初中数学动点问题专题讲解.

1、优秀学习资料欢迎下载专题一：建立动点问题的函数解析式例 1(2000 年·上海 ) 如图 1, 在半径为 6, 圆心角为 90°的扇形 OAB的弧 AB 上 , 有一个动点 P,PHOA, 垂足为 H, OPH的重心为 G.(1) 当点 P 在弧 AB 上运动时 , 线段 GO、GP、GH中, 有无长度保持不变的线段 ?如果有 , 请指出这样的线段 , 并求出相应的长度 .(2) 设 PHx ,GPy , 求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域( 即自变量x 的取值范围 ).(3) 如果 PGH是等腰三角形 , 试求出线段 PH的长 .解:(1)当点 P 在弧

2、AB 上运动时 ,OP 保持不变 , 于是线段GO、GP、 GH中, 有长度保持不变的线段，这条线段是221BGH= NH=OP=2.332P(2)在 Rt POH中 ,OHOP2PH 236 x 2 ,NyMH1 OH136x2 .Gx22OMHA在 Rt MPH中 ,图 1MPPH2MH2291213x2.x4x36221362(0<x <6). y =GP=MP=3x3 3(3) PGH是等腰三角形有三种可能情况 : GP=PH时,1x 2x , 解得 x6 .经检验 ,x6 是原方程的根 , 且符合题意 .3633 GP=GH时,1 363x 22 , 解得 x0 .经检验

3、 ,x0 是原方程的根 , 但不符合题意 .3 PH=GH时, x 2 .综上所述 , 如果 PGH是等腰三角形 , 那么线段 PH的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例 2（ 20XX年·山东）如图 2, 在 ABC中,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC上运动 . 设 BD=x, CE=y .(1) 如果 BAC=30° , DAE=105° , 试确定 y 与 x 之间的函数解析式；(2) 如果 BAC的度数为, DAE的度数为, 当 ,满足怎样的关系式时,(1) 中 y 与 x 之间的函数解析式还成立 ?试说明理由 .A解:(1) 在 ABC中

4、, AB=AC,BAC=30°, ABC=ACB=75°, ABD= ACE=105° . BAC=30° , DAE=105° , DAB+ CAE=75° ,又 DAB+ADB= ABC=75° ,DE CAE=ADB,BC ADB EAC, ABBD ,图 2CEAC 1x , y1.y1x优秀学习资料欢迎下载(2) 由于 DAB+ CAE=, 又 DAB+ ADB= ABC=90, 且2函数关系式成立, 90=, 整理得2当90时 , 函数解析式2F90 .B2y1P成立 .x例 3(20XX 年·上海 )

5、 如图 3(1), 在 ABC中 , ABC=90° ,AB=4,BC=3.D点 O 是边 AC 上的一个动点 , 以点 O 为圆心作半圆 , 与边 AB 相切于点 D,CA交线段 OC于点 E. 作 EPED,交射线 AB 于点 P, 交射线 CB于点 F.E O3(1)(1) 求证 : ADE AEP.P(2) 设 OA=x ,AP= y , 求 y 关于 x 的函数解析式 , 并写出它的定B义域 .F(3) 当 BF=1时 , 求线段 AP的长 .解:(1) 连结 OD.D根据题意 , 得 OD AB, ODA=90° , ODA= DEP.CA又由OD=OE,得 O

6、DE= OED. ADE= AEP, ADEE OAEP.3(2)(2) ABC=90° ,AB=4,BC=3, AC=5. ABC=ADO=90° , OD BC, ODx ,ADx ,3545OD=3 x ,AD= 4 x . AE=x3 x =8x .5555 ADE AEP, AEAD ,8 x4 x16 x ( 0 x25 55 . y).APAEy858x5(3) 当 BF=1时，若 EP交线段 ADE=AEP, F= PDE,CB的延长线于点F, 如图 3(1) ，则 CF=4. PDE=PEC. FBP= DEP=90° , FPB= DPE, F

7、= FEC, CF=CE.5- 8 x =4, 得 x5. 可求得 y2, 即 AP=2.58若 EP交线段 CB于点 F, 如图 3(2), 则 CF=2.类似 , 可得 CF=CE.5- 8 x =2, 得 x15.58可求得 y6 , 即 AP=6.综上所述 ,当 BF=1 时, 线段 AP的长为 2 或 6.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例 4（ 20XX年·上海）如图 , 在 ABC中 , BAC=90° ,AB=AC=2 2 , A 的半径为 1. 若点 O在 BC边上运动 ( 与点 B、 C不重合 ), 设 BO=x , AOC的面积为y .(1) 求

8、 y 关于 x 的函数解析式 , 并写出函数的定义域 .ABC优秀学习资料欢迎下载(2) 以点 O为圆心 ,BO 长为半径作圆 O,求当 O与 A 相切时 , AOC的面积 .解:(1) 过点 A 作 AHBC,垂足为 H. BAC=90° ,AB=AC=22 , BC=4,AH=1 BC=2. OC=4-x .2SAOC1OC AH , yx4 ( 0x4).2(2) 当 O与 A 外切时 ,在 Rt AOH中 ,OA= x 1,OH=2x , (x1) 222(2x)2 .解得 x7.7176此时 , AOC的面积 y = 46.6当 O与 A 内切时 ,在 Rt AOH中 ,O

9、A= x 1 ,OH= x2 , (x1)22 2(x2)2 .解得 x7.2此时 , AOC的面积 y = 4712.2综上所述 , 当 O与 A 相切时 , AOC的面积为 17或 1 .62专题二：动态几何型压轴题动态几何特点- 问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、以动态几

10、何为主线的压轴题（一）点动问题1（ 09 年徐汇区） 如图，ABC 中， AB AC 10 ， BC 12 ，点 D 在边 BC 上，且 BD4，以点 D 为顶点作EDFB ，分别交边 AB 于点 E ，交射线 CA 于点 F （ 1）当 AE 6 时，求 AF 的长；（ 2）当以点 C 为圆心 CF 长为半径的 C 和以点 A 为圆心 AE 长为半径的 A 相切时，求 BE 的长；（ 3）当以边 AC 为直径的 O 与线段 DE 相切时，求 BE 的长 题型背景和区分度测量点本题改编自新教材九上相似形 24.5(4) 例六 ,典型的一线三角 (三等角 )问题 ,试题在原题的基础上改编出第一小

11、题,当 E 点在 AB 边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系 (相切问题 )的存在性的研究形成了第二小题 ,加入直线与圆的位置关系 (相切问题 )的存在性的研究形成了第三小题区分度测AFEBDC优秀学习资料欢迎下载量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用方程思想来求解 区分度性小题处理手法1直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程2圆与圆的位置关系的存在性( 相切问题 ) 的处理方法：利用d=R±r(R r ) 建立方程3解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段 . 略解解：（ 1） 证明 CDF EBD CFCD，代入数据得 CF 8 ， AF=2BDB

12、E32（2） 设 BE= x ,则 dAC10, AE10x, 利用（ 1）的方法 CF，32x相切时分外切和内切两种情况考虑：外切， 1010， x 42 ；xx32， x 102170x 10内切， 10 10 xx当 C 和 A 相切时， BE 的长为 42 或10217 （ 3）当以边 AC 为直径的 O 与线段 DE 相切时，BE203类题 一个动点： 09 杨浦 25 题（四月、五月）、09 静安 25 题、两个动点： 09 闸北 25 题、 09松江 25 题、 09 卢湾 25 题、 09 青浦 25 题（二）线动问题在矩形 ABCD 中， AB 3，点 O 在对角线 AC 上

13、，直线 l 过点 O，且与 AC 垂直交 AD 于点 E.(1)若直线 l 过点 B ，把 ABE 沿直线 l 翻折，点 A 与矩形 ABCD 的对称中心 A 重合，求 BC 的长；1x ，五边(2)若直线 l 与 AB 相交于点 F，且 AO AC ，设 AD 的长为4l形 BCDEF 的面积为 S.求 S 关于 x 的函数关系式，并指出 x的取值范AED围；探索：是否存在这样的x ，以 A 为圆心，以 x3 长为半径的圆与OA4直线 l 相切，若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由 题型背景和区分度测量点 BC本题以矩形为背景 ,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到第一小题考核了

14、学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线l 沿lAB 边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆AED的位置关系 (相切问题 )的存在性的研究形成了区分度测量点二O 区分度性小题处理手法 1找面积关系的函数解析式， 规则图形套用公式或用割补法，不规则F图形用割补法BC2直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程3解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段. 略解(1) A是矩形 ABCD的对称中心 AB AA 1 AC2ABAB， AB3AC6 BC3 3优秀学习资料欢迎下载(2) ACx29，AO1x 29，AF1 (x 29)， AEx 294124

15、xSAEF1AEAF(x 29) 2， S3x( x29) 2296 x96xSx4270x281(3x33 )96x若圆 A 与直线 l相切，则 x31x29 ， x10 ( 舍去 ) ， x28 x283 4455不存在这样的 x ，使圆 A 与直线 l 相切 类题 09虹口 25题（三）面动问题如图，在ABC中， ABAC5,BC6， D、E分别是边 AB、AC 上的两个动点（ D 不与 A 、 B 重合），且保持 DE BC ，以 DE 为边，在点 A的异侧作正方形 DEFG .（1）试求ABC 的面积；（2）当边 FG 与 BC 重合时，求正方形DEFG 的边长；（3）设 ADx ，

16、ABC 与正方形 DEFG 重叠部分的面积为y ，试求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域；（4）当BDG 是等腰三角形时，请直接写出AD 的长专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题ADEBGFC例题如图 1 ，已知抛物线的顶点为A （2 ， 1 ），且经过原点O，与 x 轴的另一个交点为B。y1 x 2x求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为4）若点 C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O、C、D、 B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；连接 OA 、AB ，如图 2 ，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点P，使得 OBP 与 OAB 相似？若存在，求

17、出P 点的坐标；若不存在，说明理由。yyAAOBOBxx图1例1题图图2优秀学习资料欢迎下载分析:1 .当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线 为四边形的边和对角线来考虑问题以O、 C、 D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况2 .函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角 的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。若两个三角形的各边均未

18、给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。y练习 4 (2008 广东湛江市 ) 如图所示， 已知抛物线 yx2 1 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 CP（ 1）求 A、 B 、C 三点的坐标（ 2）过点 A 作 AP CB 交抛物线于点 P，求四边形 ACBP 的面积（ 3）在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点M，过 M作MGx 轴于点 G，使以oBA 、M、G 三点为顶点的三角形与AxPCA 相似若存在， 请求出 M 点的坐标； 否则，请说明理由C解：（1）令 y 0 ，得 x2练习 4图1 0解得 x1令 x0 ，得 y1 A (1,0)B (1,0)C (0,1)（ 2） OA=OB=OC=1BAC =AC O=BC O= 45 APCB ，PAB= 45过点P作PEx 轴于 E ，则AP E 为等腰直角三角形令 OE= a ，则 P E= a 1 P (a, a 1)优秀学习资料欢迎下载点 P 在抛物线