线面垂直及面面垂直典型例题干货分享

1、线面垂直及面面垂直典型例题 线面垂直与面面垂直 基础要点线面垂直 面面垂直线线垂直、若直线与平面所成的角相等，则平面与的位置关系是（b ) a、 b、不一定平行于 c、不平行于 d、以上结论都不正确、在斜三棱柱，又,过作底面bc,垂足为,则h一定在（ b ）.文档交流 仅供参考. a、直线ac上 b、直线b上 、直线b上 d、abc的内部、如图示，平面平面，与两平面所成的角分别为和，过a、b分别作两平面交线的垂线，垂足为，则（ a ）.文档交流 仅供参考. a、2:1 b、3:1 c、3： 、4：、如图示,直三棱柱中，,c上有一动点，则周长的最小值是 5。已知长方体中，若棱b上存在点p,使得,

2、则棱ad长的取值范围是 .题型一：直线、平面垂直的应用1.（201,江苏卷）如图，在三棱锥pabc中，f分别为棱pc，ac,b的中点。 已知.文档交流 仅供参考.求证：(） ;(2) .证明: （1） 因为d,e分别为棱pc，ac的中点，所以depa。 又因为pa 平面f，de Ì平面def，所以直线p平面def. （2） 因为d,e,f分别为棱p,ac，ab的中点，pa，bc8，所以depa，de=pa=3，ef=c4 .文档交流 仅供参考.又因 df，故f2def2，所以ef90°，即de丄ef。 又paac，da,所以dac.因为ace=e，acÌ平面ac,

3、efÌ平面abc，所以de平面a。 又eÌ平面b,所以平面de平面bc.2。 （014，北京卷，文科)如图,在三棱柱中，侧棱垂直于底面，,，、分别为、的中点.（）求证：平面平面；(2）求证:平面。证明:(1）在三棱柱中，.（2)取ab的中点g，连接eg，fg、分别为、的中点, ,，则四边形为平行四边形,。3如图,是所在平面外的一点，且平面,平面平面.求证分析:已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直,应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直.文档交流 仅供参考.证明:在平面内作，交于因为平面平面于，平面，且，所以又因为平

4、面，于是有.另外平面,平面，所以.由及，可知平面。因为平面，所以.文档交流 仅供参考.说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到,面面垂直线面垂直线线垂直。.文档交流 仅供参考.4。过点引三条不共面的直线、，如图，若截取(1)求证：平面平面;(2）求到平面的距离. 分析:要证明平面平面，根据面面垂直的判定定理,须在平面或平面内找到一条与另一个平面垂直的直线。（1)证明：,又,和都是等边三角形，取的中点，连结,.在中，,，.在中，,，,平面。平面，平面平面或：,顶点在平面内的射影为的外心,又为，在斜边上，又为等腰直角三角形，为的中点,平面平面,平面平面.（)解

5、:由前所证：，,平面，的长即为点到平面的距离，,点到平面的距离为、如图示，abcd为长方形,s垂直于bcd所在平面，过a且垂直于s的平面分别交s、c、sd于e、f、，求证：sb，as.文档交流 仅供参考.在四棱锥p-abcd中，侧面pc是正三角形，且与底面abcd垂直,已知底面是面积为的菱形,m是p中点。.文档交流 仅供参考.（1)求证:pac（2)求证：平面pa平面cdm7。在多面体abe中，abbca=ae=，cd=2,面ac，ae/d。（)求证:ae/平面bc；(2)求证：平面be平面bd题型二、空间角的问题如图示,在正四棱柱中,e为上使的点，平面交于f,交的延长线于g，求：(1)异面直

6、线ad与所成的角的大小（2）二面角的正弦值2.如图，点在锐二面角的棱上,在面内引射线，使与所成的角为，与面所成的角大小为,求二面角的大小。分析:首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形），通过解三角形使问题得解。.文档交流 仅供参考.解：在射线上取一点，作于，连结，则为射线与平面所成的角，再作,交于，连结，则为在平面内的射影。由三垂线定理的逆定理,为二面角的平面角.文档交流 仅供参考.设,在中，,在中,，是锐角,即二面角等于.说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且

7、还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线.文档交流 仅供参考. 正方体的棱长为1，是的中点求二面角的大小.分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分别作棱的垂线,方法虽简便,但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法,如图考虑到垂直于平面，在平面上的射影就是再过作的垂线，则面，过作的垂线,即为所求二面角的平面角了。.文档交流 仅供参考.解:过作及的垂线，垂足分别是、,连结面，面,，又,面又,，为所求二面角的平面角。,而，在中,.,。在中，在中,4.pa垂直于矩

8、形abd所在平面，m、e、n分别是b、c和pc的中点,（1）求证:mn平面pad（)若二面角p-ca为,求证：平面md平面p5.已知正方体中，e为棱上的动点,(1)求证：b (2）当e恰为棱的中点时，求证：平面平面（3）在棱上是否存在一个点e，可以使二面角的大小为？如果存在,试确定e在棱上的位置；如果不存在，请说明理由。.文档交流 仅供参考.题型三、探索性、开放型问题1.如图，已知正方形abc的边长为2,中心为。设平面bc,ec/p,且pa=。问当e为多少时，o平面bed。.文档交流 仅供参考.2.已知中,，ab平面cd,e、f分别是a、ad上的动点，且（1)求证:不论为何值，总有平面ef平面abc（）当为何值时,平面bf平面acd?山水是一部书,枝枝叶叶的文字间，声声鸟鸣是抑扬顿挫的标点，在茂密纵深间,一条曲径，