缀饰原子的本征态

1、第二章 场和物质相互作用的半经典理论基础缀饰原子的本征态在处理原子与场之间的强相互作用时，微扰理论不再适用。因为强电磁场的存在不仅会引起原子在其本征能级之间的跃迁，而且原子能级的特性和本征函数也发生了强烈的变化。缀饰原子方法是处理强相互作用的一种有效的方法，它不仅能够给出简捷的数学表达式，而且可清楚地阐明强光作用下的物理现象。这种方法是将原子和激光场看成统一的整体，称之为缀饰原子，此时原子被看成覆盖着强电磁场的外罩。这类原子哈密顿量的本征函数将构成新的函数空间，此空间不再纯属于原子或是电磁场，而是自由原子的本征态和自由电磁场的本征态的乘积的线性组合。进一步还可以将缀饰原子看作一种实体来研究它与

2、其它电磁场的“弱”相互作用，这个作用可以看成是对自由缀饰原子的一种扰动，它将引起缀饰原子在其本征能态之间的跃迁，这个过程可采用微扰论来处理。下面我们以二能级原子与单模光场相互作用为例来讨论缀饰原子的本征态。如图2-3所示，为强相干场的频率， 为探测场的频率，分别为能级向能级和的衰减速率。推导缀饰态的表达式时，先忽略弱场的作图2-3 三能级原子的缀饰态用，而只考虑强相干场的作用。在半经典理论中，相干场表示为(2.5-1)旋转波近似下，系统的哈密顿写成： (2.5-2)其中为相干场频率与原子共振频率之间的失谐，,为相干场的Rabi频率，它表示了场与原子相互作用的强弱，在不考虑位相的情况下，我们设为

3、实数。H的本征方程为：(2.5-3)解得： (2.5-4a) (2.5-4b) (2.5-4c)由此可得缀饰原子的本征态为： (2.5-5a) (2.5-5b)其中： (2.5-6a) (2.5-6b)缀饰态之间的频率间隔为 (2.5-7)下面我们以图2-3的三能级系统为例，说明如何在缀饰态表象中求出强场作用下介质对探测场的吸收系数。将态和态在缀饰态表象中展开有： (2.5-8) (2.5-9)在此，为了讨论问题方便起见，令强相干场与之间的跃迁共振，则有(2.5-10)(2.5-11)由麦克斯韦布洛赫方程，介质的复极化率由下式决定(2.5-12)介质的吸收系数(2.5-13)其中的N为原子数密

4、度，为探测场的频率，为探测场的Rabi频率。在缀饰态表象中 (2.5-14)，满足如下的密度矩阵方程 (2.5-15) (2.5-16)其中的 (2.5-17) (2.5-18)在只考虑对于的一阶近似时，将上式代入方程(2.5-15), (2.5-16)中，可得稳态下的解为 (2.5-19) (2.5-20)其中的。将式(2.5-19)，(2.5-20)代入式（2.5-14）中，可得 (2.5-21)最后我们可以得到吸收系数 (2.5-22)2.8 原 子 的 缀 饰 态 在 研 究 场 与 物 质 相 互 作 用 时， 作 用 到 物 质 内 的 光 场 可 能 是 多 个 单 模 场， 有

5、 的 是 强 相 干 场， 有 的 是 弱 探 测 场， 人 们 关 心 的 往 往 是 在 强 相 干 场 作 用 下 弱 探 测 场 的 行 为 变 化。 原 则 上 讲， 我 们 可 以 写 出 未 扰 原 子 系 统 及 总 场 与 原 子 系 统 相 互 作 用 哈 密 顿 量， 在 未 扰 原 子 ( 即 裸 原 子 ) 的 本 征 态 中 写 出 密 度 算 符 矩 阵 元 方 程， 利 用 2.6 及 2.7 节 所 描 述 的 方 法 可 以 解 出 相 应 密 度 算 符 矩 阵 元 的 解 析 式。 但 这 种 在 裸 原 子 表 象 中 给 出 的 结 果， 其 谱 线

6、 结 构 的 物 理 图 象 并 不 十 分 清 晰。 为 了 突 出 强 场 作 用 下， 整 个 系 统 的 物 理 过 程， 有 时 采 用 缀 饰 态 表 象， 在 缀 饰 态 表 象 中， 其 结 果 具 有 清 晰 的 物 理 图 象。 缀 饰 态 可 分 为 全 量 子 缀 饰 态 和 半 经 典 缀 饰 态。 所 谓 的 全 量 子 缀 饰 态 就 是 把 场 进 行 二 次 量 子 化， 然 后 写 出 未 扰 原 子 系 统、 自 由 强 场 及 强 场 与 原 子 相 互 作 用 的 哈 密 顿 量， 求 出 三 者 总 哈 密 顿 量 的 本 征 值 及 本 征 态 函

7、 数， 称 该 本 征 态 为 全 量 子 缀 饰 态， 以 缀 饰 态 为 表 象， 再 讨 论 弱 场 的 探 测 行 为。 从 物 理 上 讲， 就 是 把 原 子 系 统 同 强 场 看 成 是 一 紧 密 耦 合 的 整 体， 它 们 的 共 同 本 征 态 ( 缀 饰 态 ) 即 不 单 单 属 于 原 子 系 统， 也 不 仅 仅 属 于 强 场， 而 是 属 于 整 体 耦 合 的 结 果， 可 形 象 理 解 为 强 场 给 未 扰 原 子 态 穿 上 了 一 层 电 磁 场 外 衣， 其 它 探 测 场 的 行 为 可 在 缀 饰 态 表 象 中 讨 论。 半 经 典 缀

8、饰 态 是 将 场 看 成 经 典 场， 写 出 原 子 系 统 的 自 由 哈 密 顿 量 及 总 场 与 原 子 系 统 相 互 作 用 哈 密 顿 量， 然 后， 将 自 由 电 子 哈 密 顿 量 分 成 两 部 分， 一 部 分与 强 场 能 量 相 等， 另 一 部 分 是 与 强 场 能 量 的 差， 将 差 值 部 分 与 相 互 作 用 哈 密 顿 量 合 起 来 作 为 相 互 作 用 图 象 中 的 哈 密 顿 量， 求 其 本 征 能 量 及 本 征 态， 这 组 新 的 本 征 态 称 为 半 经 典 缀 饰 态。 之 所 以 这 样 处 理， 是 因 为虽 然 半

9、经 典 缀 饰 态 的 绝 对 本 征 能 量 与 全 量 子 缀 饰 态 的 绝 对 本 征 能 量 不 同， 但 全 量 子 态 中 的 本 征 能 量 的 差 值 与 半 经 典 缀 饰 态 中 的 本 征 能 量 的 差 值 是 完 全 相 同 的， 两 者 本 征 函 数 也 相 同 ( 这 一 点 将 在 下 面 的 讨 论 中 看 到 ), 所 以 在 半 经 典 缀 饰 态 表 象 中 同 样 可 以 对 计 算 结 果 给 出 清 晰 的 物 理 解 释。 本 节 根 据 二 能 级 理 论 模 型， 总 结 一 下 全 量 子 和 半 经 典 缀 饰 态 的 本 征 能 量

10、 及 本 征 函 数 的 推 导 过 程。一. 全 量 子 缀 饰 态考 虑 如 Fig.2.8.1 所 示 的 强 场 作 用 下 的 二 能 级 原 子 系 统， 包 括 强 场 在 内 的 系 统 总 的 二 次 量 子 化 哈 密 顿 量 ( 不 包 括 弱 探 测 场 ) 为：(2.8.1)其 中 g 为 相 应 的 偶 极 跃 迁 系 数，Hf ,He ,Hi 分 别 为 自 由 光 场、 自 由 电 子 及 光 场 与 原 子 相 互 作 用 的 哈 密 顿 量。 设 自 由 电 子 与 自 由 光 场 的 哈 密 顿 量 的 共 同 本 征 态 为:(2.8.2)在 两 维 子

11、 空 间 中， 即 在 表 象 中， 求 HT 的 本 征 能 量 及 本 征 函 数。 对 应 HT 的 本 征 值 方 程 为：(2.8.3) 其 中 , (2.8.3) 的 本 征 能 量 解 为：(2.8.4)其 中 为 强 场 与 原 子 能 级 间 的 失 谐。 由 (2.8.4) 式， 可 以 讨 论 自 由 电 子 的 本 征 能 量、 自 由 光 波 场 的 本 征 能 量、 自 由 电 子 与 自 由 光 波 场 的 未 扰 共 同 本 征 能 量 及 总 的 本 征 能 量。1. 自 由 电 子 的 本 征 能 量， 即 令 (2.8.4) 中 的(2.8.5)2.自 由

12、 光 波 场 的 本 征 能 量， 即令 (2.8.4) 中 的 (2.8.6)3.自由 电 子 和 自 由光 波 场 的 共 同 本 征 能 量， 即 令 (2.8.4) 中 的 G0(2.8.7)4. 总 哈 密 顿 量 HT 的 本 征 能 量(2.8.8)同 理，HT 在 |1,n>, |2,n-1> 两 维 子 空 间 中 的 能 量 本 征 值 为：(2.8.9)上 述 (2.8.5)-(2.8.9) 式 在 四 维 子 空 间 中 各 种 哈 密 顿 量 的 本 征 能 量 对 应 的 能 级 如 Fig.2.8.2 所 示。HT 的 二 维 本 征 函 数 |a,n

13、>, |b,n> 可 由 He+Hf 的 二 维 本 征 函 数 进 行 线 性 组 合， 即(2.8.10) 其 系 数 满 足 如 下 形 式 的 本 征 方 程(2.8.11) 将 (2.8.8) 的 本 征 能 量 E1 和 E2 分 别 代 入 (2.8.11) 中， 并 注 意 如 下 的 规 一 化 关 系：(2.8.12) 可 得：(2.8.13) 因 此 HT 的 本 征 函 数 可 写 成：(2.8.14)如 果，, 即 共 振 情 况， 由 (2.8.13) 式 可 知，(2.8.14) 将 变 成：(2.8.15) 二. 半 经 典 缀 饰 态 将 场 按

14、经 典 场 处 理， 即(2.8.16) 系 统 的 哈 密 顿 量 为 ( 不 包 括 自 由 光 场):(2.8.17)为 方 便， 令 , 并 注 意 到 , 在 旋 转 波 近 似 下, (2.8.17) 变 成：(2.8.18) 在 相 互 作 用 图 象 中，(2.8.19)上 式 运 算 时 用 了 公 式 (2.3.17)。 在 裸 原 子 表 象 |1>, |2> 中， 的 本 征 方 程 为：(2.8.20)(2.8.20) 的 能 量 本 征 解 为:(2.8.21)比 较 (2.8.8) 和 (2.8.21) 可 知， 半 经 典 缀 饰 态 的 本 征 能

15、 量 差 与 全 量 子 缀 饰 态 的 本 征 能 量 差 是 完 全 相 同 的。 半 经 典 缀 饰 态 的 本 征 函 数 可 按 裸 原 子 的 能 量 本 征 态 |1>, |2> 作 展 开， 即：(2.8.22)同 上 述 求 解 全 量 子 缀 饰 态 的 本 征 函 数 过 程 相 同， 可 以 求 出 半 经 典 缀 饰 态 的 本 征 函 数：(2.8.23)(2.8.24) 如 果, 即 共 振 情 况，(2.8.24) 式 变 为：(2.8.25)(2.8.15) 和 (2.8.25) 就 是 文 献 中 经 常 引 用 的 叠 加 态 表 达 式。 比 较 (2.8.13), (2.8.14) , (2.8.23) 和 (2.8.24)， 全 量 子 缀 饰 态 与 半 经 典 缀 饰 态 的 本 征 函 数 也 是 完 全 相 同 的。 总 上 所 述， 半 经 典 缀 饰 态 与 全 量 子 缀 饰 态 的 本 征 能 量 和 本 征 函 数 是 完 全 相 同 的， 区 别 在 于 全 量 子 缀 饰 态 可 得 多 维 子