传递原理第三章

1、第三章第三章 动量传递方程的若干解动量传递方程的若干解 本章讨论重点流体作简单层流流动时，动量传递方程的典型求解。主要包括：1.两平壁间的稳态层流；2.圆管与套管环隙间的稳态层流；3.无限大平板在黏性流体中的突然运动；4.极慢黏性流动（爬流）；5.势函数与理想流体的流动。动量传递方程的分析动量传递方程的分析 动量传递方程组：()+0u21()3BDpD ufuu0u当流体不可压缩时，=常数2BDpD ufu变量数：ux，uy，uz，p；方程数：4222222()1xxxxxxxxyzuuuupuXxxyzuuuuuxyz0yxzuuuxyz222222()1yyyyyyyxyzuuuupuYy

2、xyzuuuuuxyz222222()1zzzzzzzxyzuuuupuZzxyzuuuuuxyz动量传递方程的分析动量传递方程的分析 动量传递方程组的特点：（1）非线性偏微分方程；方程组的求解目的获得速度与压力分布( , , , )xxuux y z ( , , , )zzuux y z ( , , , )pp x y z ( , , , )yyuux y z 动量传递系数 CD（或 f ）等。（2）质点上的力平衡，仅能用于规则的层流求解。动量传递方程的分析动量传递方程的分析 方程组求解的分类： （1）对于非常简单的层流，方程经简化后，其形式非常简单，可直接积分求解解析解； （2）对于某些简

3、单层流，可根据流动问题的物理特征进行化简。简化后，积分求解物理近似解； （3）对于复杂层流，可采用数值法求解；将方程离散化，然后求差分解； （4）对于湍流，可先进行适当转换，再根据问题的特点，结合实验，求半理论解。动量传递方程的分析动量传递方程的分析 3.1 两平壁间的稳态层流一、方程的简化二、方程的求解三、平均流速与流动压降第三章第三章 动量传递方程的若干解动量传递方程的若干解 物理模型：流体在两平壁间作平行稳态层流流动，例如板式热交换器、各种平板式膜分离装置等。y流向xzy0oy0设=常数；稳态；远离流道进、出口；流体仅沿 x方向流动：0yzuu一、方程的简化一、方程的简化（1）连续性方程

4、的简化0yxzuuuxyz0 xux（2）运动方程的简化xx 方向：2222221()xxxxxxxxyzuuuuuuupuuuXxyzxxyz22()xupxy一、方程的简化一、方程的简化z 方向：2222221()yyyyyyyxyzuuuuuuupuuuYxyz yxyz2222221()zzzzzzzxyzuuuuuuupuuuZxyzzxyz0pzy 方向：pYgy 一、方程的简化一、方程的简化22()xupxy0pzpYgy (b)(c)（a)（b）对 y 积分得 ( , )( )p x ygyk x ( )( )pdk xf xxdx对x 微分得/0 xux /0 xuz 因xu

5、仅是 y 的函数221xd updyx常数 一、方程的简化一、方程的简化二、方程的求解二、方程的求解边界条件（B.C.）：0,0;xyyu0,0 xyydudy（1）（2）速度分布为 2201()2xpuyyx抛物线形2max012puyx 当0y 时速度最大2max01 () xyuuy三、平均流速与流动压降三、平均流速与流动压降021,Ay在流动方向上，取单位宽度的流通截面则通过该截面的体积流率为0022000122()2yysxpVu dyyydyx3023spVyx 320000212323ssbVVyppuyAyxyx max23buu平均流速：y01m203fbpuppLxLy 压

6、降：范宁摩擦因子（推导过程？）：201212/2sbbfuy uRe0(2)byuRe=三、平均流速与流动压降三、平均流速与流动压降3.1 两平壁间的稳态层流3.2 圆管与套管环隙间的稳态层流 一、圆管中的轴向稳态层流 二、套管环隙中的轴向稳态层流二、套管环隙中的轴向稳态层流 三、旋转黏度计的测量原理第三章第三章 动量传递方程的若干解动量传递方程的若干解 一、圆管中的轴向稳态层流圆管中的轴向稳态层流 流体在圆管中的流动问题许多工程科学中遇到。 设：不可压缩流体在水平圆管中作稳态层流流动，所考察的部位远离管道进、出口，流动为沿轴向的一维流动。zr柱坐标连续性方程的简化11()0zruururrr

7、z0zuzN-S方程简化r 分量: 22222221112()rrrrrzdrrruuuuuuuurrrzpuuururr rrrrz 一、圆管中的轴向稳态层流圆管中的轴向稳态层流 z 分量: 0dpr22222111()zzzzrzdzzzuuuuuuurrzpuuurzrrrrz 1dzpurzrrr 一、圆管中的轴向稳态层流圆管中的轴向稳态层流 分量: 2222221112()rrzdruuuuu uuuurrrzpuuururr rrrrz 0dp 一、圆管中的轴向稳态层流圆管中的轴向稳态层流 0dpr0dp1dzpurzrrr ( , , )( )dddppr zpz/0zu /0z

8、uz ( )zzuu r11()dzdpdudrr drdr dz. .(1)0,0;zduBCrdr(2),0izrru 一、圆管中的轴向稳态层流圆管中的轴向稳态层流 速度分布 221()4dzidpurr dz 管中心最大流速2max14didpur dz 2max1 ( ) ziruur平均流速2maxmax21112bziiAAuruu dAudAArr 一、圆管中的轴向稳态层流圆管中的轴向稳态层流 28fdbipdpuLdzr 压力降 范宁摩擦因子2281616sbibbfurudu Re 一、圆管中的轴向稳态层流圆管中的轴向稳态层流 二、套管环隙中的轴向稳态层流管环隙中的轴向稳态层

9、流 流体在两根同心套管环隙空间沿轴向的流动在物料的加热或冷却时经常遇到，如套管换热器。 设：不可压缩流体在两管环隙间沿轴向流过。设所考察的部位远离进、出口，求解套管环隙内的速度分布、主体流速以及压力降的表达式。11dzdpdudrr drdr dz常数套管环隙中层流的变化方程与圆管相同，即B.C. 为1(I),0zrru2(II),0zrrumaxmax(III),0zzdurruudr 二、套管环隙中的轴向稳态层流 max222111(ln)22zrrdprur dzrmax222221(ln)22zrrdprur dzr222121maxr -rr=2ln r r速度分布由B.C.+由B.

10、C.+联立二式 二、套管环隙中的轴向稳态层流管环隙中的轴向稳态层流 主体流速2122212rbzzrA1u =u dA=u rdrA(r -r )22221max1(2)8bdpurrr dz 压力降22221max182bdpudzrrr 范宁摩擦因子?f 二、套管环隙中的轴向稳态层流管环隙中的轴向稳态层流 三、旋转黏度计的测量原理三、旋转黏度计的测量原理12 两垂直的同轴圆筒，内筒的直径为a, 外筒的直径为b, 在两筒的环隙间充满不可压缩流体。当内筒以角速度 、外筒以角速度 旋转时，将带动流体沿圆周方向绕轴线作层流流动。若圆筒足够长，端效应可以忽略。 ab12连续性方程简化 11()0zr

11、uururrrz00zru,u0,0rzuu0u运动方程简化 22222221112()rrrrrzrrrruuuuuuuurrrzuuupXrurr rrrrz21uprr 三、旋转黏度计的测量原理三、旋转黏度计的测量原理2222221 1112()rrzruuuuu uuuurrrzuuupXru rr rrrrz1()0rurrr 三、旋转黏度计的测量原理三、旋转黏度计的测量原理22222111()zzzzrzzzzzuuuuuuurrzuuupXrzrrrrz10pgzzXg 三、旋转黏度计的测量原理三、旋转黏度计的测量原理21uprr1()0rurrr10pgz0u0uz1()0dd

12、rudrr drra1uarb2ubB.C. 通解： 122ccurr12222212() b acba2222122() a bcba122222222212()1 b a a burbabar 三、旋转黏度计的测量原理三、旋转黏度计的测量原理方向上的剪应力与形变速率的关系： 1rruu rrrr 0ru rurrr 代入速度分布方程22221222r a bbar 10 通常，旋转粘度计的内筒固定不动（ ），故作用于外圆筒内壁上的剪应力为：22222rr b aba 三、旋转黏度计的测量原理三、旋转黏度计的测量原理 已知旋转粘度计圆筒长为L，则作用于外筒内壁上的摩擦力为222242srr

13、b ba LFbLba外筒绕轴旋转的力矩为222224ors b a LMF bba222224orMba b a L() 三、旋转黏度计的测量原理三、旋转黏度计的测量原理222224orMba b a L() 测定某未知粘度的液体时，规定外圆筒转速 ，测定相应的转动力矩 ，可由上式计算待测液体的粘度。2orM 三、旋转黏度计的测量原理三、旋转黏度计的测量原理3.1 两平壁间的稳态层流3.2 圆管与套管环隙间的稳态层流3.3 非稳态流动求解的例一、方程的化简二、方程的求解第三章第三章 动量传递方程的若干解动量传递方程的若干解 非稳态流动的求解的例靠近平板的无限大流体当平板突然运动时的流动分布。

14、一、方程的化简一、方程的化简 考察位于平板（ xz 平面）上方的半无限大流体，流体初始静止。在 t= 0 时刻，平板以恒速 u0 沿 x 正方向运动，求流速分布。 设 x 方向压力梯度为零，流动为层流。xxxt0，流体静止yyyt0，平板运动t0，非稳态流动u0u0 由于22xxuuy, )xxuuy （0yzu =u 由连续性方程和运动方程化简可得 I.C. 0，ux0；(所有 y) B.C. y = 0，uxu0；(所有 0)y = ，ux0；(所有 0)一、方程的化简一、方程的化简 令2xxxuuu= 4y14xxxuuuyy222214xxxxuyuuuyyyy2220 xxuu222

15、0 xxd ududd,0 xu 00,xuuB.C.（1），B.C.（2）二、方程的求解二、方程的求解200211()4xuyederfu 两次积分得 速度分布( )erf 误差函数。yu0二、方程的求解二、方程的求解 剪应力 任一瞬时，壁面上的剪应力为000 xxsyuuuyy二、方程的求解二、方程的求解3.1 两平壁间的稳态层流3.2 圆管与套管环隙间的稳态层流3.3 非稳态流动求解的例3.4 极慢黏性流动（爬流）一、爬流的概念与爬流运动方一、爬流的概念与爬流运动方程程二、斯托克斯定律二、斯托克斯定律第三章第三章 动量传递方程的若干解动量传递方程的若干解一、爬流的概念与爬流运动方程一、爬

16、流的概念与爬流运动方程21DpD BuFu惯性力粘性力重力压力本节求运动方程的物理近似解。流体流动时，起支配作用的是惯性力和黏性力。Re =惯性力/粘性力 本节讨论 Re 0.1的流动，称为爬流 ( Creeping flow) 。 （1）当流动的Re很大，惯性力黏性力，惯性力起主导作用，黏性力是次要因素。 （2）当流动的Re很小，惯性力黏性力，粘性力起主导作用，惯性力是次要因素。一、爬流的概念与爬流运动方程一、爬流的概念与爬流运动方程2p u0u略去运动方程中的惯性力和重力项： 方程的特点：线性偏微分方程组，4个方程，4个未知量，可直接求出解析解。一、爬流的概念与爬流运动方程一、爬流的概念与

17、爬流运动方程球粒子在流体中的沉降 半径为r0的球粒子在静止无界不可压缩流体中以u0运动。设流动 Re很小。二、斯托克斯定律二、斯托克斯定律A(x , y, z)( , , )r r0 xyzu01.流体的速度分布；2.压力分布；3.粒子沉降的阻力。r（1）方程简化连续性方程：000u稳态轴对称cot210rruuuurrrr运动方程222222222212cot22cotrrrrruuuuuupurrrrrrrrr222222222112cot2sinruuuuuuprrrrrrrrB.C.000rr= r (u = , u =球面上），000cossinrr=, u =u, u =-u,p=

18、 p二、斯托克斯定律二、斯托克斯定律（2）速度及压力分布300031cos122rrruurr300031sin144rruurr 200003cos2rppurr二、斯托克斯定律二、斯托克斯定律球坐标本构方程2rrrupr 1rruuurrr1sinrruuurrr（3）流动阻力二、斯托克斯定律二、斯托克斯定律A(x , y, z)( , , )r rrrr0 xyzu00u00r0ru =u0ru0u0rur故球面上则球面上代入本构方程rrp ruurr代入速度和压力分布方程0003cos2rrupr003sin2rur 本构方程用于球面上二、斯托克斯定律二、斯托克斯定律流动阻力（斯托克斯

19、方程）rrrA20rrr0000d(cossin )2(cossin )sin24d0fdsFdArdr uruFF 阻力系数D24CRe适用条件Re 0.1二、斯托克斯定律二、斯托克斯定律例：根据粒子沉降的终端速度测定流体粘度：根据粒子沉降的终端速度测定流体粘度。解：球粒子在粘性流体中降落时，它将一直加速，直至获得一球粒子在粘性流体中降落时，它将一直加速，直至获得一恒定的终端速度为止。当达到这一状态时，作用于粒子上恒定的终端速度为止。当达到这一状态时，作用于粒子上的合力必为零。因此的合力必为零。因此033s00 044gg633rru r式中，式中，r r0 0为球粒子半径，为球粒子半径，s

20、 s 为球粒子密度，为球粒子密度，为流体密度。为流体密度。则可解得则可解得20s02()g 9ru当且仅当当且仅当Re 惯性力，惯性力起主导作用，除壁面附近的流体层外，大部分区域可按理想流体考虑。 研究理想流体流动的学科称为理论流体动力学，在航空、航天、水利工程等领域应用广泛。如研究流体绕过沉浸物体的流动的问题时，理想流体的理论可以用来解决压力分布等问题。一、理想流体的运动方程一、理想流体的运动方程xxxxxyzuuuu1 puuu+= X -xyz x1yyyyxyzuuuupu+u+u+=Y -xyz yzzzzxyzuuuu1 pu+u+u+=Z -xyz z0 xxxuuu+xyz1D

21、pDBufN-S方程连续性方程一、理想流体的运动方程一、理想流体的运动方程 方程特点：非线性偏微分方程组，4个方程，4个变量。为求解析解，可将方程转化为线性方程。为此，引入势函数的概念。一、理想流体的运动方程一、理想流体的运动方程二、流体的旋度与速度势函数二、流体的旋度与速度势函数yyxxzzuuuuuuyzzxxy uurotijk流体的旋度urot0当 ， 为无旋流动； ，为有旋流动。urot0速度势函数 0,0zuz以二维流动（x，y方向）为例讨论：无旋流动时，yyxxzzuuuuuuyzzxxy uurotijk00yxuuxyurotk00yxuuxy二、流体的旋度与速度势函数二、流

22、体的旋度与速度势函数,x x yux()2yxuuyx yx 令0yuxyyuCy积分 ,y x yuy()令C=0, x y(),xyu u 引入势函数的目的是将速度变量 用一个变量 代替，从而使方程的求解得以简化。定义xuxyuy二、流体的旋度与速度势函数二、流体的旋度与速度势函数 速度势函数存在的唯一条件是：流动无旋。因此，在三维流动中，也存在相应的速度势函数xuxyuyzuzu与 关系：xyzuuuxyz uijijkk k二、流体的旋度与速度势函数二、流体的旋度与速度势函数三、势流的速度与压力分布三、势流的速度与压力分布 势流理想流体的无旋流动。 势流的求解：0 xxxuuu+xyz

23、2222220 xyzB.C. x,y,z, （),xyzu u u1.速度分布2.压力分布2221(2)(2)(2)xxxxyzxxxyyzzyyyxxxxyzzyzzzyzuuuuuuuuuxyzuuuuuuuuuuuuuxxxyxzxuuxyzpuuuuuxxxxXxx 方向的欧拉方程：三、势流的速度与压力分布三、势流的速度与压力分布 2222xyzuuuu令221yxxzyzuuuuupuuXxyxzx x()x 方向:y 方向:z 方向:221yyxzxzuuuuupuuYyxyzy y()221yxzzxyuuuuupuuZzzxyzz()无旋流动三、势流的速度与压力分布三、势流的

24、速度与压力分布 221upx x ()221upy y ()221upgzz ()21()2Bupf取坐标 x，y 水平，z垂直向下BXYZg ijkkf 重力场为有势场，令单位质量流体所具有的势能为dgdz dddgdzdzdz ijk kk k22up0 0()三、势流的速度与压力分布三、势流的速度与压力分布 22up 0 0()22up常数积分 gz 常数22upgz常数Bernoulli equation 理想流体作无旋流动时，动能、位能与压力能之和为常数，不产生流动阻力。三、势流的速度与压力分布三、势流的速度与压力分布 3.2 圆管与套管环隙间的稳态层流3.3 非稳态流动求解的例3.

25、4 极慢黏性流动（爬流）3.5 理想流体的势流流动3.6 平面流与流函数的概念一、平面流一、平面流 二、流函数二、流函数 3.1 两平壁间的稳态层流第三章第三章 动量传递方程的若干解动量传递方程的若干解一、平面流一、平面流 许多流动体系，其一个方向的尺度要比另外两个方向的尺度大得多，例如矩形管道、流体在一个很宽的平壁面的流动等。对于这类问题，由于流体的物理量在一个方向上无变化或变化很小，可将其按二维流动处理。 稳态不可压缩流体的平面流的变化方程：0yxuuxy22221xxxxxyuuuupuuXxyxxy()22221yyyyxyuuuupuuYxy yxy()一、平面流一、平面流 二、流函数二、流函数 不可压缩流体的平面流动的连续性方程为 0yxuuxy,x x yuy()令2( , )yxuu x yxyy x 0yuyxyuCy积分 令C = 0 ,y x yux ()定义,x x yuy(),y x yux (), x y()流函数流函数满足连续性方