复合求积法课件

1、复合求积法1 4.2 复合求积法复合求积法固定时而节点个数的长度较大当积分区间1,nba直接使用newton-cotes公式的余项将会较大增加时即而如果增加节点个数1,n公式的舍入误差又很难得到控制为了提高公式的精度,又使算法简单易行,往往使用复合方法分成若干个子区间即将积分区间,ba然后在每个小区间上使用低阶newton-cotes公式最后将每个小区间上的积分的近似值相加复合求积法2一、复合求积公式等份分割为的积分区间将定积分nbadxxfba,)(nkkhaxk, 1 ,0,nabh各节点为公式上使用在子区间cotesnewtonnkxxkk)1, 1 , 0(,1节点为步长为等份分割为将

2、,1lhlxxkk1,2,kkkkkxllhxlhxlhxx记为121,kllklklkkxxxxx复合求积法3)(1)(klxxidxxfkkliliklikkxfcxx0)(1)()(求积公式阶的上作在cotesnewtonlxfxxkk)(,1liliklixfch0)()(badxxf)(101)(nkxxkkdxxf10)(nkkli由积分的区间可加性,可得100)()(nkliliklixfch复合求积公式ni复合求积法4可得复合梯形求积公式时,1lnbatdxxf)(1010)1()(nkiikixfch101)()(21nkkkxfxfh )()(2)(211nkkbfxfaf

3、nab复合梯形公式求积公式可得复合时simpsonl,210202)2()(nkiikixfchnbasdxxf)(复合求积法5复合simpson公式复合抛物线公式nbasdxxf)(10121)()(4)(61nkkkkxfxfxfh)()(2)(4)(6111021bfxfxfafnabnkknkk求积公式可得复合时cotesl,410402)4()(nkiikixfchnbacdxxf)()(7)(32)(12)(32)(790110434241knkkkkkxfxfxfxfxfh)(7)(14)(32)(12)(32)(7901110434241bfxfxfxfxfafnabnkknk

4、kkk复合cotes公式复合求积法6)()(2)(bfafabt,10 xx)()(21)0(xfafht,21xx2)1(ht)()(21xfxf,32xx2)2(ht)()(32xfxf,43xx2)3(ht)()(43xfxf,12nnxx2)2(htn)()(12nnxfxf,1nnxx2)1(htn)()(1bfxfn2htn)(af)(21xf)(22xf)(21nxf)(bf复合梯形公式分解复合求积法7)()2(4)(6bfbafafabs,10 xx6)0(hs)()(4)(1210 xfxfaf,21xx6)1(hs)()(4)(22111xfxfxf,1nnxx6)1(hs

5、n)()(4)(2111bfxfxfnn6hsn)(af1021)(4nkkxf11)(2nkkxf)(bf复合simpson公式分解复合求积法8例1.10sindxxxi计算定积分使用各种复合求积公式解:为简单起见,依次使用8阶复合梯形公式、4阶复合simpson公式和2阶复合cotes公式可得各节点的值如右表 0 10.125 0.997397870.25 0.989615840.375 0.976726740.5 0.958851080.625 0.936155640.75 0.908851680.875 0.87719257 1 0.84147098)(iixfx876543210 x

6、xxxxxxxxtrapz42133212221112100.xxxxxxxxxsimp243121141114302104100 xxxxxxxxxcotes 复合求积 公式的程序newtoncotes.m函数程序 func.m复合求积法98t )1()(2)0(16171kkfxff分别由复合trapz、simpson、cotes公式有94569086. 04s)1()(2)(4)0(241313021fxfxffkkkk94608331. 02c)1(7)(14)(32)(12)(32)0(718011110434241fxfxfxfxffkkkkkk94608307. 0复合求积法10

7、8t94569086. 04s94608331. 02c94608307. 0原积分的精确值为10sindxxxi671839460830703. 0精度最高精度次高精度最低 比较三个公式的结果那么哪个复合求积公式的收敛最快呢？复合求积法11二、复合求积公式的余项和收敛的阶我们知道,三个求积公式的余项分别为)(tr)(12)(3fab )(sr)()2(180)4(4fabab)(cr)()4(945)(2)6(6fabab单纯的求积公式复合求积公式的每个小区间)(122kfhh )(2180)4(4kfhh)(49452)6(6kfhh复合求积法12 )(12103 nkkfh,)(. 12

8、bacxf设被积函数则复合梯形公式的余项为nti 103)(12nkkfh)(max)()(min10 xfnfxfbxankkbxa 由于使得由介值定理,ba)()(10fnfnkk nti 103)(12nkknfnh)(123fnh 即有)(12)(2fhab 复合求积法13nti 2htin 103)(12nkkfh又由 10)(121nkkhf 10)(121nkkkxf badxxf)(121)()(121afbfnh0复合梯形公式的余项为足够大时因此当,nnti )()(122afbfh)()(1212afbfh复合求积法1410)4(45)(2180nkkfh,)(. 24ba

9、cxf若被积函数nsi 公式的余项为复合足够大时则simpsonn,)(2180)4(4fhab)()(218044afbfh 10)6(67)(49452nkkfh公式的余项同样可得复合若cotesbacxf,)(. 36nci )(4945)(2)6(6fhab)()(49452)5()5(66afbfh)()(49452)5()5(6afbfh)()(218014afbfh 复合求积法15nti )()(1212afbfhnsi )()(218014afbfh nci )()(49452)5()5(6afbfh比较三种复合公式的的余项的速度依次更快趋于定积分即icstnnn,阶无穷小量，

10、的分别是642h为此介绍收敛阶的概念)(2ho)(4ho)(6ho复合求积法16定义1. 满足使其余项及若存在对于复合求积公式nniicpi, 00chiipnh0lim阶收敛的是则称复合求积公式pin)(pnhii阶收敛的概念也等价于显然 p,不难知道,复合梯形、simpson、cotes公式的收敛阶分别为2阶、4阶和6阶复合求积法17通常情况下,定积分的结果只要满足所要求的精度即可精度越高越大分割的小区间数而积分区间ninba,运算量也很大太大但,n但精度可能又达不到运算量虽较小太小,n取多大值合理呢？那么n三、复合求积公式步长的自动选取复合梯形公式的余项为nti )()(122afbfh

11、复合求积法18个时小区间数量增加到即将步长缩小一倍nhh2,21,1nti2)()(1221afbfh)()()2(1212afbfhnntiti241因此有nntiti244)(3122nnnttti即为的近似值的截断误差约作为因此itn2)(3122nnnttti复合求积法19为的近似值的截断误差约作为isn2)(15122nnnsssi为的近似值的截断误差约作为icn2)(63122nnnccci依此类推若预先给定的误差限为有因此对一般的复合积分ni)(122nnniipiipiinn2只要nii2就有的近似值即为满足要求的iin2复合求积法20步长自动选取的步骤:11,1. 1iabh

12、n计算，取取不同的值不同的方法p|1,212,12212iipihhn和计算，取步长折半否则停止计算若,2ii |1,214,. 224424iipihhn和计算，取步长折半否则停止计算若,4ii 依此类推kii2,停止计算直到以上这种方法称为自适应求积法有时也去掉精度会更高复合求积法21ns)()(2)(4)(6111021bfxfxfafnabnkknkk以复合simpson求积公式的特点为例具有以下特点:1)()(的系数总是bfaf2)(的和的系数总是kxf4)(21的和的系数总是kxf旧节点新节点步长折半0s2s1s复合求积法2201),()(0,/)(, 1, 1sbfafsnabh

13、kn2,21010haxbxax)()(0,/)(,2,2bfafsnabhkn,23,2,2112102101hathatxhat0s)1(2s)1(211sss)2(2s)1(24120(6ssshi)2(241206ssshi, 1,kknnn复合求积法23)()(0,/)(, 3,4bfafsnabhkn2132122112102113122101,yyyytytyty)2(211sss)3(2s)3(241206ssshi, 1,kknnn复合求积法24四、复合自适应求积法的算法设计规定步长的求积法的算法比较简单,这里只以自动选取步长的复合simpson求积公式为例介绍自适应法的算法

14、设计(一) 算法名称badxxfi)(求定积分),(epsbafunnautosimpso(二) 存储方式复合求积法25aa存积分下限bb存积分上限存预先给定的误差限eps)(1afy存函数值)(2bfy存函数值存前一次积分值1i存后一次积分值2i一维向量，存分段节点x数值一维向量，存节点处函f存旧节点处函数值之和1s和存新增节点处函数值之2s复合求积法26(三) 自然语言误差限输入积分上下限,. 1ba01,01, 1, 1. 2iskn)(2),(1. 3bfyafy210. 4yysnabh/)(. 50)(2. 6ksnj,2 , 1. 7复合求积法272)12().1(7hjax)(

15、)(2)(2).2(7xfksks)1(211, 1. 8kssskif6)(241202. 9hksssi15/)12(.10iiabsdepsdif.11否则, 5,21, 1gotonnniikkhi ,2.12 输出停机.13复合求积法28 (四) 程序实例程序名： autosimpson.m 命令格式：autosimpson(fun,a,b,eps)例2.用自适应simpson公式计算下列定积分,并比较102dxeixli42.m解:复合求积法29m =n=8 trapzn=20 trapzn=50 trapzn=100 trapzn=4 simpsonn=20 simpsonn=4 cotesautosimp 1e-4autosimp 1e-6autosimp 1e-10z =0.7458656148456950.7466708369398730.7467996071893510.746818001467970.7468261205274670.7468241360053480.746