平面向量的数量积及运算律PPT课件

1、！平面向量的数积及运算率【学习目标学习目标】1.认识理解平面向量数量积的含义及物理意义，体会平面向量的数量积与向量投影的关系。2.掌握平面向量数量积的性质和运算律，熟练地应用平面向量数量积的定义、运算律进行运算。自主学习自主学习【问题导学问题导学】阅读课本p103p105，回答下列问题1向量数量积的定义是什么？先看一个物理问题先看一个物理问题 一个物体在力一个物体在力f 的作用下产生的位移的作用下产生的位移s，那么力，那么力f 所做的功所做的功应当怎样计算？应当怎样计算？sf其中其中是是 f 与与 s 的夹角的夹角 .w = |f|s| cos从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念。从力所

2、做的功出发，我们引入向量数量积的概念。先看一个概念先看一个概念-向量的夹角向量的夹角 两个非零向量两个非零向量a 和和b ，作，作 ， ，则，则 叫做向量叫做向量a 和和b 的的夹角夹角aoa bob aob)1800( oabab oabba当当 ，0 oabba当当 ，180 oabab 当当 ，90 ba 记作记作已知已知a 与与b 同向；同向；a 与与b 反向；反向；a 与与b 垂直垂直.平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量已知两个非零向量a 和和b ，它们的夹角为，它们的夹角为 ，我们把数量，我们把数量 叫做叫做a 与与b 的的数量积数量积（或（或内积内积）

3、，记作），记作a b ，即，即 cos|ba cos|baba 规定：零向量与任意向量的数量积为规定：零向量与任意向量的数量积为0，即即 0 0a （1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定夹角决定. （3） 在运用在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是范围是 0，180（2）两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，它与，它与数的乘法是有区别的，数的乘法是有区别的， a b不能写成不能写成 ab 或或 ab .说明：说明：？方向上的投影是

4、指什么在ba方向上的投影呢？在ab2. 垂直于直线垂直于直线oa，垂足为，垂足为 b1，则，则bobaoa ，作作，过点，过点b作作bb1如图如图oabab 1b 1ob| b | cos| b | cos叫向量叫向量 b 在在 a 方向上的投影方向上的投影| a| cos叫向量叫向量 a在在 b方向上的投影方向上的投影b3向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正？什么时候为负？什么时候为零？ cos|baba oabab 1boabab )(1bboaab 1b为锐角时，为锐角时，| b | cos0为钝角时，为钝角时，| b | cos0为直角时，为直角时，| b | cos=0数量积的

5、物理意义：数量积的物理意义：数量积的几何意义：数量积的几何意义：1bcos|babbaobaa|abacos|b等于等于的长度的长度与与在在的方向上的投影的方向上的投影的乘积。的乘积。sf w=f s=|f|s|coscos|baba4向量数量积的几何意义是什么？ （1 1）e a=a e=| a | cos （2 2）ab a b=0 ( (判断两向量垂直的依据判断两向量垂直的依据) ) （3 3）当当a 与与b 同向时，同向时，a b =| a | | b |，当，当a 与与b 反向反向时，时， a b =| a | | b | 特别地特别地aaaaaa |2或或（4）|cosbaba 由

6、数量积的定义，可得以下重要性质由数量积的定义，可得以下重要性质: 设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则5.向量的数量积有那些性质？为什么？请你证明ba|ba|ba|ba|ba(5)(5)，即，即数量积的运算律：数量积的运算律：abba)()()(bababacbcacba )(交换律：交换律：对数乘的结合律：对数乘的结合律：分配律：分配律：则，和实数、已知向量cba6向量数量积满足那些运算律？如何证明？)()()(bababa数乘的结合律：数乘的结合律：证明：.的夹角为与设ba，时）当（01等式显然成立等式显然成立 .，时）当（02的夹角都为与，与babacos

7、|)(babacos|ba)(bacos|)(babacos|ba)(ba. )()()(bababa.，时）当（03的夹角都为与，与baba.180)180cos(|)(babacos|ba)180cos(|)(babacos|ba. )()()(bababacos|ba)(bacos|ba)(ba综上所述：综上所述：)()()(bababacbcacba )(分配律：分配律：.ocaa1bab12证明：.cocbabaoao，作，任取一点，如图方向上的投影等于在即cobba)(即，方向上的投影的和在、cbacos|ba21cos|cos|ba21cos|cos|cos|bcacbacbca

8、cbac)(.)(cbcacbab1c实数运算与平面向量的数量积的区别实数运算与平面向量的数量积的区别baba在实数运算中有：. 1吗？在向量中，有babababa0, 0, 0. 2bbaa则在实数运算中有：吗？，则，在向量中，有000bbaa不一定0, 0. 3中至少有一个为则在实数运算中有：baba吗？中至少有一个为则在向量中：有0, 0baba不一定cbcabaa则在实数运算中有：, 0. 4吗？则在向量中：有cbcabaa, 0不一定 向量数量积不满足结合律向量数量积不满足结合律 .说明：说明：，共线的向量表示一个与ccba )(，共线的向量表示一个与而acba)( ，不一定共线与而

9、ac)()(cbacba吗？在向量中有)()(cbacba)()(. 5cbacba在实数运算中有：不一定练习1：判断下列命题正确与否：（1）若 a =0 ，则对任一向量 b ，有有 ab=0 。 （2）若 a 0 ，则对任一非零向量 b ，有有 ab0。（3）若 a 0 ，ab = 0 ，则 b = 0 。（4）若 ab = 0 ，则 a、b 中至少有一个为0 。（5）若 a 0 ，ab= ac ，则 b = c 。（6）若 ab= ac ，则 bc， 当且仅当a =0 时成立。（7）对任意向量 a，有，有 a2 = |a|2。（）（x）（x）（x）（x）（x）（）bca练习练习2：1、有四

10、个式子：有四个式子：其中正确的个数为（其中正确的个数为（ ）a a、4 4个个b b、3 3个个c c、2 2个个d d、1 1个个2、已知、都是单位向量，下列结论正确的是（已知、都是单位向量，下列结论正确的是（ ）a a、b b、c c、 d d、3、有下列四个关系式：有下列四个关系式：，其中正确的个数是（），其中正确的个数是（）a a、1 1b b、2 2c c、3 3d d、4 400a00 a|babaab1ba22ba abab0ba000)()(cbacbaabba00 acbcabad db ba a【合作、探究、展示】合作探究bababababa)3(/213513, 2,.

11、10）（）（下求，分别在下列条件，的夹角为已知向量例解解(1):135cos32)22(32.23cosbaba(2):ba/有两种情况：001800或时，当00cosbaba0cos326时，当0180cosbaba180cos326,a br22222)2,()()abaabbab abab（, ,a b 例2我们知道，对任意恒有.对任意向量是否也有下面类似的结论？；2222)() 1 (bbaaba.)()()2(22bababa证明：)()()() 1 (2babababbabbaaa；222bbaa)()()2(bababbabbaaa.22ba 作为公式作为公式所以有上述类似的结论

12、所以有上述类似的结论3例，的夹角为与，已知605|4|baba. )23()32(baba求解：. )23()32(bababbbaaa65622|65|6bbaa22|6cos|5|6bbaa225660cos54546.44解：互相垂直与bkabka0)()(bkabka0222bka即，9322a16422b01692k43 k，时即当且仅当43k.互相垂直与bkabka4例，不共线与且，已知baba4|3|，为何值时k？互相垂直与向量bkabka【课堂小结课堂小结】1理解平面向量数量积的含义及物理意义，平面向量的数量积与向量投影的关系。2掌握平面向量数量积的性质和运算律，熟练地应用平面

13、向量数量积的定义、运算律进行运算。【达标检测达标检测】教材p106练习1,2,3 p108 a组 1,2,3 b组 1.2549|12|. 1的夹角与，求，设补例bababa解：|cosbaba91225422，又1800.135已已 知知 是非零向量，且是非零向量，且 与与 ba、ba3垂直，垂直，ba57ba4与与 垂直，垂直，ba27求求 的夹角。的夹角。ba与）b5（7）b3由(aa0573）（）得：（baba）b2（7）b4由(aa又0274）（）得：（baba030801615722baba7baba22即：babacos60,夹角baba 2b2化简得：ba212122bb180,0又例例2 2：代入得代入得解：解： 补例补例3、如图，在平行四边形如图，在平行四边形abcd中，已知，中，已知， ， ， 求：求：（1） ；（；（2） ； （3）4|ab3|ad60dabbcadcdabdaabb