中考数学距离最短问题专题探究

1、温馨杂草屋 距离最短问题专题探究 ea db cnm2010宁德第25题：如图，四边形abcd是正方形，abe是等边三角形，m为对角线bd（不含b点）上任意一点，将bm绕点b逆时针旋转60°得到bn，连接en、am、cm. 求证：ambenb； 当m点在何处时，amcm的值最小；当m点在何处时，ambmcm的值最小，并说明理由；fea db cnm 当ambmcm的最小值为时，求正方形的边长.分析：本题在最短矩离这一问题中，利用了数形结合的思想，综合考查学生几何、代数知识的运用能力。整个过程充分显示了学生学习数学新知的一般过程：认知论证应用。本题的难点在距离最小。第一小问设计由简单的

2、三角形全等的证明让学生得出边之间的相等关系，这里隐藏着由旋转角60°得出的等边三角形，从而得出bm=mn；第二小问设计的是一个探究过程，让学生综合学习过的基本数学知识进行探索，看学生对“两点之间，线段最短”的掌握，要求学生具备转化能力，建模能力等；第三小问的设计主要是将所探究的结论进行运用，拓展，体现了数形结合的思想理念。整个过程体现了特殊问题中的一般规律，是数学知识和问题解决方法的一种自然回归。是近几年中考压轴题的基本模型。现在我们将一起探索距离最短这一专题。其实这一类归根结底还是“两点之间，线段最短”的应用。我们要紧紧抓住这一点，以题变解题思维不变来应对这一类题型。例一、（）在直

3、线l的异侧有a、b两点，在直线l求点p，使ap+bp最小。（）在直线l的同侧有a、c两点，在直线l求点p，使ap+cp最小。分析：要解决这个问题，找出点a关于直线的对称点，连结交直线于点p，则点p就是到a、b两村庄的距离之和最短的点的位置。理由 根据轴对称的性质可知,如果另外任选一点（异于p），连结在中，即因此，为最短由此可见，轴对称帮我们找到了符合要求的点的位置。例二、如图，点p在aob内部，且aob度数为45°,op=2cm,在射线oa、ob上找点c、d，使pc+cd+dp之和最小。分析：首先主导思想还是“两点之间，线段最短”，解决方法可以利用轴对称找到两个对称点，使得三角形的三

4、边之和最短问题转化为“两点之间，线段最短”。思考:你能求得出pc+cd+dp之和最小为多少吗？例三、（1）如图1，等腰直角三角形abc的直角边长为2，e是斜边ab的中点，p是ac边上的一动点，则pb+pe的最小值为 ；（2）几何拓展：如图2, abc中，ab=2，bac=30,若在ac、ab上各取一点m、n使bm+mn的值最小，求这个最小值；（3）代数应用：求代数式（0x4）的最小值.分析：第一步，利用轴对称，很容易找到b关于直线ac的对称点b,然后连接bc就可。第二步，利用作点b关于ac的对称点b，过b作bnab于n，交ac于m.此时bm+mn的值最小. 第三步，构造图形如图所示其中：ab=

5、4，ac=1，db=2，ac=x，caab于a，dbab于b.那么pc+pd=所求的最小值就是求pc+pd的最小值.abcddop例四、如图，ac、bd为正方形abcd对角线，相交于点o,点d为bc边的中点，连长为2cm,在bd上找点p，使dp+cp之和最小。分析： 利用轴对称性可知a、c为对称点，连接ad交bd于点，连接pc，易知，ap=pc,则pd+pc=ap+pd=ad.在直角三解形abd中，ab=2cm,bd=1cm,则ad=cm.例五圆o内点p和圆上哪一点的距离最小，理由是什么。分析：过点p作直径ab,则ap、bp中较短者即为点p到圆的最短距离。理由也是由“两点之间，线段最短”得出的

6、“三角形中，两边之和大于第三边”推出的。例六例5. 如图，村庄a、b位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥cd，问桥址应如何选择，才能使a村到b村的路程最近？ 作法：设a、b的距离为r。 把点b竖直向上平移r个单位得到点b'； 连接ab'，交a于c；过c作cdb于d； 连接ac、bd。 证明：bb'cd且bb'cd， 四边形bb'cd是平行四边形，cb'bd accddbaccb'b'bab'b'b 在a上任取一点c'，作c'd'，连接ac'、d

7、9;b，c'b' 同理可得ac'c'd'd'bac'c'b'b'b 而ac'c'b'>a b'accddb最短。本题是研究accddb最短时的c、d的取法，而是定值，所以问题集中在研究acdb最小上。但ac、db不能衔接，可将bd平移bc处，则acdb可转化为accb'，要使accb'最短，显然，a、c、b'三点要在同一条直线上。举一反三：如图，a、b是直线a同侧的两定点，定长线段pq在a上平行移动，问pq移动到什么位置时，ap+pq+qb的长最短？还有立体图形上点点之间的距离最短问题，则可以把问题