线b，且a平面，则b与平面的位置关系是（）a一定平行b不平行c平行或相交d平行或在平面内二填空题（共3小题）28如图：点p在正方体abcda1b1c1d1的面对角线bc1上运动，则下列四个命题：三棱锥ad1p

11、c的体积不变；a1p面acd1；dpbc1；面pdb1面acd1其中正确的命题的序号是 _29考察下列三个命题，在“”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中l，m为不同的直线，、为不重合的平面），则此条件为_l，l，l30在正四面体pabc中，d，e，f分别是棱ab，bc，ca的中点给出下面四个结论：bc平面pdf；df平面pae；平面pdf平面abc；平面pae平面abc，其中所有不正确的结论的序号是_1.分析：根据题意，依次分析选项：a，根据线面垂直的判定定理判断c：根据线面平行的判定定理判断d：由线线的位置关系判断b：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案解答：解：a，根据

12、线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；c：l，m，则lm或两线异面，故不正确d：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确b：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面故正确故选b2.：解：如图，过平行六面体abcda1b1c1d1任意两条棱的中点作直线，其中与平面dbb1d1平行的直线共有12条，故选d33解答：解：若“直线l与平面无公共点”成立，则“l”即“直线l与平面无公共点”“l”为真命题反之，当“l”时，“直线l与平面无公共点”即“l”“直线l与平面无公共点”也为真命题根据充要条件的定义可得：直线l与平面无公共点”是“l”的充

13、要条件故选c4解答：4：mn，根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行，故正确n，由m，mn得n或n，故不正确mn，由m，n，则m，n可能平行、可能相交、可能异面故不正确，则m，n可能相交、可能异面，根据异面直线所成的角，可知mn故正确故选d分析：5根据正方体的几何特征，可以判断出ae与cg相交，但不垂直，由此可以判断出a，b的真假，分析四边形abc1f中各边的长度，即可判断c的真假，由线面平行的判定定理，可以判断出d的真假，进而得到答案解答：解：由正方体的几何特征，可得ae丄c1g，但ae与平面bcb1c1不垂直，故ae丄cg不成立；由于egac，故a，e，b，c四点共线ae与cg

14、是异面直线错误；四边形abc1f中，abbc1，故四边形abc1f是正方形错误；而aec1f，由线面平行的判定定理，可得ae平面bc1f故选d点评：6解答：解：直线与平面平行，由其性质可知：这条直线与平面内的任意一条直线都不相交，a一条直线不相交，说明有其它直线与其相交，故a错误；b、两条直线不相交，说明有其它直线与其相交，故b错误；d、无数条直线不相交，说明有其它直线与其相交，无数不是全部，故d错误；故选c点评：此题考查直线与平面平行的判断定理：公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上公理三：三个不共线的点确定一个平面推论一：直线及直线外一点确定一个平

15、面推论二：两相交直线确定一个平面，这些知识要熟练掌握7解答：解：a、还可能有a，所以不正确b、因为a不一定在内，所以不正确c、还可能有a，所以不正确d、，且a由面面平行的性质定理可知是正确的故选d点评：本题主要考查线线，线面，面面的平行及垂直间的相互转化，一定要注意常见结论的严密性8解答：解：a、，又a，a故a正确；b、b，ab，若a，则a不可能与平行，故b错误；c、a，若a，则结论不成立，故c错误；d、b，ab，若a，则结论不成立，故d错误；故a正确；点评：此题考查直线与平面平行的判断定理：公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上公理三：三个不共线的点

16、确定一个平面推论一：直线及直线外一点确定一个平面推论二：两相交直线确定一个平面，这些知识要熟练掌握9分析：对于，可以构造面面平行，考虑线面平行定义；对于，考虑线面平行的判定及定义；对于，可以用线面平的定义及判定定理判断；对于，用线面平行的判定定理即可解答：解：对图，构造ab所在的平面，即对角面，可以证明这个对角面与平面mnp，由线面平行的定义可得ab平面mnp对图，通过证明abpn得到ab平面mnp；对于、无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行；故选b点评：本题考查线面平行的判定，主要考虑定义、判定定理两种方法，同时运用面面平行的性质解决问题10解答：解：a与b可以相交，故错误；与可以垂直，

17、故错误；a，b，ab，故正确；a、b在平面内的射影互相垂直，a与b不一定是垂直的，有可能斜交，故错误；故选a点评：此题考查直线与平面平行的判断定理：公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上公理三：三个不共线的点确定一个平面推论一：直线及直线外一点确定一个平面推论二：两相交直线确定一个平面，这些知识要熟练掌握11解答：解：当b是若ab时，a与的关系可能是a，也可能是a，即a不一定成立，故aba为假命题；若a时，a与b的关系可能是ab，也可能是a与b异面，即ab不一定成立，故aab也为假命题；故ab是a的既不充分又不必要条件故选d点评：本题考查的知识点是充要

18、条件，直线与平面平行关系的判断，先判断aba与aab的真假，然后利用充要条件的定义得到结论是证明充要条件的常规方法，要求大家熟练掌握12解答：解：a、直线a在内时，不正确b、直线a在内时，不正确c、面面平行的性质定理知正确d、直线a在内时，不正确故选c点评：本题主要考查在应用定理或常见结论时一定要条件全面，提醒学生做题量考虑要具体全面13解答：解：选项a，a，a或a选项b，a=b，aba或a选项c，ab，ba或aa、b、c三个选项都不能排除a，选项d，根据线面平行的性质可知正确故选d14解答：解：根据平行公理可知正确；根据面面平行的判定定理可知正确；对于错在a、b可能相交或异面对于错在与可能相

19、交，对于错在a可能在内故选：c点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的判定，同时考查了对定理、公理的理解，属于综合题15分析：垂直于同一个平面的两个平面的位置关系不能确定，与两条异面直线都相交的直线如果是交于不同的四个点，一定异面，若交于三个点则共面，过一点在空间中有无数条直线与已知直线垂直，得到结论解答：解：垂直于同一个平面的两个平面的位置关系不能确定，故a不正确，与两条异面直线都相交的直线如果是交于不同的四个点，一定异面，若交于三个点则共面，故b不正确，过一点在空间中有无数条直线与已知直线垂直，故c不正确，垂直于同一直线的两个平面平行，正确，故选d16解答：解：对于a

20、，若m，n，则m，n可以平行、相交，也可以异面，故不正确；对于b，若m，m，则当m平行于，的交线时，也成立，故不正确；对于c，若m，m，则m为平面与的公垂线，则，故正确；对于d，若mn，m，则n，n也可以在内故选c点评：本题考查空间中直线和平面的位置关系涉及到两直线共面和异面，线面平行等知识点，在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线当然也可以用面面平行来推导线面平行17解答：解：a：ab，b，则a与平面平行或在平面内，不正确b：a，则a与平面平行或在平面内，不正确c：b，ab，则a与平面平行或在平面内，不正确d：由线面平行的判定理知，正确故选d点评：本题主要考查了立体几何中

21、线面之间的位置关系及判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查，属中档题18解答：解：取ab的中点h，连接he、ef、fg、gh平面hefg为平面其中ab、bd、cd、ac都与平面相交e、f是bd、cd的中点efbc，而ef，bcbc平面同理可证ad平面故选c点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，同时考查了空间想象能力和推理论证的能力，属于基础题19解答：解：平行直线的平行投影重合，还可能平行，a错误平行于同一直线的两个平面平行，两个平面可能相交，b错误垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交，c错误故选d20分析由面面平行的判定定理和线面平行的定理判断a、b、d；由面面垂直的性质定理判

22、断c解答：解：a不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交；b不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；c不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线；故选d点评：本题考查了线面的位置关系，主要用了面面垂直和平行的定理进行验证，属于基础题21分：由题意连接a1c1，则ac1a1为所求的角，在ac1a1计算解答：解：连接a1c1，在长方体abcda1b1c1d1中，a1a平面a1b1c1d1，则ac1a1为ac1与平面a1b1c1d1所成角在ac1a1中，sinac1a1=故选d22分析：本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，若m，n，m，n可以相交也可以异面，故a不正确；若，则，则

23、、可以相交也可以平行，故b不正确；若m，m，则，则、可以相交也可以平行，故c不正确；m，n则同垂直于一个平面的两条直线平行；故d答案正确；分析即可得到结论解答：解：m，n均为直线，其中m，n平行，m，n可以相交也可以异面，故a不正确；若，则，则、可以相交也可以平行，故b不正确；若m，m，则，则、可以相交也可以平行，故c不正确；m，n则同垂直于一个平面的两条直线平行；故选d23分析：对于选项a直线m可能与平面斜交，对于选项b可根据三棱柱进行判定，对于选项c列举反例，如正方体同一顶点的三个平面，对于d根据面面垂直的判定定理进行判定即可解答：解：对于选项d，若m，则过直线m的平面与平面相交得交线n，

24、由线面平行的性质定理可得mn，又m，故n，且n，故由面面垂直的判定定理可得故选d点评：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，以及面面垂直的判定定理，同时考查了推理能力，属于基础题24解答：解：用线面垂直和面面平行的定理可判断正确；中，由面面平行的定义，m，n可以平行或异面；中，用线面平行的判定定理知，n可以在内；故选c点评：本题考查了线面垂直和面面平行的定理，及线面、面面位置关系的定义，属于基础题25分析：利用墙角知a不对，线面平行和垂直的定理知b不对，由面面平行的判定定理和线面垂直的性质定理来判断出c和d解答：解：a、与可能相交，如墙角，故a错误；b、可能l，故b错误；c、由面面平行

25、的判定定理知，m、n可能相交，故c错误；d、由线面垂直的性质定理知，故d正确故选d点评：本题考查了空间中线面位置关系，主要根据线面和面面平行及垂直的定理进行判断，考查了定理的运用能力和空间想象能力26：由线面垂直的定义，当直线c平面时，c与中的任意一条直线都垂直，即“直线c平面”“直线cm，直线cn”为真命题，但反之，当“直线cm，直线cn”时，直线c平面不一定成立，根据充要条件的定义，易得答案解答：解：若直线cm，直线cn成立则当m，n相交时，直线c平面成立，当m，n平行时，直线c平面不一定成立故“直线cm，直线cn”“直线c平面”为假命题若直线c平面成立则c垂直平面的每一条直线故“直线c平

26、面”“直线cm，直线cn”为“直线cm，直线cn”真命题故“直线cm，直线cn”是“直线c平面”的必要而不充分条件故选b点评：判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系27分由直线a直线b，且a平面，知直线b平面或直线b在平面内解答：解：直线a直线b，且a平面，直线b平面或直线b在平面内故选d点评：本题考查空间直线与平面之间的位置关系，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化28分析：如右图，对于，容易证明ad1bc1，从而bc1平面ad1c，以