直线的两点式方程一类教资

1、直线的直线的两点式方程两点式方程 y=kx+b y- y0 =k(x- x0 )k为斜率，为斜率， p0(x0 ,y0)为直线上的一定点为直线上的一定点 k为斜率，为斜率，b为截距为截距1). 直线的点斜式方程：直线的点斜式方程：2). 直线的斜截式方程：直线的斜截式方程： 解：设直线方程为：解：设直线方程为：y=kx+b例例1.已知直线经过已知直线经过p1(1,3)和和p2(2,4)两点两点,求直求直线的方程线的方程一般做法：一般做法：342kbkb 由已知得：由已知得：12kb解方程组得：解方程组得：所以所以:直线方程为直线方程为: y=x+2方程思想方程思想还有其他做法吗？ 为什么可以这

2、样做，这样做的为什么可以这样做，这样做的根据是什么？根据是什么？02)1(123431234 yxxyk化简可得化简可得再由直线的点斜式方程再由直线的点斜式方程由斜率公式得到斜率由斜率公式得到斜率123413 xy即：即： 得得: y=x+2 设设p(x,y)为直线上不同于为直线上不同于p1 , p2的动点的动点,与与p1(1,3)p2(2,4)在同一直线上在同一直线上,根据斜率相根据斜率相等可得：等可得：211ppppkk 二、直线的二、直线的两点式方程两点式方程 已知两点已知两点p1 ( x1 , y1 ),p2(x2 , y2),求通过这求通过这两点的直线方程两点的直线方程解：设点解：设

3、点p(x,y)是直线上不同于是直线上不同于p1 , p2的点的点211121xyyxyyxx 可得直线的两点式方程：可得直线的两点式方程：211121yyxxyyxx kpp1= kp1p2记忆特点：记忆特点：1.左边全为左边全为y，右边全为，右边全为x2.两边的分母全为常数两边的分母全为常数 3.分子，分母中的减数相同分子，分母中的减数相同 推广推广 不是不是! ! 121121yyyyxxxx 是不是已知任一直线中的两点就能用两是不是已知任一直线中的两点就能用两点式点式 写出直线方程呢？写出直线方程呢？ 两点式不能表示平行于坐标轴或与坐两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线标轴重合

4、的直线注意：注意： 当当x1 x2或或y1= y2时时,直线直线p1 p2没有两点式程没有两点式程.(因因为为x1 x2或或y1= y2时时,两点式的分母为零两点式的分母为零,没有意义没有意义) 那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢? 若点若点p1 (x1 , y1 ),p2( x2 , y2)中有中有x1 x2,或或y1= y2,此时过这两点的直线方程是什么此时过这两点的直线方程是什么?当当x1 x2 时方程为：时方程为： x x当当 y1= y2时方程为：时方程为： y = y 例例2:已知直线已知直线 l 与与x轴的交点为轴的交点为a(a,0),与

5、与y轴的轴的交点为交点为b(0,b),其中其中a0,b0,求直线求直线l 的方程的方程解解:将两点将两点a(a,0), b(0,b)的坐标代入两点式的坐标代入两点式, 得得:0,00yxaba 1.xyab即即所以直线所以直线l l 的方程为：的方程为：1.xyab四、直线的截距式四、直线的截距式方程方程截距可是正数截距可是正数, ,负数和零负数和零 注意注意：不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线 直线与直线与 x 轴的交点轴的交点(a, o)的横坐标的横坐标 a 叫做叫做直线在直线在 x 轴上的截距轴上的截距是不是任意一条直线都有其截距式方程呢是不

6、是任意一条直线都有其截距式方程呢?1.xyab截距式直线方程截距式直线方程: 直线与直线与 y 轴的交点轴的交点(0, b)的纵坐标的纵坐标 b 叫做叫做直线在直线在 y 轴上的截距轴上的截距 过过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条相等的直线有几条?解解: 两条两条例例3:那还有一条呢？那还有一条呢？y=2x (与与x轴和轴和y轴的截距都为轴的截距都为0)所以直线方程为：所以直线方程为：x+y-3=0a=3121aa把把(1,2)代入得：代入得：1xyaa设设:直线的方程为直线的方程为: 举例举例 解：解：三条三条 (2) 过过(1,2)并且在两个坐标轴

7、上的截距的绝并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条对值相等的直线有几条? 解得：解得：a=b=3或或a=-b=-1直线方程为：直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或或y=2x1xyabab 设设截距可是正数截距可是正数, ,负数和零负数和零 例例4:已知角形的三个顶点是已知角形的三个顶点是a(5，0)，b(3，3)，c(0，2)，求，求bc边所在的直线边所在的直线方程，以及该边上中线的直线方程方程，以及该边上中线的直线方程.解：过解：过b(3,-3),c(0,2)两点式方程为：两点式方程为：203230yx 整理得：整理得：5x+3y-6=0这就是这就是bc边所在直线的方程边所

8、在直线的方程. 举例举例 1212,22xxyyxy bc边上的中线是顶点边上的中线是顶点a与与bc边中点边中点m所连所连线段，由中点坐标公式可得点线段，由中点坐标公式可得点m的坐标为：的坐标为：31,22m 即即整理得：整理得：x+13y+5=0这就是这就是bc边上中线所在的直线的方程边上中线所在的直线的方程.05130522yx 过过a(-5,0),m 的直线方程的直线方程31,22 m中点坐标公式：中点坐标公式：则则121222xxxyyy 若若p1 ，p2坐标分别为坐标分别为( x1 ，y1 ), (x2 ，y2)且中点且中点m的坐标为的坐标为(x, y).b(3,-3),c(0,2)

9、 m 3032(,)22 即即 m 31( ,)22 已知直线已知直线l :2x+y+3=0,求关于点求关于点a(1,2)对对称的直线称的直线l 1的方程的方程. 解：当解：当x=0时,y=3.点(0,-3)在直线在直线l上上,关于关于(1,2)的的对称点对称点为为(2,7). 当当x=-2时时,y=1. 点点(-2,1)在直线在直线l上上,关于关于(1,2)的的对称点对称点为为(4,3). 那么那么,点点 (2,7) ,(4,3)在在l 1上上.因此因此, ,直线直线l l 1 1的方程为：的方程为：723742yx 化简得化简得: 2x + y -11=0 思考题思考题 还有其它的方法吗？

10、还有其它的方法吗？ l l 1，所以所以l 与与l 1的斜率相同的斜率相同 kl1=-2经计算，经计算，l 1过点过点(4,3)所以直线的点斜式方程为：所以直线的点斜式方程为：y-3=-2(x-4)化简得：化简得： 2x + y -11=0名名 称称 几几 何何 条条 件件 方程方程 局限性局限性 斜截式点斜式两点式截距式byk轴上的纵截距斜率 ,bkxy轴的直线不垂直于xkyxp和斜率，点)(001)(00 xxkyy轴的直线不垂直于x)()(222111yxpyxp，和点，点211211xxxxyyyy轴的直线、不垂直于yxbyax轴上的截距在轴上的截距在1byax不过原点的直线轴的直线、

11、不垂直于yx 归纳归纳直线方程的四种具体形式直线方程的四种具体形式(1) 平面直角坐标系中的每一条直线平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于都可以用一个关于x , y的的二元一次二元一次方程方程表示吗？表示吗？(2) 每一个关于每一个关于x , y的的二元一次方程二元一次方程都表示直线吗？都表示直线吗？ 思考思考分析：分析：直线方程直线方程 二元一次方程二元一次方程(2) 当斜率不存在时当斜率不存在时l可表示为可表示为 x - x0=0,亦可亦可看作看作y的系数为的系数为0的二元一次方程的二元一次方程.(x-x0+0y=0)结论结论1：平面上任意一条直线都可以用一个关平面上任意一条直线都

12、可以用一个关于于 x , y 的二元一次方程表示的二元一次方程表示.(1) 当斜率存在时当斜率存在时l可表示为可表示为 y=kx+b 或或 y - y0 = k ( x - x0 ) 显然为二元一次方程显然为二元一次方程.即：对于任意一个二元一次方程即：对于任意一个二元一次方程 ax+by+c=0 (a.b不同时为不同时为0)，判断它是否表示一条直线？，判断它是否表示一条直线？bcxbay （1）当）当b 0时，方程可变形为时，方程可变形为它表示过点它表示过点 ，斜率为，斜率为 的直线的直线.),0(bc ba （2）当）当b=0时，因为时，因为a,b不同时为零，所以不同时为零，所以a一定不一

13、定不为零为零,于是方程可化为于是方程可化为 ，它表示一条与，它表示一条与 y 轴平轴平行或重合的直线行或重合的直线.acx 结论结论2: 关于关于 x , y 的二元一次方程的二元一次方程,它都表示它都表示一条直线一条直线.直线方程直线方程 二元一次方程二元一次方程由由1，2可知：可知： 直线方程直线方程 二元一次方程二元一次方程定义定义：我们把关于我们把关于 x , y 的二元一次方程的二元一次方程 ax+by+c=0(其中其中a,b不同时为不同时为0) 叫做直线的一般式方程，简称一般式叫做直线的一般式方程，简称一般式. 定义定义 在方程在方程ax+by+c=0中，中，a，b，c为何值为何值

14、时，方程表示的直线时，方程表示的直线 （1）平行于）平行于x轴：（轴：（2）平行于）平行于y轴：轴： （3）与）与x轴重合：（轴重合：（4）与）与y轴重合：轴重合：分析分析: (1)直线平行于直线平行于x轴时轴时,直线的斜率不存在直线的斜率不存在,在在x轴上的截距不为轴上的截距不为0即即 a=0 , b 0,c 0. (2) b=0 , a 0 , c 0.(3) a=0 , c=0 , b 0.(4) b=0 , c=0 , a 0. 探究探究例例 1 已知直线过点已知直线过点a(6，4)，斜率，斜率为为 ,求直线的求直线的点斜式和一般式点斜式和一般式方程方程.34 解：代入点斜式方程有解：

15、代入点斜式方程有 y+4= (x-6). 化成一般式，得化成一般式，得 4x+3y-12=0. 举例举例34 例例2 把直线把直线l的一般式方程的一般式方程 x-2y+6=0 化成斜化成斜截式截式,求出求出l的斜率以及它在的斜率以及它在x轴与轴与y轴上的截距轴上的截距,并画出图形并画出图形.解：化成斜截式方程解：化成斜截式方程 y= x+3 因此，斜率为因此，斜率为k= ,它在它在y轴上的截距是轴上的截距是3. 令令y=0 得得x=6.即即l在在x轴上的截距是轴上的截距是6. 由以上可知由以上可知l与与x 轴轴,y轴的交点轴的交点分别为分别为a(-6，0)b(0，3),过过a，b做直线做直线,为为l的图形的图形.2121 举例举例m , n 为何值时为何值时,直线直线mx+8y+n=0和和2x+my-1=0垂直垂直?解解:（1）若两条直线的斜率都存在，则）若两条直线的斜率都存在，则m不等于不等于0， 且两条直线的斜率分别为且两条直线的斜率分别为 但由于但由于 所以两条直线不垂直所以两条直线不垂直. .28mm 、141)2()8( mm （2）若）若m=0，则两条直线中一条直线的斜率为，则两条直线中一条直线的斜率为0，另一条斜率不存在，这时两条直线垂直，方程分别另一条斜率不存在，这