三线合一性质的逆定理教学材料

1、一、 等腰三角形的“三线合一”性质的逆定理“三线合一”性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。逆定理： 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。 如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。简言之： 三角形中任意两线合一，必能推导出它是一个等腰三角形。证明：已知: abc中，ad是bac的角平分线， ad是bc边上的中线，求证：abc是等腰三角形。分析：要证等腰三角形就是要证ab=ac，直接通过证明这两条线所在的三角形全等不行，

2、那就换种思路，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方法是“延长加倍”，即延长ad到e点，使ad=ed，由此问题就解决了。证明：延长ad到e点，使ad=ed，连接ce 在abd和ecd中 ad=de adb=edc bd=cd abdecd ab=ce, bad=ced ad是bac的角平分线 bad=cad ced=cad ac=ce ab=ac abc是等腰三角形。三个逆定理中以逆定理在几何证明的应用中尤为突出。证明：已知: abc中，ad是bac的角平分线，ad是bc边上的高，求证：abc是等腰三角形。分析：通过（asa）的方法来证明abd和acd的全等，由此推出ab=ac得出abc是等

3、腰三角形证明：已知: abc中，ad是bc边上的中线，又是bc边上的高，求证：abc是等腰三角形。分析：ad就是bc边上的垂直平分线，用（sas）的方法来 证明abd和acd的全等，由此推出ab=ac得出 abc是等腰三角形。（即垂直平分线的定理）二、“三线合一”的逆定理在辅助线教学中的应用（1）逆定理的简单应用例题1已知：如图，在abc中，ad平分bac，cdad,d为垂足，ab>ac。求证：2=1+b分析：由“ad平分bac，cdad”推出ad所在的三角形是等腰三角形，所以延长cd交ab于点e，由逆定理得出aec是等腰三角形由此就可得出2=aec，又aec=1+b，所以结论得证。（2

4、）逆定理与中位线综合应用例题1已知： 如图，在abc中，ad平分bac，交bc于点d，过点c作ad的垂线，交ad的延长线于点e，f为bc的中点，连结ef。求证： efab，ef=(ac-ab) 分析： 由已知可知，线段ae既是bac的角平分线又是ec边上的高，就想到把ae所在的等腰三角形构造出来，因而就可添辅助线“分别延长ce、ab交于点g”。简单证明：由逆定理得出agc是等腰三角形，点e是gc的中点ef是bgc的中位线得证。例题2如图，已知：在abc中，bd、ce分别平分abc, acb,agbd于g，afce于f，ab=14cm,ac=9cm,bc=18cm.求： fg的长。分析：通过已知

5、条件可以知道线段cf和bg满足逆定理的条件，因此就想到了分别延长ag、af来构造等腰三角形。简单证明：分别延长ag、af交bc于点k、h由逆定理得出abk是等腰三角形点g是ak的中点 同理可得点f是ah的中点fg是ahk的中位线 由此就可解出fg的长。（3）逆定理与直角三角形的综合应用例题1已知，如图，ad为rtabc斜边bc上的高，abd的平分线交ad于m，交ac于p, cad的平分线交bp于q。求证：qad是等腰三角形。 分析：由直角三角形的性质可知道aqm=90°， 由此线段bq满足了逆定理2的条件，所以想到延长aq交bc于点n。简单证明：由添辅助线得出abn是等腰三角形q点是

6、an的中点在rtand中，q是中点qa=dq,得证。例题2如图，在等腰abc中，c=90°，如果点b到a的平分线ad的距离为5cm,求ad的长。分析：已知条件满足了逆定理2，所以延长be和ac，交于点f。简单证明：由所添辅助线可知abf是等腰三角形e点是bf的中点bf=2be=10再由adc和bfc的全等得出ad=bf结论求出。对已知条件的合理剖析，找出关键语句，满足定理条件，添加适当的辅助线来构造等腰三角形，以达到解决问题的目的。（4）逆定理的简单应用（即垂直平分线的应用）例题1 （2006年宝山区中考模拟题）如图，已知二次函数y=ax2+bx的图像开口向下，与x轴的一个交点为b，

7、顶点a在直线y=x上，o为坐标原点。 证明: aob是等腰直角三角形分析：由抛物线的对称性可添辅助线-过点a作adx轴，垂足为d及直线y=x的性质，可以知道aob是等腰直角三角形。例题2如图，以abc的边ab，ac为边分别向形外作正方形abde和acfg，求证：若dfbc,则ab=ac分析：从已知条件出发想到了正方形的性质：边，角以及对角线：边的相等，角的相等并都等于90度，现要证明等腰三角形，能与其最密切的想到是否也能构造直角呢？于是就想到了添辅线ah简单证明：分别过点a、d、f作ahbc，dibc,fjbc,分别交bc于点h，cb的延长线于i，bc的延长线于j由dfbc，di=fj又 ah

8、ccjf（aas），abhbdi(aas)hc=fj,bh=dibh=hc,得证。抓住已知条件和结论的联系，（例题1中抛物线的对称性和等腰三角形的垂直平分线之间的内在联系，例题2中正方形中直角的信息获得与等腰三角形的垂线间的间接联系，）通过获取的信息以及对等腰三角形“三线合一”性质的逆定理的熟练把握，再进行对题目的重新整合，就能快速做出解题的策略，添加相应的辅助线，对于解题有很大的帮助。（5）逆定理在作图中的应用已知：线段m，及，求作abc，使abc=，acb=，且ab+bc+ca=m分析：对于作图题，一般先在草稿纸上画出要求作图形的草图，再把相应的已知条件在图上标出，通过对草图的解剖与分析再把图用尺规规范的做出。通过草图的分析，直接得到所求三角形不行，由已知三边的和为m以及外角的性质我们可以找到一顶点a，再由垂直平分线与边的交 点找到另两个顶点b和c。作法：1、画射线op，在op上截取线段oq=m,2、画射线om，使mop=1/23、画射线qn，使nqo=1/2,交射线om于点a4、分别作ao、aq的垂直平分线，交oq于b，c两点，abc就是所求三角形。等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在辅助线教学中