数理方程与特殊函数8非齐次边界条件定界问题的解

1、数学物理方程第三章6 6非齐次方程齐次化例子非齐次方程齐次化例子非齐次边界条件处理非齐次边界条件处理边界条件齐次化例子边界条件齐次化例子将问题分解将问题分解, 使使u(x,t)= v+ w )0 ,(, 00, 00,0,0002xwvvvvtlxuavttttlxxxxxxtt2/13 0,0,sincos2 tlxtlxauauxxtt 0, 00, 0000 tttlxxxxuuuu问题问题itlxcw sincos )/(22 laac 0)(, 0)0(0, 0lxxlxxxnn xbxaxx sincos)( 3/13固有值问题固有值问题cossin)(xbxaxx 0 , 0,

2、0 ab2)(lnn lxnxn cos 0cossincosnnnlxnlatndlatncv 0coscossinnnntlxnlatndlatnclanv 4/13问题问题i的初始条件的初始条件wvvttt 00, 00 nclxclxndlannn coscos1 cdla 1alcd /1 lxlatcallxlatdv cossincossin1 lxtlatalcwvu cossinsin )/(22 laac 0,0,sin2 tlxtauauxxt 00, 000 tlxxxxuuu思考题思考题 0,02 tlxuauxxtt0, 0sin, 000 tttlxxuutuu

3、1.2. )(),(,)0,0( , 00002xuxubuautlxuautttlxxxxtt 令令 u(x，t) = v(x，t) + w(x), 得得 vtt a2vxx + wxx = 0 blwawwxx)(,)0(0 xlabatxw ),( )(,)(0, 0)0,0( , 00002xuwxuuvtlxvavtttlxxxxtt 引例引例6/13ab0l非齐次边界非齐次边界条件问题条件问题: )(),()(),(0,0),(002102xuxutututlxtxfuautttlxxxxtt 边界条件的边界条件的齐次化方法齐次化方法构造特殊函数构造特殊函数 w(x,t) 使使w(

4、0, t)=)(1t w(l, t)=)(2t x)(1t )(2t 0lxlttttxw)()()(),(121 则则: v(x, t)= u(x, t) w(x, t) 满足齐次边满足齐次边界界7/13由由: u(x, t) = v(x, t ) + w(x, t),求导数得求导数得utt= vtt+ wtt , uxx = vxx, 代入方程代入方程得得 , vtt+ wtt = a2 vxx + f(x , t)即即, vtt = a2 vxx + f(x , t) wtt 8/13 )(),(0, 00,0),(1010012xvxvuvtlxtxfvavtttlxxxxtt 其中其

5、中 f1(x, t) = f(x, t) wtt(x, t)0 ,()()(1xwxx )0 ,()()(1xwxxt 0, 0, 00002tttlxxxxttuubuuauau解解：先求常微分方程问题先求常微分方程问题 bwwawalxx, 0002令令 u=v+w 有有 0),(0, 00002tttlxxxxttvxwvvvvav2222)2(xaaxlbaalw 解得解得例例1(p. 73) 1sincos),(nnlxnlatnctxv 9/13 lndxlxnxwlc0sin)(2 例例2(p.74) 0, 0,sin, 00,00002tttlxxxxttuulantuutlx

6、uau 解解: 令令 u(x, t) = v(x, t ) + w(x, t)设特解设特解 txxw sin)( 1)(, 0)0(022lxxxax 10/13问题问题i由边界条件得由边界条件得 x(0)=0, x(l)=1代入方程得代入方程得txatx sinsin22 axalxx sin)(sin)(1 taxaltxw sinsin)(sin),(1 xabxaax sincos x(0)=0, x(l)=1 a = 0, 1sin alb axalvvvvtlxvavtttlxxxxtt sin)(sin, 00, 00,010002问题问题ii11/13 1sin)sincos(),(nnnlxnlatndlatnctxv 1221sinsin)()()1(2),(nnlxnlatnanlaltxv 12/13原问题解原问题解: u(x, t) = taxaltxv sinsin)(sin),(1 cn = 0, (n = 1, 2, ) dlnaalandlnsinsin)(sin201 思考题思考题1.非齐次方程齐次化的特解法中的特解是否一定是非齐次方程齐次化的特解法中的特解是否一定是x的线性函数？的线性函数？2. 固有值问题的哪一类边界条件导致固有函数是余固有值问题的哪一类边界条件导致固有函数是余弦函数序列？弦函数序列？3. 为什么边界条件齐次化方法中的特殊