初中数学竞赛辅导资料最大最小值

1、初中数学竞赛专题选讲(初三 .20)最大 最小值一、内容提要1. 求二次函数 y=ax2 +bx+c(a 0)，的最大、最小值常用两种方法：配方法：原函数可化为y=a(x+ b)2+4acb2.2a4a在实数范围内 (x+ b)2 0，2a若 a>0 时，当 x= b时， y 最小值 = 4acb 2；2a4a若 a<0 时，当 x= b时， y 最大值 = 4acb2.2a4a判别式法：原函数可化为关于x 的二次方程ax2+bx+c y=0. x 在全体实数取值时， 0即 b2 4a(c y) 0，4ay 4ac b2.若 a>0， y 4acb2，这时取等号，则y 为最小

2、值 4acb 2；4a4a若 a<0， y 4acb2，这时取等号，则y 为最大值 4acb 2.4a4a有时自变量 x 定在某个区间内取值，求最大、最小值时，要用到临界点，一般用配方法方便 .2. 用上述两种方法，可推出如下两个定理：定理一： 两个正数的和为定值时，当两数相等时， 其积最大 .最大值是定值平方的四分之一 .例如：两正数x 和 y，如果 x+y=10,那么 xy 的积有最大值，最大值是25.定理二： 两个正数的积为定值时，当两数相等时， 其和最小 .最小值是定值的算术平方根的 2 倍.例如：两正数x 和 y，如果 xy=16,那么x+y 有最小值，最小值是8.证明定理一，

3、可用配方法，也叫构造函数法.设 a>0, b>0, a+b=k . (k 为定值 ).那么 ab=a(k a)212k 2= a +ka= (ak)+.24当 a= k 时， ab 有最大值 k 2.24证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法.设 a>0, b>0,ab=k (k 为定值 )，再设 y=a+b.那么 y=a+ k ,a2 ya+k=0. （这是关于a 的二次议程方程）a a 为正实数， 0.即 ( y)2 4k 0，y2 4k 0. y 2k (不合题意舍去 )； y 2k . y 最小值 =2k .解方程组ab 2k，得 a=b=k .abk.当 a=

4、b=k 时， a+b 有最小值 2k .3. 在几何中，求最大、最小值还有下列定理：定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值.当这两边相等时，其和的值最大 .定理四： 一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值. 当这两边相等时，其和的值最小 .定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积 .二、例题例 1.已知： 3x2+2y2=6x, x 和 y 都是实数，求： x2+y 2 的最大、最小值 .解：由已知2 6x3x 22 0.y =2, y 是实数， y即 6x3x2 0， 6x 3x2 0， x2 2x 0.

5、2解得0 x 2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，2226x3x 2129x +y =x+2=( x 3) +22在区间0 x 2 中，当 x=2 时， x2+y 2 有最大值 4.当 x=0 时， x2+y 2=0 是最小值 .例 2.已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等.求：这个矩形周长、面积的最小值.解：用构造方程法 .设矩形的长，宽分别为a,b 其周长、面积的数值为 k.那么 2(a+b)=ab=k.a b1 k，即2abk. a 和 b 是方程x2 1kx+k=0的两个实数根 .2 a,b 都是正实数，0.即 ( k )2 4k 0.2解得 k 16；或 k 0 .k

6、 0 不合题意舍去.当 k 16 取等号时， a+b,ab 的值最小，最小值是16.即这个矩形周长、面积的最小值是16.例 3. 如图 ABC 的边 BC=a, 高 AD=h, 要剪下一个 矩形 EFGH ，问 EH 取多少长时，矩形的面积最大？最大面积是多少？解：用构造函数法A设 EH=x, S 矩形 =y,y则GH= .x AHG ABC ，y xhx.ahHhGBXCa DEF y= ax( h x)a ( xh ) 2ah .hh24当 x= h 时， y最大值 = ah .24即当 EH= h 时，矩形面积的最大值是ah .24例 4.如图已知：直线m n， A ， B ，C 都是定

7、点， AB=a, AC=b,点P在 AC 上，BPAaBnx的延长线交直线m 于 D.问：点 P 在什么位置时，S PAB+SPCD 最小？解：设 BAC= ，PA=x,则 PC=b x. m n， CD PC .AB PAa(bx) CD=xS PAB+S PCD =11a(bx)axSin+2x(b x) Sin 2=1aSin ( xb22bxx2)2x=1aSin (2x+b 22b).2x 2x × b 2=2b 2 (定值 )，根据定理二， 2x + b 2有最小值 .xx 当 2x = b2， x= 12b 时，x2SPAB+S PCD 的最小值是(21)abSin .

8、例 5.已知： Rt ABC 中 ,内切圆 O 的半径r=1.求： S ABC 的最小值 .B1 ab 2S.解： S ABC = ab2 2r=a+bc, c=a+b 2r.aOcr=1 a+b 2r= a 2 b 2 .CbA222 22 两边平方，得 a +b +4r +2ab4(a+b)r= a +b . ab=2S 且 a+b=S +1. a, b 是方程 x2(S +1)x+2S =0 的两个根 . a,b 是正实数，4r2+2ab 4(a+b)r=0.a+b=S +1. 0，即 (S+1) 2 4× 2S 0，S2 6S+10 .解得S 3+22 或 S 322 .S

9、322 不合题意舍去 . SABC 的最小值是 3+22.例 6.已知： .如图 ABC 中， AB=62， C=30 .求： a+b 的最大值 .解：设a+b=y , 则 b=y a.根据余弦定理，得( 62 )2=a2+(y a)2 2a(ya)Cos30写成关于 a 的二次方程：(2+322 (8+43 )=0.)a (2+ 3 )ya+y a 是实数，C 0.即 (2+222 (8+43)0，303 )y 4(2+ 3 )ybay2 (8+43 )2 0 .AcB (8+4 3 ) y (8+4 3 ). a+b 的最大值是 8+4 3 .又解：根据定理三AB 和 C 都有定值 .当

10、a=b 时， a+b 的值最大 .C30由余弦定理， ( 62)2=ab2 b2 2abCos30a可求出a=b=4+23 .ABc三、练习1.x1,x2,x3,x4,x5 满足 . x1+x2 +x 3+x 4+x 5=. x1x2x3x4x5，那么 . x5 的最大值是.(1988 年全国初中数学联赛题)2. 若矩形周长是定值 20cm,那么当长和宽分别为 _， _时，其面积最大，最大面积是 _.3. 面积为 100cm2 的矩形周长的最大值是.4.a,b 均为正数且a+b=ab,那么a+b 的最小值是 _.5. 若 x>0, 则 x+ 9 的最小值是 _.xABCD6 如图直线上有

11、 A 、B 、 C、 D 四个点 .那么到 A ，B ， C， D 距离之和为最小值的点，位于，其和的最小值等于定线段.(1987 年全国初中数学联赛题)7. 如右图 ABC 中， AB=2 ， AC=3 ，是以 AB ， BC， CA 为边的正方形，则阴影部份的面积B 的和的最大值是.(1988 年全国初中数学联赛题)CA8.下列四个数中最大的是()（ A ）tan48 +cot48.(B)sin48+cos48 .(C) tan48+cos48 .(D)cot48+sin48.(1988 年全国初中数学联赛题)9.已知抛物线y= x2+2x+8 与横轴交于B ，C 两点，点 D 平分 BC

12、，若在横轴上侧的点A为抛物线上的动点，且BAC 为锐角，则AD 的取值范围是 _(1986 年全国初中数学联赛题)C10.如图 ABC 中， C=Rt， CA=CB=1 ，点 P 在 AB 上，QPQBC 于 Q.问当 P 在 AB 上什么位置时，S APQ 最大？11. ABC 中， AB=AC=a ，以 BC 为边向外作等边三角形 BDC ，问当 BAC 取什么度数时AD 最长？APB12. 已知 x2+2y 2=1, x,y 都是实数，求 2x+5y 2 的最大值、最小值 .13. ABC 中 B= 60 ， AC=1 ，求 BA+BC的最大值及这时三角形的形状.14. 直角三角形的面积

13、有定值 k,求它的内切圆半径的最大值 .15. D， E， F 分别在 ABC 的边 BC、 AC 、AB 上，若 BD DC=CE EA=AF FA =k (1 k) (0<k<1). 问 k 取何值时， SDEF 的值最小？16. ABC 中，BC=2 ，高 AD=1 ，点 P，E，F 分别在边 BC，AC ，AB 上，且四边形 PEAF 是平行四边形 .问点 P 在 BC 的什么位置时， SPEAF 的值最大？练习题参考答案1. 5.2. 5， 5 25.3. 40cm4. 45. 66.BC 上， BC+AD.7. 最大值是1 × 3× 2× SinBAC, BAC=90 度时值最大 .9，S =28. (A).9. 3<AD 9最大值1，S = x2 x10. P 在 AB 中点时， S=228x 与2 x 的和有定值，当 x=2 x 时， S值最大 .11. 当 BAC=120 度时， AD 最大，在 ABD 中，设 BAD= 由正弦定理ADa，当 150 =90时， AD