复变函数习题答案第2章习题详解

1、第二章习题详解1 利用导数定义推出：1) （为正整数）解： 2)解： 2 下列函数何处可导？何处解析？1)解：设，则， ，都是连续函数。只有，即时才满足柯西黎曼方程。在直线上可导，在复平面内处处不解析。2)解：设，则， ，都是连续函数。只有，即时才满足柯西黎曼方程。在直线上可导，在复平面内处处不解析。3)解：设，则， ，都是连续函数。只有且，即时才满足柯西黎曼方程。在点处可导，在复平面内处处不解析。4)解：设，则， ，都是连续函数。完全满足柯西黎曼方程。在复平面内处处可导，在复平面内处处解析。3 指出下列函数的解析性区域，并求出其导数。1)解：，在复平面内处处解析。2)解：，在复平面内处处解析

2、。3)解：，在复平面内除点外处处解析。4) （，中至少有一个不为）解： 当，则当时，在复平面内除点外处处解析。当时，则，在复平面内处处解析。 4 求下列函数的奇点：1)解：令，解得，。故有、三个奇点。2)解：令，解得，。故有、三个奇点。5 复变函数的可导性与解析性有什么不同？判断函数的解析性有哪些方法？解：复变函数的可导性是函数在某一点的局部性质，而解析性是函数在一个区域内的整体性质。判断函数的解析性有两种法。一是用定义，利用函数的可导性判断解析性；二是用定理：函数在其定义域内解析和在内点可微，并且满足柯西黎曼方程。6 判断下列命题的真假，若真，请给以证明；若假，请举例说明。1) 如果在连续，

3、那末存在；解：假命题。例如，在复平面内任意一点都连续，但不满足柯西黎曼方程，故不存在。2) 如果存在，那末在解析；解：假命题。例如，在点可导，但在点不解析。3) 如果是的奇点，那末在不可导；解：假命题。例如，在复平面内处处不解析，因此处处是奇点，但在上的点均可导。4) 如果是和的一个奇点，那末也是和的奇点；解：假命题。例如，与在复平面内处处不解析，即复平面内任意一点都是与的奇点。但在复平面内处处解析，即在复平面内没有奇点。5) 如果和可导（指偏导数存在），那末亦可导；解：假命题。例如，设，则，均可导，但不满足柯西黎曼方程，因此不可导。6) 设在区域内是解析的。如果是实常数，那末在整个内是常数；

4、如果是实常数，那末在内也是常数。解：真命题。下面证明： 因为在区域内解析，即满足柯西黎曼方程： ， 如果是实常数，则，即为实常数，故在内为常数。 如果是实常数，则，即为实常数，故在内为常数。7 如果是的解析函数，证明：。证明： 在点处解析， 8 设为解析函数，试确定、的值。解：设，则 ， ，为解析函数9 证明柯西黎曼方程的极坐标形式是：，证明：直角坐标与极坐标的转换公式为，于是由复合函数求导得： ， 即：，10 证明：如果函数在区域内解析，并满足下列条件之一，那末是常数。1) 恒取实值；证明：恒取实值，即。是解析函数，所以 ， 即为常数，故是常数。2) 在内解析；证明：因为在区域内解析，所以，

5、 又为在区域内解析，所以， ，故是常数。3) 在内是一个常数；证明：设 同时 ， 成立。所以 即，均为常数，故是常数。4) 在内是一个常数；证明：设，则。 如果，则，从而，又在内解析，所以为常数，故是常数。 如果，则，于是有 同时 ， 成立。所以 即，均为常数，故是常数。 如果，则；如果，则，与的讨论一样，可得到是常数。5) ，其中，与为不全为零的实常数。证明：因为，且与为不全为零，所以和不能同时为零。假设，则有，于是，在区域内解析，所以为常数，故是常数。11 下列关系是否正确？1)解：设，则2)解：3)解：12 找出下列方程的全部解：1)解：， ，即2)解：， ，即3)解：，即4)解：， ，

6、即13 证明：1) ，证明：2)证明： 3)证明： 令，则4)证明：， 令，则， 5) ，证明：6) ，证明： 令，则 同理可证：14 说明：1) 当时，和趋于无穷大；解：，而， 同理：2) 当为复数时，和不成立。解：由于为复数，可设，则 故当为复数时，和不成立。15 求，和它们的主值。解： 主值为 主值为16 证明对数的下列性质：1)证明： 所以：2)证明： 所以：17 说明下列等式是否正确：1)解：设 所以 和的实部相同，但虚部不尽相同，故不正确。2)解：设 所以 和的实部相同，但虚部不尽相同，故不正确。18 求，和的值。解： 19 证明，其中为实数。证明：如果是整数，则 如果不是整数，则20 证明：1) ；证明：2) ；证明：3) ，。证明： 21 解下列方程：1) ；解： 即 2)