第五章定积分广义积分

1、第五章定积分、广义积分一、基本概念及结论一、基本概念及结论1.定义：定义：表示一个数的取法无关，分法和极限存在应与bainiiibadxxfbaxfdxxf)(,)(lim)(102.可积可积(充分充分)条件：条件：存在；上单调有界，则在若可积；有限区间上的连续函数 badxxfbaxf)(,)()2()1(第五章第五章: : 定积分与广义积分定积分与广义积分第五章定积分、广义积分存在。则一类间断点个第上分段连续但只有有限在若 badxxfbaxf)(,)()3(上有界；在存在若注：可积的必要条件：,)()(baxfdxxfba (4)定积分的几何意义定积分的几何意义:.;.)(的面积取负号轴

2、下方在轴上方面积取正号在面积的代数和轴上各曲边梯形表示底边在定积分xxxdxxfba 第五章定积分、广义积分 basdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 basdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值, 0)( xf, 0)( xfabxyooyabxabab0 1s2s3s321)(sssdxxfba 第五章定积分、广义积分3.3.定积分的性质定积分的性质: : bababababaabbababadxxfkdxxkfdxxgdxxfdxxgxfdxxfdxxfdttfdxxf)()(,)()()()()(3(;)()().2(,)()()1(线性性质)(0)(; 0)()4

3、(连续xfdxxfdxddxxfbaaa 第五章定积分、广义积分);,()()()()5(述积分存在的位置不一定，只要上cbadxxfdxxfdxxfbccaba babababadxxfdxxfdxxgdxxfbaxxgxf)()(,)()(,),()()6( 比较性质：反之不然反之不然)0(0)(,)( xfbaxf上连续，上连续，在在特别地，若特别地，若, 0)(0)( xfdxxfba第五章定积分、广义积分)()()(,)()7(abmdxxfabmbaxmxfmba 有有估估值值定定理理： 4121 dx)x(例例1.估计积分值估计积分值:,x)x(f12 解解在在1,4上的最小值、

4、最大值分别为：上的最小值、最大值分别为： 2,m .m1714 2 )(142 4121 dx)x()(1417 651 4121 dx)x(所以所以第五章定积分、广义积分如果函数如果函数f(x)在区间在区间a,b上连续，则在上连续，则在a,b上至上至少存在一点少存在一点使,)()(abfdxxfba(8)积分中值定理：积分中值定理：) ()(1)()2(,)1(平均值内取得；可在定理中的 badxxfabfba 注注第五章定积分、广义积分4.4.定积分的计算方法定积分的计算方法（1）newtonleibniz公式：公式：)()()()(afbfxfdxxfbaba上的任一原函数在为其中,)(

5、)(baxfxf注注1：badxxfafbf)()()()()()()()()()()()()4()()()(xbxbfxgdttfxgdttfxgdtxgtfdxdxbaxbaxba 第五章定积分、广义积分注注2 newtonleibniz公式表明：公式表明： (1) 一一个个连连续续函函数数在在区区间间,ba上上的的定定积积分分等等于于它它的的任任意意一一个个原原函函数数在在区区间间,ba上上的的增增量量. (3)当当ba 时时，)()()(afbfdxxfba 仍仍成成立立. (2)求定积分问题转化为求原函数不定积分求定积分问题转化为求原函数不定积分的问题的问题.(2)(2)定积分的换元

6、积分定积分的换元积分00 x( t )ba( t )()f ( x )dxf (t ) (t )dt 第五章定积分、广义积分注：变量不必回代；用凑微分法求定积分时若用同注：变量不必回代；用凑微分法求定积分时若用同除法（同除一因子），此因子在积分范围内不能为除法（同除一因子），此因子在积分范围内不能为0.0.（3 3）定积分的分部积法）定积分的分部积法 bababavduuvudv注：注：u,dv 的选取与不定积分相同；的选取与不定积分相同；若被积函数中含有变上限积分或被积函数的若被积函数中含有变上限积分或被积函数的导数时一般用分部积分。导数时一般用分部积分。125.5.广义积分广义积分(1)无

7、穷区间上的广义积分无穷区间上的广义积分第五章定积分、广义积分(2)无界函数的广义积分无界函数的广义积分(瑕积分瑕积分)注：注：广义积分的计算转化为计算一个定积分的广义积分的计算转化为计算一个定积分的极限，极限存在时收敛，极限不存在时发散；极限，极限存在时收敛，极限不存在时发散；（3 3）性质：）性质：),()()()(为任意常数cadxxfdxxfdxxfcaca1aaadxxgdxxfdxxgxf)()()()(aadxxfkdxxkf)()(23第五章定积分、广义积分分部积分公式分部积分公式aaavduuvudv45也有相应的换元法；也有相应的换元法；6)()()()(affxfdxxfa

8、a7)()()()(fbfxfdxxfbb8)()()()(ffxfdxxf9)()()()(afbfxfbdxxfbaba为瑕点第五章定积分、广义积分记住以下几个广义积分的敛散性：记住以下几个广义积分的敛散性： 时发散时收敛时发散时收敛时发散时收敛11)()3(11)(ln)2(11)1(121kkaxdxkkxxdxkkxdxakkk第五章定积分、广义积分利用以上结论可直接判定一些广义积分的敛散性利用以上结论可直接判定一些广义积分的敛散性: : 2121310)(ln)(;)(;1)(;)()(. 1xxdxdxdxcxdxbxdxa下列广义积分发散的是例.)(),(正确利用上述结论不难判

9、定dc第五章定积分、广义积分6.6.微积分的常用公式微积分的常用公式 aaaaxfxfdxxfxfxfdxxfxfdxxfaaxf00)()(,)(2)()(, 0)()()(,)()1(上连续，则上连续，则在在若若奇函数奇函数偶函数偶函数(2)若若, 则则)()(xftxf 220)()()(ttttaadxxfdxxfdxxf第五章定积分、广义积分二、基本问题及解法二、基本问题及解法问题问题( (一一) ) 有关变上限积分的运算有关变上限积分的运算。、xdttfxbaxfxa求极值等导求求极限如可进行函数的各种运算的连续函数是则变上限积分上连续在如果,.)()(,)( xaxxtxxdtt

10、xfxfdtexfdttfxfdttxf)()()4(;)()3()()()2(;1)()1(. 12320212求下列函数导数例第五章定积分、广义积分51)2(, 1. 1)32()(, 1 )1()1(,:23222 fxxxxxfxxxxfx得令即得求导方程两边对解)2()(), 0)(. 5)1(02fxdttfxfxx求上连续且满足在设例 问题问题( (二二) )： 定积分的计算定积分的计算直接积分法01.,莱布尼兹公式计算莱布尼兹公式计算顿顿找到一个原函数代入牛找到一个原函数代入牛凑微分的方法凑微分的方法基本积公式基本积公式直接利用积分性质直接利用积分性质第五章定积分、广义积分.;

11、,同的表达式同的表达式间所取的正负号或不间所取的正负号或不被积函数在不同积分区被积函数在不同积分区必须注意必须注意数形式时数形式时段函数以及要开方的函段函数以及要开方的函分分对值对值当被除数积函数出现绝当被除数积函数出现绝公式积分公式积分莱莱可直接或分段利用牛可直接或分段利用牛第一类间断点时第一类间断点时或出现有限个或出现有限个连续连续当被积函数在积分间上当被积函数在积分间上，、dxxx210212例例1. dxxx2102112dxx2102112102)12(x210arcsinx632 第五章定积分、广义积分102)21(xx212)21(xx 10)1 (dxx21) 1(dxx1)

12、12122(211 例例3.求求dxxx 03sinsin解：由于被积函数解：由于被积函数|cos|sin)sin1(sinsinsin23xxxxxx 20|1|dxx例例2.第五章定积分、广义积分例例1 计算计算 42022 dxxx解解: 设,sin2tx 2 ttdtdxcos2 当当0 x时,0 t;当2 x时,于是于是, 42022 dxxxtdtttcos2sin44)sin2(2202 dtt 202)2(sin4 dtt 20)4cos1(2 20)4sin41(2 tt 第五章定积分、广义积分例例2 计算计算.12240dxxx . 3, 4 txtdttt 312221

13、312)3(21dtt322 解解 设设,12tx ,212 tx,tdtdx ; 1, 0 txdxxx 40122313)331(21tt 第五章定积分、广义积分 bababavduuvudv定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式的适用范围及使用方法定积分的分部积分公式的适用范围及使用方法与不定积分类同与不定积分类同 分部积分法03第五章定积分、广义积分例例1 计算计算 10arctan xx 1021dxxx. 2ln214 4 102)1ln(21x .arctan10 xdx 10arctan xdxudv第五章定积分、广义积分例例2 计算.ln1 exdxx解

14、解 exdxx1ln exdx12ln21 exx12ln21 edxxx1212122e ex1241412 e第五章定积分、广义积分解解 令 , tx 102dttet 102ttde 101022dtetett . 22210 tee. 1, 1; 0, 0 txtx,2tx ,2tdtdx 10dxex例例3. 计算.10dxex第五章定积分、广义积分广义积分的计算及判定04.,;,积分发散广义极限不存在时广义积分收敛极限存在时计算一个定积分的极限广义积分的计算转化为在区间上连续设无穷区间上的广义积分)(:. 1xf)()()()(lim)(lim)()()()()3()(lim)()

15、2( ;)(lim)()1( ffxfdxxfdxxfcdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfbcbcaaccbaabbaba为取定的常数注注:仅当右端两个极限都存在时仅当右端两个极限都存在时,左端的积分才收敛左端的积分才收敛.第五章定积分、广义积分例例1.计算计算dxex 0解解dxex 0dxebxb 0limbxbe0lim 1 limbbe . 1 xeyxyo1a另解另解dxex 0 0 xe1)(lim xxe. 1 第五章定积分、广义积分例例2.计算计算dxx 211另解另解dxx 211dxx 0211dxx 02110arctan x 0arctan x)2

16、( 2 第五章定积分、广义积分)(. 2瑕积分无界函数的广义积分.)(,)(,00的瑕点为函数点则称时如果当上在积分区间xfxxfxxba babababadxxfdxxfadxxfdxxfb )(lim)(:).2()(lim)(:).1(00则是瑕点若下限则是瑕点若上限注注1;右端的极限存在时右端的极限存在时,左端的广义积分收敛左端的广义积分收敛,否则发散否则发散. bccabccabadxxfdxxfdxxfdxxfdxxfbac2211)(lim)(lim)()()(,),().3(00 则是瑕点若内点注注2：当且仅当上述两个极限同时存在时：当且仅当上述两个极限同时存在时,广义积分收敛

17、广义积分收敛第五章定积分、广义积分例例3:计算广义积分计算广义积分)0( 022 axadxa解解: 因因221limxaax 所以所以 022 axadx lim0220 axadx aax00arcsinlim.2 另解另解 022 axadxuauax0arcsinlim .2 第五章定积分、广义积分问题问题(三三) 定积分的应用定积分的应用旋转体体积求平面图形面积几何应用、.101.面积的基本公式面积的基本公式)(xy xoyab)(xy)( yxxycd)(yxodxxxsba)()( dyyysdc)()( 第五章定积分、广义积分 dcdcbabadyyydxsbycyyxyxdx

18、xxdxsbxaxxyxy)()(,)(),()2()()(,)(),()1( 左右则围成及直线平面图形由曲线下上则围成及直线平面图形由曲线梯形面积公式底边在坐标轴上的曲边特例:)3(y0)( xfysabxosoyxab0)( xfy2s3sxyab)(xfy 1scd badxxfs)( badxxfs)( cadcbds第五章定积分、广义积分y0)( yx acdxo dcdyys)( acdyys)( y0)( yx cdxo dcdyys)( xac)y(x byd badyy)( dbdyy)( 第五章定积分、广义积分2.2.求面积的步骤求面积的步骤: :.,;,.;:)2(;,)

19、1(以便确定相应的积分限轴作垂线各交点向积分时对轴作垂线各交点向积分时对其它则需分块积分积分左右围成对积分上下围成对的公式根据图形形状选用适当求交点坐标画草图yyxxyx第五章定积分、广义积分画草图画草图.例例22,xy xy所围成图形的面积所围成图形的面积.计算由计算由解解22xyxy得交点得交点 (0, 0) 和和 (1, 1)解方程组解方程组xoyxy 22xy ) 1 , 1 (131dxxxs)(21010332323xx 另解另解.31dy)yy(s210 10332323yy 第五章定积分、广义积分画草图画草图.得交点得交点)4, 8(),2, 2( 422)214(dyyys计

20、算抛物线计算抛物线xy22与直线与直线4 xy所围成图形的面积所围成图形的面积.例例解解.1824)642(32yyy)4 , 8()2, 2( xoyxy224xy422xyxy由由所求面积为所求面积为:-242022dxxs82)4(2dxxx或或第五章定积分、广义积分 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台2.2.旋转体体积的基本公式旋转体体积的基本公式第五章定积分、广义积分 baxdxxfv)()1(2 )(xy xoyab)(xyy0)( xfysabxo baxdxxxv)()(22 (底在坐标轴的曲边梯形底在坐标轴的曲

21、边梯形)(化为底在坐标轴的曲边化为底在坐标轴的曲边梯形旋转梯形旋转)第五章定积分、广义积分y0)( yx acdxo)( yxxycd)(yxo dcydyyv)(2 dyyyvdcy )()(22 第五章定积分、广义积分例例1. 求圆形求圆形4) 3(22yx绕绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积轴旋转而成的旋转体的体积.yxo312-2解解. 所求体积为所求体积为:2222)(dyyxvy2221)(dyyx222122)()(dyyxyx202122)()(2dyyxyx202222)43()43(2dyyy202424dyy2022arcsin244224yyy2242243yx2143yx第五章定积分、广义积分.,)2 , 2()0(2. 22轴的旋转的旋转体体积区域绕该平面求该平面图形的面积及轴所围成线与该曲线及处的切在点已知平面图形由曲线例xxxxy 2)2 , 2(xy0122),2(22, 2)2()2(:02 xyxyfkxxy即所求切线方程为切线斜率程先求切线斜率与切线方解面积面积313821)3224()2122023220 yyydyyys第五章定积分、广义积分 xxxxdxxlxldxxrxrcdxxcxcdxxcxc000001)()()